敏感性分析 · aiwiki.page

敏感性分析研究模型的输入、参数或假设发生变化时，其输出会如何变化。在统计学和数学建模中，敏感性分析有助于识别影响较大的因素、解释结果的变异，并检验结论是否高度依赖某些特定选择。它与不确定性分析密切相关：不确定性分析描述输出的变异性，而敏感性分析则探究这种变异性的来源。(publications.jrc.ec.europa.eu)

范围与目的

模型可以表示为函数 $Y=f(X_1,\ldots,X_d)$ ，其中输入可以包括测量量、不确定参数，或对假设的数值化表示。敏感性分析可以考察数值预测、备选方案的排序，或输出是否越过指定阈值。因此，其分析范围既取决于模型，也取决于所研究的问题。(publications.jrc.ec.europa.eu)

敏感性分析应用于工程、自然科学、经济学以及基于模型的政策评估等领域。其常见目的包括识别需要更充分信息的输入、筛除相对不重要的因素，以及理解模型的行为。某一输入的重要性取决于所选输出、输入范围和敏感性度量，并非该输入本身固有的属性。(publications.jrc.ec.europa.eu)

局部敏感性分析

局部分析考察指定参考点 $\mathbf{x}_0$ 附近的变化。对于可微的标量输出，输入 $i$ 的敏感性系数为偏导数

c_i=\left.\frac{\partial f}{\partial x_i}\right|_{\mathbf{x}_0}.

通过一阶近似可得

\Delta Y\approx\sum_i c_i\Delta x_i.

因此，敏感性系数描述的是其他输入保持不变时，某一输入的微小变化所对应的输出变化。其数值大小取决于所用单位。较大的系数并不一定意味着该输入对不确定性的贡献最大，因为输入本身的不确定性大小同样重要。(nist.gov)

在测量不确定度的计算中，这些系数与输入的方差和协方差结合使用：

u_Y^2\approx \sum_i c_i^2u_i^2+ 2\sum_{i<j}c_ic_j\,\operatorname{Cov}(X_i,X_j).

这一传播公式由一阶泰勒级数展开推导而来。它考虑了输入估计值之间的依赖关系，而非假定所有不确定性贡献均相互独立。(nist.gov)

一种常见的局部方法是在基准值附近每次只改变一个因素。这类分析可能遗漏输入空间中的重要区域，以及某一输入的影响取决于另一输入的统计交互作用。其他方法则借助实验设计，包括析因设计，以及基于回归的分析。(publications.jrc.ec.europa.eu)

全局方法

全局分析考察输入在指定范围内的变化，而不仅限于某个参考点附近。输入可以表示为具有指定概率分布的随机变量。分析随后考察这些输入在由此产生的模型行为范围内所具有的影响。(publications.jrc.ec.europa.eu)

以下几类方法各有不同用途：

回归与相关方法。 线性回归的标准化系数和相关关系度量用于概括输入与输出之间的关联。这些方法是否适用，取决于线性关系或单调关系能否充分描述模型响应。
基本效应筛选。 Morris 方法沿分布于输入空间中的多条轨迹，在每一步改变一个输入。基本效应绝对值的平均值用于衡量影响程度，其标准差则反映非线性或交互作用，但无法区分这两者。
基于方差的方法。 这类方法将输出的变异性分配给各个输入及输入组合。
基于导数的全局度量。 这类方法汇总输入域内的导数信息，可用于高维模型中的因素筛选。(snl-dakota.github.io)

全局分析可能需要多次运行模型。统计代理模型可以节省计算成本，但随着输入数量增加，构建代理模型本身也可能变得十分困难。比较研究表明，筛选效果取决于模型：没有任何一种敏感性度量在不同函数和不同维度下都始终表现最佳。(publications.jrc.ec.europa.eu)

Sobol 指数

Sobol 指数是基于方差的全局敏感性度量。当输入满足统计独立性，且输出平方可积、方差为正时，可以通过函数分解将主效应与交互效应分离。一阶指数为

S_i= \frac{\operatorname{Var}\!\left(\mathbb{E}[Y\mid X_i]\right)} {\operatorname{Var}(Y)}.

这里的条件期望是对其他输入求平均。该指数衡量的是仅由输入 $i$ 引起的输出方差占总输出方差的比例。(snl-dakota.github.io)

总效应指数包含所有涉及该输入的交互作用：

S_{T_i}= \frac{\mathbb{E}\!\left[\operatorname{Var}(Y\mid X_{-i})\right]} {\operatorname{Var}(Y)},

其中， $X_{-i}$ 表示除 $X_i$ 之外的所有输入。在输入相互独立的框架下， $S_{T_i}\geq S_i$ ；两者之差反映了交互作用的贡献。这些指数可以使用蒙特卡罗方法估计。(snl-dakota.github.io)

举例来说，设 $Y=X_1+2X_2$ ，两个输入相互独立，且方差均为 1。此时 $\operatorname{Var}(Y)=5$ ，因此 $S_1=1/5$ ， $S_2=4/5$ 。由于该函数具有可加性，相应的总效应指数等于一阶指数。

解释与局限

解释敏感性分析结果时，必须同时考虑产生这些结果所依据的假设。当输入之间存在依赖关系时，在保持其他因素不变的情况下改变某个因素，未必能反映合理的输入组合。依赖关系也会使各输入单独贡献的方差与共同贡献的方差更难分离。Shapley 效应提供了一种分配由相关关系和交互作用共同产生的贡献的方法。(arxiv.org)

敏感性排序描述的是指定模型和输入分布下的行为，并不能确立真实系统中的因果关系。报告应明确说明所研究的输出、不确定输入及其范围或分布、有关依赖关系的假设、计算方案和估计精度。这些细节对于解释结果和支持可复现性不可或缺。(sciencedirect.com)