拉普拉斯方程 · aiwiki.page

拉普拉斯方程是如下偏微分方程：

\Delta u=0,

其中， $\Delta$ 是拉普拉斯算子， $u$ 是未知的标量函数。其解称为调和函数。该方程描述许多无源平衡现象，包括稳态热传导，以及远离场源处的电势或引力势。它也是数学分析中的核心方程之一。(damtp.cam.ac.uk)

数学表述

设 $u$ 是定义在 $n$ 维欧几里得空间的开集 $\Omega$ 上的二阶连续可微函数，则笛卡尔坐标下的拉普拉斯方程为

\Delta u =\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial^2u}{\partial x_j^2} =0.

在二维情形下，该方程为 $u_{xx}+u_{yy}=0$ ；在三维情形下，则为 $u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0$ 。下标表示偏导数。将右端的零替换为给定的源函数，就得到泊松方程；其源项的正负号有两种常用约定。(damtp.cam.ac.uk)

拉普拉斯方程是线性齐次方程：解的任意线性组合仍然是解。它是椭圆型偏微分方程的基本例子。与描述时间演化的方程不同，它通常通过边界条件而非初始条件来确定空间场。该方程满足叠加原理，但解的任意组合未必仍满足某个特定的边界条件。(damtp.cam.ac.uk)

物理解释与应用

在静电学中，电场与电势 $V$ 的关系为

\mathbf E=-\nabla V,

其中， $\nabla V$ 是电势的梯度。在电容率为常数的介质中，由高斯定律可得

\Delta V=-\frac{\rho_e}{\varepsilon}.

因此，在电荷密度 $\rho_e$ 为零的区域， $V$ 满足拉普拉斯方程。“无源”是一个局部条件：区域外的电荷仍可在区域内产生非零电场。(damtp.cam.ac.uk)

对于牛顿引力，引力势满足

\Delta\Phi=4\pi G\rho_m,

因而在质量分布之外是调和的。对于无内部热源的均匀各向同性材料，其稳态热传导中的温度满足 $\Delta T=0$ 。在热方程中令时间导数为零，即可得到这一结果。(damtp.cam.ac.uk)

另一个应用是不可压缩无旋流动。在存在速度势的区域，速度可写为 $\mathbf v=\nabla\phi$ ；不可压缩条件随即给出 $\nabla\cdot\mathbf v=\Delta\phi=0$ 。(physics.uoguelph.ca)

边值问题

仅凭方程本身无法确定唯一的解。边值问题还需在边界 $\partial\Omega$ 上指定附加信息。两种主要的边界条件是：

**狄利克雷边界条件：**在 $\partial\Omega$ 上指定 $u=g$ 。
**诺伊曼边界条件：**在 $\partial\Omega$ 上指定沿外法线方向的导数 $\partial u/\partial n=h$ 。

对于有界区域，在其闭包上连续的调和函数由其狄利克雷边界值唯一确定。对于连通区域，若纯诺伊曼问题有解，则其解在相差一个加法常数的意义下唯一。(ocw.mit.edu)

对于拉普拉斯方程，诺伊曼边界数据必须满足

\int_{\partial\Omega}h\,dS=0.

散度定理解释了这一相容性条件：向外的总通量等于 $\int_\Omega\Delta u\,dx$ ，而该积分为零。不满足这一条件的边界数据将使问题无解。(ocw.mit.edu)

外部问题研究物体外部的区域。这类问题还需要在无穷远处施加适当的条件，例如指定极限值或衰减行为，以确定所需的解。(math.mit.edu)

调和函数的性质

平均值性质指出：对于包含在调和函数定义域内的任意球，函数在球心处的值等于它在球内的平均值，也等于它在边界球面上的平均值：

u(x)=\frac{1}{|\partial B_r(x)|} \int_{\partial B_r(x)}u(y)\,dS_y.

