泰勒级数 · aiwiki.page

泰勒级数是由函数及其各阶导数在某个固定点的值构造的无穷级数。它是一种特殊的幂级数，其系数通过求导确定。当级数收敛于原函数时，它便以多项式项的无穷和表示该函数。它的有限部分和可用于局部逼近，但函数具有任意阶导数，并不意味着它一定能由泰勒级数精确表示。(openstax.org)

定义与系数

设 $f$ 在 $a$ 的某个邻域内具有任意阶导数。它以 $a$ 为中心的泰勒级数为

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots.

这里 $f^{(0)}=f$ ， $n!$ 表示阶乘，且 $0!=1$ 。中心 $a$ 也称为展开点。当 $a=0$ 时，这一展开称为麦克劳林级数。(openstax.org)

$N$ 阶泰勒多项式为

T_N(x)=\sum_{n=0}^{N}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n.

它的次数不超过 $N$ ，并且在 $a$ 处的函数值及前 $N$ 阶导数值都与 $f$ 相同。这些条件唯一确定了该多项式：对幂级数求 $n$ 次导数，再代入其中心点，所得值就是第 $n$ 项系数的 $n!$ 倍。因此，任何在 $a$ 附近收敛并表示 $f$ 的幂级数，都必定是它的泰勒级数。(openstax.org)

泰勒定理与逼近误差

泰勒定理给出了有限阶泰勒多项式与函数之间的关系，无须假定函数具有无穷级数展开。若 $f$ 在包含 $a$ 和 $x$ 的区间上具有直到 $N+1$ 阶的连续导数，则

f(x)=T_N(x)+R_N(x),

其中余项的拉格朗日形式为

R_N(x)= \frac{f^{(N+1)}(\xi)}{(N+1)!}(x-a)^{N+1},

这里 $\xi$ 是 $a$ 与 $x$ 之间的某个点。当 $N=0$ 时，这就是中值定理。(openstax.org)

若在该区间上处处有 $|f^{(N+1)}(t)|\le M$ ，则

|R_N(x)|\le \frac{M|x-a|^{N+1}}{(N+1)!}.

这一估计量化了截断所带来的误差。无穷泰勒级数要等于 $f(x)$ ，必须满足：当 $N\to\infty$ 时，余项的极限为零，即 $R_N(x)\to0$ 。因此，固定有限阶数时在中心附近的逼近精度，与阶数增加时的收敛性，是两个不同的问题。(openstax.org)

收敛性与解析性

与所有幂级数一样，泰勒级数具有收敛半径 $R$ ，其值可能为零或无穷大。级数在 $|x-a|<R$ 时绝对收敛，在 $|x-a|>R$ 时发散。对于取实数值的变量，端点处的收敛情况必须分别检验。改变展开中心，既可能改变系数，也可能改变收敛区间。(openstax.org)

解析函数在局部与自身的泰勒级数相等。解析性比无限次可微性更强。一个经典反例是

f(x)= \begin{cases} e^{-1/x^2},&x\ne0,\\ 0,&x=0. \end{cases}

该函数具有任意阶导数，且各阶导数在原点处都为零。因此，它的麦克劳林级数恒为零，但只要 $x\ne0$ ，就有 $f(x)>0$ 。这个级数处处收敛，却仅在零点处等于原函数。(math.ucdavis.edu)

在复分析中，在某个圆盘上全纯的函数可以在整个圆盘内用泰勒级数表示。阻碍全纯延拓的最近位置决定了最大的收敛半径。因此，即使函数在整个实轴上都光滑，复数域中的奇点仍可能限制其实变量展开的收敛范围。例如， $1/(1+x^2)$ 在零点处的展开的收敛半径为 $1$ ，这反映了它在 $i$ 和 $-i$ 处存在奇点。(dlmf.nist.gov)

常见展开式

指数函数以及正弦、余弦函数的麦克劳林展开为

e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}, \qquad \sin x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},

\cos x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}.

这三个级数对任意实数或复数自变量都收敛。三角函数的自变量采用弧度制。(openstax.org)

由等比级数可得

\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n, \qquad |x|<1.

对 $1/(1+x)$ 的相应展开式积分，得到

\log(1+x)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}.

对于实数 $x$ ，最后这个级数在 $-1<x\le1$ 上表示对数函数，在 $x=-1$ 处发散。这些例子展示了两类展开的区别：一类的收敛范围不受限制，另一类则只在有限的范围内成立。(openstax.org)

运算与应用

在收敛区间内部，幂级数可以逐项求导和积分。这些运算保持收敛半径不变，但端点处的收敛情况可能改变。因此，在微积分中，泰勒展开可用于计算积分，或构造微分方程的级数解。有限项截断也可用于数值分析中的函数逼近。(lemesurierb.people.charleston.edu)

对于多元函数，泰勒展开使用偏导数。二阶局部模型的形式为

f(\mathbf a+\mathbf h)\approx f(\mathbf a)+\nabla f(\mathbf a)^{T}\mathbf h +\frac12\mathbf h^{T}H_f(\mathbf a)\mathbf h,

其中 $\nabla f$ 是梯度， $H_f$ 是海森矩阵。线性模型和二次模型是数学优化中牛顿法及相关方法的基础。(ocw.mit.edu)

历史发展

该级数以布鲁克·泰勒的名字命名，他的《正反增量法》（Methodus incrementorum directa et inversa）于1715年出版。在此之前，詹姆斯·格雷戈里、艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨等数学家已经提出了相关展开。泰勒的工作是在当时逐渐发展的微积分框架内给出了一般表述，而非首次提出所有相关的基本思想。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)