《几何原本》是一部被认为由欧几里得编纂的数学著作，成书于公元前300年左右，与埃及的亚历山大城有密切联系。全书以希腊语写成，共十三卷，将平面与立体几何学、比例理论和初等数论组织为一系列命题及其证明。它的突出成就在于通过定义、明确的假设和演绎推理，系统地组织数学知识。这部著作成为数学教学的核心典籍，也是影响深远的数学证明范本。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)
历史背景与作者归属
《几何原本》属于古希腊数学传统，但并非只是欧几里得个人发现的汇编。在他之前，数学家们已经积累了大量几何知识。数百年后，普罗克洛斯在著述中称，欧几里得整理了欧多克索斯的成果，并改进了泰阿泰德的成果。数学史家尤其将一般比例理论与欧多克索斯联系起来，而把有关不可公度量和正多面体的重要研究归于泰阿泰德。由于更早的数学文献大多未能流传下来，各个命题的确切归属仍难以确定。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)
关于欧几里得的生平，留存至今且有可靠文献依据的信息很少。因此，不应将大致的编纂年代误认为已经确证的出版日期。现存文本也带有后世传抄和编辑的痕迹：古代晚期，亚历山大的塞翁编订了一个影响广泛的版本，但也有一些抄本保留了独立于其版本的文本。现代编校者会比较这些不同的文本传承，而不会将现存的每一句话都视为毫无疑问的原文。(mathcs.clarku.edu)
十三卷的结构
全书从基本图形逐步推进到更复杂的关系和立体图形，不过，其中讨论算术的各卷构成了一个相对独立的序列。
- 第一至第四卷阐述平面几何。第一卷讨论三角形、平行线和面积，其中命题I.47为勾股定理，命题I.48为其逆定理。第二卷确立矩形与正方形面积之间的关系；第三卷研究圆；第四卷讨论内接图形和外切图形的作法。(mathcs.clarku.edu)
- 第五至第六卷建立一般比例理论，并将其应用于相似图形。这一理论适用于各种量，无论它们是否存在共同的度量单位。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)
- 第七至第九卷讨论算术及整数的性质，包括整除性、比例和素数。第七卷包含用于求最大公约数的欧几里得算法。(aleph0.clarku.edu)
- 第十卷对可公度量与不可公度量进行分类。其术语需要谨慎理解：欧几里得对有理线段和无理线段的分类，取决于指定的参照线段，以及线段的长度或其平方是否可公度。因此，不能不加限定地将这些分类等同于现代对数的分类。(webspace.ship.edu)
- 第十一至第十三卷讨论立体几何。第十二卷使用穷竭法确立面积与体积之间的关系。第十三卷构造了五种正凸多面体，并证明除此之外不存在其他同类立体。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)
定义、公设与证明
第一卷以二十三个定义、五条公设和五条公理（共同概念）开篇。公设允许在两点之间作直线、延长有限直线，以及以给定的圆心和半径作圆；它们还断言所有直角相等，并规定了两条直线相交的一项条件。共同概念陈述了有关相等关系以及整体与部分的一般原则。这些假设共同发挥了公理所承担的基础作用。(mathcs.clarku.edu)
书中的命题既包括定理，也包括作图问题。作图不仅要说明如何得到一个图形，还必须证明这个图形为何满足规定的要求。这些作图过程对应于尺规作图，而非使用带刻度直尺进行实际测量。证明运用演绎推理，既以初始假设为依据，也引用此前的命题；图示则用于标明所讨论的对象及其关系。(mathcs.clarku.edu)
讨论算术的各卷区分了单位与数，并将数定义为多个单位的集合。因此，其研究对象不同于包含零、负整数或任意实数的现代数系。命题IX.20证明，对于任意给定的有限素数集合，都存在不在其中的素数；这一结果如今表述为素数有无穷多个。(mathcs.clarku.edu)
流传与版本
《几何原本》通过希腊语抄本、阿拉伯语译本和改编本，以及中世纪的拉丁语版本流传。关于拉丁语抄本传统的研究揭示了多条传播路径，包括从阿拉伯语和希腊语译出的版本，以及随后出现的、具有广泛影响的修订本，如诺瓦拉的坎帕努斯修订的版本。(personal.math.ubc.ca)
首个印刷版于1482年5月在威尼斯问世，由埃尔哈德·拉特多尔特印制。亨利·比林斯利于1570年出版的版本是首个英语版，其中收录了约翰·迪撰写的数学序言，并附有展示立体图形的折叠模型。这些版本将文本翻译、注释与数学图示方面的创新结合起来。(loc.gov)
现代研究通常参考约翰·路德维格·海贝格校勘的希腊语文本，以及托马斯·希思的英语注释译本；后者初版于1908年，1925年修订。他们所作的文本编校说明和历史评注，有助于区分古代原著的论述与后世的解释。(mathcs.clarku.edu)
数学基础与后世数学
《几何原本》采用公理化方法，但并不是一个将所有前提都明确列出的现代形式系统。部分论证依赖未明言的假设。例如，命题I.1使用了所作的两个圆存在交点这一事实，却没有明确的公设保证该交点存在。(mathcs.clarku.edu)
第五公设，即平行公设，成为数学基础研究的重要焦点。十九世纪出现的非欧几何，以及对几何假设的重新审视，改变了人们对欧几里得理论框架的理解。大卫·希尔伯特的《几何基础》（1899年）给出了更明确的公理化处理，将几何对象之间的逻辑关系与对其直观空间解释的依赖区分开来。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)