这一平均关系对每个允许的半径都精确成立，而不仅仅是小邻域中的近似。(web.stanford.edu)

**最大值原理**指出：在有界区域的闭包上连续的调和函数，其最大值和最小值都在边界上取得。强最大值原理则指出，若调和函数在连通区域的某个内点取得整个区域上的最大值或最小值，则该函数必为常数。这可以推出狄利克雷问题解的唯一性：具有相同边界值的两个解之差是边界值为零的调和函数，因此必恒为零。(ocw.mit.edu)

调和函数无穷次可微，而且还具有更强的性质：它们在局部是实解析函数。因此，其内部的光滑性超过了经典定义所要求的二阶连续可微性。不过，这并不意味着它们在不光滑的边界处也具有同等的光滑性。(web.stanford.edu)

典型解与解析方法

径向对称解 $u(x)=U(r)$ ，其中 $r=|x|$ ，满足

U''(r)+\frac{n-1}{r}U'(r)=0.

在原点之外，其一般形式为

U(r)= \begin{cases} A+B\log r,&n=2,\\ A+Br^{2-n},&n\geq3. \end{cases}

在三维情形下，非常数项与 $1/r$ 成正比。这些函数在奇点之外是调和的，但在原点处并不是无源解。经过适当的归一化，它们可作为拉普拉斯算子的基本解。(ocw.mit.edu)

格林函数体现了对点源的响应，并可根据区域及其边界条件加以构造。单层势和双层势通过边界上的积分表示解，从而将区域内的微分方程转化为边界曲面上的积分方程。(math.mit.edu)

对于简单的几何区域，分离变量法将各个坐标的函数相乘来构造解。通过傅里叶级数展开，可以逐个模式匹配边界数据。例如，在单位圆盘中，边界模式 $\cos(m\theta)$ 的正则调和延拓为 $r^m\cos(m\theta)$ ，其中 $m$ 为正整数。(damtp.cam.ac.uk)

数值近似

有限差分法用网格点函数值之间的差分代替导数。在网格间距为 $h$ 的正方形网格上，标准五点近似为

\frac{ u_{i+1,j}+u_{i-1,j}+u_{i,j+1}+u_{i,j-1}-4u_{i,j} }{h^2}=0.

因此，每个内部网格点的函数值都等于其四个最近邻点函数值的算术平均值。这是调和函数平均值性质的离散对应形式。(cfm.brown.edu)

给定边界值后，这些方程便构成一个求解内部未知函数值的线性方程组。对于足够光滑的解，该差分格式的局部截断误差为二阶，即 $O(h^2)$ 。实际精度还取决于边界的表示方式，以及所得代数方程组的求解精度。(cfm.brown.edu)

历史发展与适用范围

该方程以皮埃尔-西蒙·拉普拉斯的名字命名；他曾将其用于引力势理论和天体力学。该方程出现在他的《天体力学论》（Traité de mécanique céleste）中，该著作的前两卷于1799年出版。尽管如今以拉普拉斯命名，但在他的相关研究之前，人们就已知道这一方程。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

区分拉普拉斯方程与更一般的平衡方程十分重要。存在内部源时，所得到的是泊松方程。随空间位置变化的输运性质通常会导出散度形式的方程，例如

\nabla\cdot\bigl(k(x)\nabla u\bigr)=0,

而不是 $\Delta u=0$ 。当 $k$ 为非零常数时，上式便可化为拉普拉斯方程。同样，在将奇异源产生的势视为调和函数时，必须排除这些源所在的位置。(damtp.cam.ac.uk)

参考来源

Four Important Linear PDEocw.mit.edu
Laplace’s Equationweb.stanford.edu
Fast Algorithms for Integral Equationsmath.mit.edu
Chapter 10: Laplace’s Equationphysics.uoguelph.ca
Numerical Solutions of Laplace Equationcfm.brown.edu
Fourier Series Solution of Laplace’s Equationmitocw.ups.edu.ec
Pierre-Simon Laplace — MacTutor History of Mathematicsmathshistory.st-andrews.ac.uk