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科学 / calculus-of-variations

变分法

变分法研究泛函的极值与驻值，通常通过改变满足给定约束的函数、曲线或场来求解。

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数学分析微积分函数积分导数拓扑学偏导数欧拉–拉格朗日方…变分法

变分法是数学分析的一个分支，研究如何寻找使泛函取得极小值、极大值或驻值的函数、曲线或场。泛函是将整个函数映射为一个数的量。与初等微积分不同，微积分中的未知量通常是一个数或有限个数，而变分问题一般具有无穷多个自由度。变分法为最短路径、平衡构型和运动定律提供了统一的研究框架。(courses.maths.ox.ac.uk)

泛函与容许函数

泛函可以依赖于一个函数在整个定义域上的取值。一个标准例子是积分泛函

J[y]=∫abF(x,y(x),y′(x)) dx,J[y]=\int_a^b F\bigl(x,y(x),y'(x)\bigr)\,dx,

其中，FF 是给定的被积函数，y′y' 是未知函数的导数。

问题还必须指定一个容许函数类：其中的函数须具有适当的光滑性或可积性，满足边界条件以及其他附加约束。例如，可以要求 y(a)=Ay(a)=A 且 y(b)=By(b)=B。全局极小解在整个容许函数类中具有最小的泛函值；局部极小解则只需在与其充分接近的容许函数中最优。“接近”的含义取决于所选的范数或拓扑学结构。(math.cmu.edu)

一阶变分与欧拉—拉格朗日方程

为了考察一个候选函数 yy，引入扰动函数

yε=y+εη,y_\varepsilon=y+\varepsilon\eta,

其中，η\eta 是容许变分。若端点值固定，则要求 η(a)=η(b)=0\eta(a)=\eta(b)=0。一阶变分定义为

δJ[y;η]=ddεJ[y+εη]∣ε=0.\delta J[y;\eta] =\left.\frac{d}{d\varepsilon}J[y+\varepsilon\eta]\right|_{\varepsilon=0}.

当被积函数和候选函数足够光滑时，

δJ[y;η]=∫ab(Fyη+Fy′η′) dx.\delta J[y;\eta] =\int_a^b\left(F_y\eta+F_{y'}\eta'\right)\,dx.

这里，FyF_y 和 Fy′F_{y'} 分别是被积函数对其第二个和第三个自变量的偏导数。分部积分可得

δJ[y;η]=[Fy′η]ab+∫ab(Fy−ddxFy′)η dx.\delta J[y;\eta] =\left[F_{y'}\eta\right]_a^b+ \int_a^b\left(F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}\right)\eta\,dx.

端点固定时，边界项为零。要求剩余的积分对每个保持端点值不变的光滑变分都为零，便得到欧拉—拉格朗日方程

Fy−ddxFy′=0.\boxed{F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}=0}.

这就将泛函的驻值条件转化为一个微分方程。但仅凭这一方程，不能断定候选函数给出的是极小值还是极大值。(homepages.ucl.ac.uk)

边界条件、约束与极小性

如果某个端点的函数值可以自由变化，那么该处的变分不必为零。对于前述一阶泛函，若端点位置固定而函数值自由，就会在该端点得到自然边界条件 Fy′=0F_{y'}=0。若允许端点位置移动，则会得到横截条件。在满足适当的约束资格条件时，积分约束通常可以通过引入拉格朗日乘子、令增广泛函取驻值来处理。(math.cmu.edu)

二阶变分考察下一阶的变化：

δ2J[y;η]=d2dε2J[y+εη]∣ε=0.\delta^2J[y;\eta] =\left.\frac{d^2}{d\varepsilon^2} J[y+\varepsilon\eta]\right|_{\varepsilon=0}.

光滑的局部极小解在每个容许方向上的二阶变分都必须非负。仅有非负性通常还不够：能够控制变分大小的更强估计，结合适当的正则性假设，才可能确立局部极小性。(math.cmu.edu)

经典例子

若干几何和力学问题体现了对曲线进行优化与对点进行优化之间的区别：

  • **最短路径：**在欧几里得空间中，使两点之间的弧长最小得到的是直线段。在曲面上，相应的驻值曲线是测地线。
  • 最速降线：最速降线问题要求找出这样一条曲线：质点从静止释放后，在均匀重力且无摩擦的条件下，沿该曲线在给定两点之间下降所需的时间最短。其解是一段摆线，而一般不是直线。
  • **极小曲面：**肥皂膜的理想化模型引出了在边界约束下使表面积最小的问题。由此得到的驻值曲面称为极小曲面。(courses.maths.ox.ac.uk)

这些例子虽然都是对几何对象进行优化，但目标泛函各不相同，分别是长度、运动时间和面积。

多变量与偏微分方程

对于定义在区域 Ω⊂Rn\Omega\subset\mathbb R^n 上的标量场 uu，考虑

J[u]=∫ΩF(x,u,∇u) dx,J[u]=\int_\Omega F(x,u,\nabla u)\,dx,

其中，∇u\nabla u 是梯度。要求泛函在支集位于区域内部的变分下取驻值，可得

Fu−∑i=1n∂∂xi(Fuxi)=0.F_u-\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \left(F_{u_{x_i}}\right)=0.

