三角不等式是几何学和数学分析中的一个基本关系，指出两点之间的距离不大于经由第三点的距离之和。对于距离函数 (d)，它的形式为 (d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z))。绝对值和向量范数也有相应的表述。尽管三角不等式最初与三角形的边长有关，它也是抽象距离和范数的定义性质之一。(math.ucla.edu)
几何表述与起源
对于边长为 (a,b,c) 的非退化欧几里得三角形，任意两边之和都严格大于第三边：
[ a<b+c,\qquad b<c+a,\qquad c<a+b. ]
这一经典表述见于《几何原本》第一卷命题20。欧几里得通过延长一条边、构造等腰三角形，并利用较大的角所对的边也较长这一关系加以证明。由此，一个看似直观的事实得到了演绎式的几何证明。(web.calstatela.edu)
如果允许任意选取点，包括共线或重合的点，恰当的表述就应使用“小于或等于”。对于欧几里得距离，在 (d(A,C)\leq d(A,B)+d(B,C)) 中，等号成立当且仅当 (B) 位于连接 (A) 和 (C) 的闭线段上。严格与非严格两种形式的区别，对应着非退化三角形与退化构形的区别。(maths.usyd.edu.au)
绝对值与复数
对于实数 (x,y)，三角不等式写为
[ |x+y|\leq |x|+|y|. ]
利用 (-|x|\leq x\leq |x|) 以及 (y) 的相应界限，即可给出一个初等证明。将两组不等式相加，得到 (-(|x|+|y|)\leq x+y\leq |x|+|y|)。 等号成立当且仅当 (xy\geq0)，也就是说，两数同号，或至少有一个为零。(ms.uky.edu)
同一公式也适用于复数，其中实数的绝对值换为复数的模。将复数看作平面上的向量，这就成为欧几里得空间中的向量三角不等式。对于非零复数，等号在两者辐角相同时成立，即它们对应的向量指向同一方向。(sites.chemengr.ucsb.edu)
赋范向量空间与证明
范数用于衡量向量空间中向量的大小。赋范向量空间的定义条件之一是
[ |u+v|\leq|u|+|v|. ]
在这里，该不等式是这一抽象结构的一条公理。不过，要判断一个给定公式是否定义了范数，就必须验证这一条件，而不能仅仅假定它成立。(blogs.ncl.ac.uk)
对于由内积诱导的范数，可以利用柯西—施瓦茨不等式给出如下数学证明：
[ \begin{aligned} |u+v|^2 &=|u|^2+2\operatorname{Re}\langle u,v\rangle+|v|^2\ &\leq |u|^2+2|u||v|+|v|^2\ &=(|u|+|v|)^2. \end{aligned} ]
两边取非负平方根，即得所需结论。这个证明对实内积空间和复内积空间都适用。(sites.chemengr.ucsb.edu)
在欧几里得空间中，除非至少有一个向量为零，否则等号成立要求一个向量是另一个向量的非负标量倍数。其他范数的等号成立条件可能不同。例如，对于范数 (|(x_1,x_2)|_1=|x_1|+|x_2|)，向量 ((1,0)) 和 ((0,1)) 虽然线性无关，却仍能使等号成立。(maths.usyd.edu.au)
度量空间与反三角不等式
度量空间是配备了距离函数的集合，该函数满足非负性、不同点之间距离为正、对称性以及三角不等式。每个范数都可以通过
[ d(x,y)=|x-y| ]
定义一个度量，因为 (x-z=(x-y)+(y-z))。一般的度量空间不一定具有向量加法、直线或角；其中的三角不等式仅仅是距离之间的关系。(math.ucla.edu)
一个有用的推论是反三角不等式：
[ \big||u|-|v|\big|\leq|u-v|. ]
事实上，对 (u=(u-v)+v) 应用通常的三角不等式可得到一侧的界，再交换 (u,v)，便得到另一侧的界。相应的度量形式为
[ |d(x,z)-d(y,z)|\leq d(x,y). ]
因此，范数以及到某个固定点的距离都具有常数为 (1) 的利普希茨连续性；位置的微小变化不会使这些量产生更大的变化。这一结论可由上述不等式直接得出。(blogs.ncl.ac.uk)
推广与分析中的应用
反复应用三角不等式，并用数学归纳法加以严格论证，可得到有限和的不等式：
[ \left|\sum_{k=1}^{n}v_k\right| \leq\sum_{k=1}^{n}|v_k|. ]
同样，有限点链两端之间的距离不超过各相邻点之间的距离之和。这些都是两项形式的直接推广。(blogs.ncl.ac.uk)
对于Lp空间，三角不等式称为闵可夫斯基不等式。当 (1\leq p<\infty) 时，
[ |f|_p=\left(\int |f|^p,d\mu\right)^{1/p}, \qquad |f+g|_p\leq|f|_p+|g|_p. ]
这里的积分在相应的测度空间上进行。当 (p=\infty) 时，使用本质上确界范数，这一结果也成立。对于 (1<p<\infty)，一种标准证明使用赫尔德不等式。(pi.math.cornell.edu)
在收敛性论证中，通过一个中间近似量拆分误差，可得
[ d(x_n,x)\leq d(x_n,y_n)+d(y_n,x). ]
因此，两个趋于零的量之和可以作为第三个量的上界。类似的估计是有关极限和柯西序列的推理的基础，使人们无需知道各项近似误差的方向或符号，也能对它们分别加以控制。(math.ucla.edu)