诺特定理建立了由作用量原理描述的系统中，连续对称性与守恒定律之间的联系。在其标准形式中，每一个可微的单参数变分对称性，都会产生一个在运动方程成立时保持守恒的量。埃米·诺特于1918年发表了这一定理，它解释了为什么时间平移、空间平移和旋转分别对应于能量、动量和角动量守恒。“诺特定理”通常指她的第一定理，以区别于涉及任意函数对称性的第二定理。(arxiv.org)
历史与数学背景
诺特在论文 Invariante Variationsprobleme（《不变变分问题》）中提出了她的研究成果。这篇论文将变分法与连续变换群理论结合起来；如今，后者用李群来表述。它并非为每个物理模型分别推导守恒定律，而是建立了变分问题的不变性与相应微分方程之间的一般关系。论文同时讨论了有限参数对称群和依赖任意函数的群。(arxiv.org)
这项工作回应了广义相对论中出现的问题，尤其是一般协变理论中能量守恒的地位问题。这一背景促使诺特区分由有限个参数决定的对称性与局域变换自由度。因此，两个定理回答的是相互关联但有所不同的问题：第一定理构造守恒流，第二定理则建立运动方程之间的恒等关系。(arxiv.org)
经典力学中的表述
在经典力学中，考虑坐标 (q_i(t)) 和作用量 [ S[q]=\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot q,t),dt, ] 其中 (L) 是拉格朗日量。作用量的驻值条件给出欧拉—拉格朗日方程 [ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i} -\frac{\partial L}{\partial q_i}=0. ] 如果一个连续变换保持作用量的变分结构，它就是变分对称性；拉格朗日量严格不变是充分条件，但并非必要条件。拉格朗日量也可以改变一个对时间的全导数，因为这只会在作用量中引入端点项。(damtp.cam.ac.uk)
对于不改变时间的无穷小变换 [ \delta q_i=\epsilon,\xi_i(q,t), \qquad \delta L=\epsilon,\frac{dB}{dt}, ] 相应的守恒量为 [ Q=\sum_i p_i\xi_i-B, \qquad p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}. ] 沿着运动方程的解，有 (dQ/dt=0)。证明方法是将运动方程代入 (L) 的变分，从而把该变分化为一个全导数。对于同时改变时间的变换，还需要在诺特荷中加入相应的时间变换项。(damtp.cam.ac.uk)
常见的守恒定律
这一定理将若干标准的对应关系统一起来：
- **时间平移：**如果 (L) 不显含时间，守恒量为 [ E=\sum_i p_i\dot q_i-L. ] 对于通常的力学系统，这就是能量。
- **空间平移：**沿某一方向平移时的不变性，意味着动量在该方向上的分量守恒。
- **空间旋转：**旋转不变性意味着角动量守恒；绕某一轴旋转的不变性，则意味着角动量沿该轴的分量守恒。(damtp.cam.ac.uk)
例如，一个粒子的拉格朗日量为 [ L=\tfrac12m\dot{\mathbf r}^{,2}-V(|\mathbf r|), ] 由于其势能只取决于到原点的距离，它具有旋转对称性。因此，其角动量 (\mathbf r\times m\dot{\mathbf r}) 守恒。固定的中心势一般不具有空间平移对称性，所以粒子的线动量未必守恒。这里所考察的对称性必须属于包含外势在内的完整动力学模型，而不只是其动能项的对称性。(damtp.cam.ac.uk)
场论与局域守恒
在量子场论中，经典作用量写为 [ S=\int d^dx,\mathcal L(\phi_a,\partial_\mu\phi_a,x). ] 对于坐标不变的场变分 (\delta\phi_a=\epsilon\Delta\phi_a)，若满足 (\delta\mathcal L=\epsilon\partial_\mu K^\mu)，则相应的诺特流为 [ j^\mu= \sum_a\frac{\partial\mathcal L} {\partial(\partial_\mu\phi_a)}\Delta\phi_a-K^\mu. ] 由场方程可得连续性方程 (\partial_\mu j^\mu=0)。(damtp.cam.ac.uk)
这个方程表达了局域守恒：一个区域内守恒量的变化，由穿过其边界的流来平衡。积分得到的荷 [ Q=\int d^{d-1}x,j^0 ] 在边界通量为零时保持不变。时空平移产生能量—动量张量。内部对称性，例如复场的均匀相位旋转，会产生其他荷；在带电物质的理论中，相应的相位对称性与电荷相联系。(damtp.cam.ac.uk)
第二定理与规范自由度
诺特第二定理讨论的是参数为位置和时间的任意函数的变分对称性。这类对称性意味着欧拉—拉格朗日表达式之间存在微分恒等式，即使尚未施加运动方程，这些恒等式也成立。在规范理论中，这些恒等式反映了描述中的冗余，并解释了为什么某些场方程并不相互独立。(arxiv.org)
因此，局域规范对称性并不会为每一个任意参数函数提供一个独立的物理守恒量。要理解它与全局对称性、约束及边界荷之间的关系，必须区分第一定理给出的守恒关系与第二定理给出的恒等式。电磁学是体现这一区别的一个重要例子。(arxiv.org)
适用范围与限定条件
标准形式的诺特定理要求存在连续的变分对称性，而不只是保持运动方程不变的变换。离散变换缺少该定理构造过程中所需的无穷小参数，因此不会自动产生诺特流。同样，如果没有适当的边界条件，仅凭局域守恒也不能确立积分荷的守恒。(damtp.cam.ac.uk)
在量子力学中，经典对称性可能在量子化后不再成立。这种量子反常会改变经典守恒流所满足的守恒方程。在广义相对论中，能量—动量张量的协变守恒本身也不能保证存在全局守恒的总能量：还需要额外的时空对称性或适当的边界结构。(damtp.cam.ac.uk)