这通常是一个偏微分方程。例如，

J[u]=12∫Ω∣∇u∣2 dxJ[u]=\frac12\int_\Omega |\nabla u|^2\,dx

的欧拉—拉格朗日方程为 Δu=0\Delta u=0，即拉普拉斯方程。给定边界数据后，这就成为一个边值问题。向量值场会产生方程组，而包含高阶导数的泛函则会产生相应的高阶方程。(webhomes.maths.ed.ac.uk)

力学与对称性

在经典力学中，哈密顿原理指出，实际运动轨迹使作用量

S[q]=∫t0t1L(q,q˙,t) dtS[q]=\int_{t_0}^{t_1}L(q,\dot q,t)\,dt

在保持端点值不变的变分下取驻值。对于标准的保守系统，拉格朗日量等于动能减去势能。由此得到的欧拉—拉格朗日方程描述了系统的运动。因此，“最小作用量”是一个传统名称，并不意味着作用量在所有情况下都取得最小值。(courses.maths.ox.ac.uk)

诺特定理将作用量的连续对称性与守恒定律联系起来。空间平移对称性和旋转对称性分别对应动量守恒与角动量守恒。因此，变分表述不仅有助于推导方程，也有助于识别方程的守恒量。(webhomes.maths.ed.ac.uk)

解的存在性与直接法

求解驻值方程并不能证明极小值存在。直接法则从一个极小化序列 uku_k 出发，其泛函值趋近于下确界。该方法寻求一个收敛子列，使其极限 uu 属于容许函数类，然后证明

J[u]≤lim inf⁡k→∞J[uk].J[u]\leq\liminf_{k\to\infty}J[u_k].

这一下半连续性不等式保证极限函数达到下确界。

主要条件包括强制性或对极小化序列的其他界估计、适当的紧性、容许函数类的闭性，以及下半连续性。索伯列夫空间和弱收敛为许多此类论证提供了自然的框架。这些方法体现了变分法与泛函分析之间的相互联系。(arxiv.org)

对于多维空间中的向量值函数，普通凸性的要求往往过于严格。拟凸性、秩一凸性和多凸性在存在性与正则性理论中起着重要作用，尤其是在非线性弹性理论中。此外，极小解的存在并不意味着它光滑或唯一。(maths.ox.ac.uk)

数值方法与应用

瑞利—里茨法用有限维近似代替无穷维的容许函数类：

uN=u0+∑j=1Ncjϕj.u_N=u_0+\sum_{j=1}^{N}c_j\phi_j.

这里，u0u_0 用于满足给定的边界值，而试探函数 ϕj\phi_j 则满足相应的齐次条件。对系数 cjc_j 进行优化，就将变分问题转化为有限维的数学优化问题。具有局部支集的试探函数为有限元法提供了一条实现途径；有限元法广泛应用于结构力学及其他场问题。(compute.cba.mit.edu)

变分方法也用于控制理论中的最优控制、特征值问题和图像处理。应用这些方法时，必须关注容许函数空间、边界条件以及近似解的收敛性；仅有形式上的驻值方程并不能解决这些问题。(doi.org)

历史发展

约翰·伯努利于1696年提出了最速降线挑战。约翰·伯努利和雅各布·伯努利的研究，推动了这一领域从单个曲线优化问题发展为更广泛的数学学科。莱昂哈德·欧拉在1744年的专著中建立了一般框架，并给出了求积分泛函极值的微分方程。随后，约瑟夫-路易·拉格朗日引入了系统的变分分析方法；他于1760年发表的论述说明了如何使用符号 δ\delta 区分变分与普通微分。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

经典研究主要关注必要条件，后来逐步拓展为严格的存在性理论。1900年前后，大卫·希尔伯特推动了直接法的发展。20世纪关于弱收敛和下半连续性的进展，包括小查尔斯·B. 莫里和诺曼·G. 迈耶斯的工作，帮助建立了多维变分问题的现代理论。(arxiv.org)

参考来源

  1. ASO: Calculus of Variations (2025–26)courses.maths.ox.ac.uk
  2. Calculus of Variations — Riccardo Cristoferi lecture notesmath.cmu.edu
  3. MATH0043 §2: Calculus of Variationshomepages.ucl.ac.uk
  4. Brief notes on the calculus of variationswebhomes.maths.ed.ac.uk
  5. Weak lower semicontinuity of integral functionals and applicationsarxiv.org
  6. Calculus of Variations — Mathematical Institutemaths.ox.ac.uk
  7. Finite Elementscompute.cba.mit.edu
  8. MATH 333 Lecture Notes: FEM—General Rayleigh-Ritz Approachsites.calvin.edu
  9. Brachistochrone problem — MacTutor History of Mathematicsmathshistory.st-andrews.ac.uk