解析函数 · aiwiki.page

解析函数是指在定义域的每一点附近都能用收敛的幂级数表示的函数。对于实变量函数，解析性比无限次可微性更强。然而，对于单复变量函数，解析性与全纯性等价，即函数在某个开区域内的每一点都具有复导数。这种等价关系是复分析的一项基本特征。(jirka.org)

定义与局部表示

设 $U$ 是实数集 $\mathbb R$ 或复数集 $\mathbb C$ 中的一个开集。如果存在系数 $c_n$ 和数 $r>0$ ，使得邻域 $|z-a|<r$ 包含于 $U$ ，并且

f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-a)^n \qquad (|z-a|<r),

则称函数 $f$ 在 $a\in U$ 处解析。

如果这一条件在 $U$ 的每一点都成立，则称 $f$ 在 $U$ 上解析。在实变量情形下，变量通常记为 $x$ 。这一定义是局部的：不同的展开中心可能需要不同的系数和不同的收敛半径。(jirka.org)

这些系数由函数的各阶导数唯一确定：

c_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}.

因此，表示函数的级数就是 $f$ 在 $a$ 处的泰勒级数。解析性意味着该级数确实在某个邻域内收敛于原函数，而不仅仅是能够计算出它的系数。在幂级数的收敛圆盘内，它在更小的闭圆盘上一致收敛，并且可以逐项求导。(complexanalysis.org)

实解析函数是指在局部可以用实变量的收敛级数表示的函数。每个实解析函数都是光滑的，也就是说，它的各阶导数都存在且连续。反之则不成立：仅有光滑性并不能保证泰勒级数能够表示原函数。(cs.cornell.edu)

一个标准例子是

g(x)= \begin{cases} e^{-1/x},&x>0,\\ 0,&x\leq 0. \end{cases}

这个函数无限次可微，并且对每个非负整数 $n$ ，都有 $g^{(n)}(0)=0$ 。因此，它在零点处的泰勒级数恒为零，尽管对每个正数 $x$ ，都有 $g(x)>0$ 。它在零点处不解析。这个例子表明，即使泰勒级数收敛，也未必等于用来构造该级数的光滑函数。(cs.cornell.edu)

定义在 $\mathbb C$ 的一个开子集上的函数，如果在每一点都存在极限

f'(z)=\lim_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h},

就称为**全纯函数**。这里， $h$ 可以沿任意复方向趋于零。因此，复可微性比沿实轴的可微性要求更严格。例如，复共轭函数 $f(z)=\overline z$ 作为两个实坐标的映射是光滑的，却处处不可复微。(ocw.mit.edu)

核心的等价关系是

\text{在 }U\text{ 上全纯} \quad\Longleftrightarrow\quad \text{在 }U\text{ 上解析}.

不需要另行假设高阶导数存在：只要函数在一个开邻域内处处复可微，就能推出它具有各阶导数和局部泰勒展开。仅在某个孤立的点处可微是不够的。(math.ucla.edu)

写成 $f=u+iv$ 、 $z=x+iy$ ，则复可微性蕴含柯西—黎曼方程

u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x.

反过来，如果 $u$ 和 $v$ 的一阶偏导数在某个开集上连续，并在该开集上满足这些方程，那么 $f$ 就是全纯的。如果没有适当的可微性假设，仅在某一点满足这些方程，并不能确立解析性。(ocw.mit.edu)

柯西积分公式在很大程度上解释了复解析性为何具有如此强的约束力。如果 $f$ 在一个闭圆盘的某个邻域上全纯，而 $C$ 是该圆盘取正向的边界，那么对每个内部点 $z$ ，都有

f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta.

因此，圆盘内部的函数值由边界上的函数值决定。对该公式求导可得到所有高阶导数；将其中的核展开为几何级数，则可得到泰勒展开。(ocw.mit.edu)

如果在以 $a$ 为圆心、半径为 $R$ 的圆周上有 $|f|\leq M$ ，则相应的估计给出

|f^{(n)}(a)|\leq \frac{n!M}{R^n}.

这些界限将函数的大小与其导数的增长联系起来。(ocw.mit.edu)

另一项刚性性质是**恒等定理**。同一个连通开区域上的两个全纯函数，如果在一个集合上取值相同，且该集合在区域内部有聚点，那么这两个函数就恒等。因此，不恒为零的全纯函数只有孤立零点。它在零点 $a$ 附近的局部形式为

f(z)=(z-a)^m h(z),\qquad h(a)\ne0,

其中，正整数 $m$ 是该零点的重数。(math.ucla.edu)

每个多项式以及指数函数都在整个复平面上解析；这样的函数称为**整函数**。正弦函数和余弦函数也是整函数。两个多项式的商在分母非零的所有点处都解析。(ocw.mit.edu)

函数在整个区域上解析，并不意味着一个泰勒级数就能在该区域的所有点表示这个函数。例如，

\frac{1}{1+x^2} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n}, \qquad |x|<1.

这个函数在整条实数轴上实解析，但上述级数的收敛半径为 $1$ 。它的复扩展在 $z=i$ 和 $z=-i$ 处有奇点，这两点到展开中心的距离都为 $1$ 。(jirka.org)

一般而言，全纯函数的泰勒级数在以展开点为中心、且包含于其定义域的每个圆盘内都收敛。如果函数可以全纯延拓，该级数还可能收敛到更远的范围。当这样的圆盘遇到不可去奇点时，收敛半径便无法继续增大。(math.ucla.edu)

函数的解析延拓将其局部表示扩展到最初指定的定义域之外。当延拓存在时，恒等定理保证它在连通的重叠区域上的唯一性；至于延拓是否存在，则是另一个问题。(math.ucla.edu)

对于多个实变量或复变量，解析性通过收敛的多变量幂级数来定义：

f(z)=\sum_{\alpha}c_\alpha(z-a)^\alpha,

其中， $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_d)$ 是由非负整数组成的元组，并且

(z-a)^\alpha=\prod_{j=1}^{d}(z_j-a_j)^{\alpha_j}.

该级数必须在展开中心的某个邻域内收敛。多复变量全纯函数作为其实部和虚部坐标的函数是实解析的，但反之不成立：实解析表达式也可能依赖于共轭坐标 $\overline z_j$ 。(jirka.org)

单变量情形下的结论不能不加区分地推广到更高维度。例如，全纯函数 $f(z_1,z_2)=z_1$ 在整个集合 $z_1=0$ 上都为零，其零点并不孤立。这说明，在多变量恒等定理中，仅要求函数在任意一个有聚点的集合上取值相同，已不再足够。(jirka.org)

解析函数在复微分与偏微分方程之间架起了桥梁。全纯函数的实部和虚部都是调和函数，即二者分别满足拉普拉斯方程：

u_{xx}+u_{yy}=0,\qquad v_{xx}+v_{yy}=0.

这一关系使复函数能够用于描述二维势问题，包括静电势和理想化的流体流动。不过，能否在全局构造调和共轭函数，可能取决于区域的拓扑性质；局部存在并不自动保证能得到单值的全局表示。(ocw.mit.edu)