大卫·希尔伯特（1862年1月23日—1943年2月14日）是德国数学家，研究领域涵盖代数、数论、几何学、分析和数学基础。他对几何学的公理化处理、对积分方程的研究，以及旨在确立数学一致性的纲领，推动形成了二十世纪的若干重要研究方向。他的名字也与1900年发表的一组23个数学问题紧密相连。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)
教育与学术生涯
希尔伯特在东普鲁士的柯尼斯堡地区长大，1880年进入柯尼斯堡大学。1885年，他在费迪南德·冯·林德曼指导下，以代数不变量研究获得博士学位。阿道夫·赫尔维茨和同学赫尔曼·闵可夫斯基对他的学术思想产生了重要影响；闵可夫斯基始终是他的挚友和数学研究合作者。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)
1895年，希尔伯特受聘为哥廷根大学教授，并一直任职至1930年退休。他与菲利克斯·克莱因共同推动哥廷根发展成为国际数学研究中心。他的教学和研究吸引了众多学生，这些学生后来投身于分析、数论和数学基础等领域。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)
代数与数论
希尔伯特早期研究的是不变量理论，即研究在特定变换下保持不变的量。他不再仅仅依赖显式计算，而是引入一般性的存在性论证，证明有限个不变量可以生成整个不变量系统。这一转变有助于确立现代代数所特有的结构性方法。(deutsche-biographie.de)
希尔伯特基定理揭示了多项式环的一项基本有限性性质。按照如今常见的表述，若一个环是诺特环，则其多项式环也是诺特环，即每个理想都可由有限个元素生成。他的希尔伯特零点定理将多项式的理想与其公共零点联系起来，在代数方程与代数几何之间架起了一座关键桥梁。(encyclopedia.com)
他于1897年发表的《数论报告》（Zahlbericht）重新梳理了代数数论，并纳入了新的成果和方法。该书以系统的论述汇集了关于代数整数、理想、单位和域扩张的研究。书中对互反律和阿贝尔扩张的处理，为后来类域论的发展提供了出发点。(irma.math.unistra.fr)
几何学基础
在《几何基础》（Grundlagen der Geometrie，1899年）中，希尔伯特将几何学表述为由明确列出的公理支配的演绎结构。他没有一开始就赋予点、直线和平面直观意义，而是通过公理规定它们之间的关系。由此，人们可以不依赖图形或关于物理空间的假设，独立审视几何推理。(deutsche-biographie.de)
希尔伯特考察了特定公理是否独立于其他公理，以及整个体系是否一致。通过坐标解释，几何体系的一致性问题被归结为相应的数系一致性问题。这类论证确立的是相对一致性，而非无条件的保证：其结论取决于用来构造这种解释的理论是否一致。他的方法成为几何学以外各领域开展公理化研究的范例。(plato.sydney.edu.au)
23个问题
1900年，希尔伯特在巴黎举行的国际数学家大会上提出了一份研究议程，其发表版本包含23个问题。这些希尔伯特问题既包括精确的技术性问题，也包括旨在统整整个学科的宏大构想。它们体现了他的信念：表述清晰的问题能够激发新方法，并揭示看似彼此分离的领域之间的联系。(math.clarku.edu)
第一个问题涉及集合论中的连续统问题，第二个问题寻求算术一致性的证明。第六个问题要求将物理学公理化，尤其是概率论和力学。第八个问题包含黎曼猜想及其他有关素数的问题。第十个问题要求找出一种通用程序，用以判定整系数多项式方程是否存在整数解。其余问题涉及几何学、超越数和变分问题。由于各问题的表述方式不同，“解决一个希尔伯特问题”并不总是意味着同一种数学成就。(aemea.org)
分析与数学物理
希尔伯特对积分方程的研究推动了泛函分析的建立。在这一领域中，函数被视为空间中的元素来研究，而不仅仅是单独的研究对象。他关于二次型和谱表示的工作，为无穷维方法提供了重要先例。由此发展出的希尔伯特空间概念成为分析和量子力学的基础，不过其抽象表述也有赖于后来数学家的贡献。(encyclopedia.com)
1915年，希尔伯特在与阿尔伯特·爱因斯坦交流思想的同时，发展了一种处理引力场方程和电磁场方程的变分方法。他的研究旨在为物理现象寻求统一的数学描述。到了二十世纪二十年代，他仍在讲课时讨论这些拟议中的“世界方程”。(arxiv.org)
希尔伯特纲领与晚年
二十世纪二十年代初，希尔伯特提出，将经典数学置于一个形式系统中加以形式化，并通过有穷推理证明其一致性，以此为经典数学奠定可靠基础。希尔伯特纲领将证明视为有限对象，其性质本身也可以接受数学研究，从而推动了证明论的建立。参与合作的学者包括保罗·伯奈斯、威廉·阿克曼和约翰·冯·诺依曼。(plato.sydney.edu.au)
1931年的哥德尔不完备定理揭示了决定性的限制：在相关条件下，一个一致的、可有效公理化且包含足够算术内容的理论，无法证明自身的一致性。当原纲领所采用的有穷方法能够在所考察的理论内部得到表达时，这一结果便构成了障碍。但它并不意味着所有一致性证明都不可能；此后的证明论转而研究更强的方法，以及相对性的论证依据。(plato.sydney.edu.au)
1915年，希尔伯特和克莱因邀请埃米·诺特来到哥廷根；她最初申请大学授课资格未获成功，但于1919年取得了资格。希尔伯特退休后，纳粹德国当局于1933年推行的解职措施严重扰乱了哥廷根的数学学术群体。他最后一次开设讲授课程是在1933—1934年冬季学期。1943年2月14日，他在哥廷根去世。(uni-goettingen.de)