统计交互作用是统计关系的一种特征，指一个预测变量与结局之间的关联随另一个预测变量的取值而变化。它表示偏离了预测变量在特定尺度上各自独立贡献的模型。交互作用可涉及分类变量或连续变量，也可涉及两个以上的预测变量；仅凭交互作用的存在，并不能确立某种因果机制。(online.stat.psu.edu)
定义与解释
对于两个预测变量 (X) 和 (Z)，结局 (Y) 的条件期望的加性模型具有如下形式：
[ E(Y\mid X=x,Z=z)=\alpha+f(x)+g(z). ]
在这个模型中，(X) 从一个取值变为另一个取值所对应的变化，在 (Z) 的所有取值下都相同。如果在所建模的尺度上，这种可分离性不成立，就存在交互作用。因此，交互作用关注的是预测变量如何共同与结局相关，而不只是两个预测变量是否都与结局相关。(pmc.ncbi.nlm.nih.gov)
对于编码为 0 和 1 的二元预测变量，令 (\mu_{xz}=E(Y\mid X=x,Z=z))。加性交互作用由以下对比量衡量：
[ I=\mu_{11}-\mu_{10}-\mu_{01}+\mu_{00}. ]
等价地，(I) 比较了 (Z=1) 时与 (X) 相关的差值和 (Z=0) 时的相应差值。不存在加性交互作用意味着 (I=0)。(pmc.ncbi.nlm.nih.gov)
举一个假设的例子，设四个均值如下：
| (Z=0) | (Z=1) | |
|---|---|---|
| (X=0) | 10 | 15 |
| (X=1) | 14 | 25 |
当 (Z=0) 时，与 (X) 相关的差值为 4；当 (Z=1) 时，该差值为 10。因此，交互作用对比量为 (25-14-15+10=6)。这描述的是均值呈现的一种模式；要作出因果解释，还需要额外的假设。
回归中的交互作用
线性回归中一种常见的交互作用模型为：
[ E(Y\mid X,Z) =\beta_0+\beta_1X+\beta_2Z+\beta_3XZ. ]
乘积 (XZ) 是一个交互项。当 (X) 为连续变量时，条件斜率为：
[ \frac{\partial E(Y\mid X,Z)}{\partial X} =\beta_1+\beta_3Z. ]
因此，(\beta_3) 描述了 (X) 的斜率如何随 (Z) 的增大而变化。如果 (Z) 为二元变量，则参照组的斜率为 (\beta_1)，另一组的斜率为 (\beta_1+\beta_3)。如果两个预测变量均为二元变量，(\beta_3) 就等于前文定义的交互作用对比量。(online.stat.psu.edu)
系数 (\beta_1) 和 (\beta_2) 常被称为主效应系数，但它们具有条件性：它们描述的是另一个预测变量等于零时的关联，通常并非总体平均效应。从预测变量中减去一个参照值，会改变这些系数所对应的取值位置；从代数上看，只要完整模型同时包含低阶项和乘积项，这种中心化就不会改变拟合值。(online.stat.psu.edu)
通常采用的层级原则要求：模型纳入交互项时，应保留构成该交互项的低阶项，即使这些项各自并不具有统计显著性。对于有多个水平的分类预测变量，交互作用通常由多个系数表示，而不是由单个乘积项的系数表示。(online.stat.psu.edu)
析因实验与方差分析
析因设计将各因素水平的组合一并纳入研究，从而能够估计交互作用。双因素方差分析模型将因素的主效应与交互作用部分分开。主效应概括了在另一因素的各个水平上取平均后的差异，而交互作用则描述这些差异如何随水平而变化。(online.stat.psu.edu)
交互作用图以一个因素为横轴展示结局均值，并用不同的线表示另一因素的各个水平。总体均值线相互平行，表明图中所展示的对比不存在加性交互作用；线不平行则表明存在交互作用。交互作用的存在并不要求线条相交，而对于不平行的样本估计线，还需要评估其不确定性。(online.stat.psu.edu)
也可能存在高阶交互作用。三重交互作用意味着某个二重交互作用随第三个预测变量的水平而变化。三因素实验的模型可以包含全部三个主效应、三个二重乘积项，以及一个三重乘积项。(itl.nist.gov)
对尺度的依赖
交互作用依赖于尺度。在一种结局尺度上呈加性的关系，经过变换后可能变为非加性关系。因此，若声称不存在交互作用，却没有指明相关尺度或模型，这一说法就是不完整的。(pmc.ncbi.nlm.nih.gov)
对于二元结局，令 (p_{xz}) 表示两个二元预测变量各取值组合下的结局发生概率：
- 概率尺度上不存在加性交互作用意味着： [ p_{11}-p_{10}-p_{01}+p_{00}=0. ]
- 概率尺度上不存在乘性交互作用，在各概率均为正的情况下，意味着： [ \frac{p_{11}p_{00}}{p_{10}p_{01}}=1. ]
这两个条件并不相同，也不一定同时成立。(pmc.ncbi.nlm.nih.gov)
在逻辑回归中，乘积项表示对数优势尺度上的交互作用，等价地说，表示优势比偏离乘性关系。没有这一交互项，并不意味着结局概率或风险差上不存在交互作用。因此，建模所用的尺度决定了交互作用系数的解释。(pmc.ncbi.nlm.nih.gov)
统计推断与因果解释
针对交互作用的统计假设检验用于评估某个交互作用系数或一组交互作用对比量是否异于零。在多水平分类变量模型中，交互作用的总体检验可能涉及多个系数。与仅标注是否显著相比，估计值及其置信区间能够更直接地描述交互作用的大小和不确定性。(online.stat.psu.edu)
一个亚组中的关联具有统计显著性，而另一个亚组中的关联不显著，并不能确立交互作用。真正需要回答的是两个亚组的关联是否不同，这要求评估两者的差异，而不是比较它们各自是否显著。(doi.org)
统计交互作用不同于机制上的交互作用。观察到的非加性可以描述一种关联，却不能证明两个因素通过某种特定机制共同产生结局。针对联合效应的因果推断还依赖于研究设计、识别假设，以及对混杂的充分控制。一些流行病学框架区分了效应修饰与因果交互作用：前者关注某一暴露的因果效应如何在不同分层中变化，后者关注两种暴露的联合因果效应。(pmc.ncbi.nlm.nih.gov)
参考来源
- 6.2.3. Interaction Effectsitl.nist.gov
- 6.1.5. Estimate Main and Interaction Effectsitl.nist.gov
- The Meaning of Interactionpmc.ncbi.nlm.nih.gov
- Measuring additive interaction using odds ratiospmc.ncbi.nlm.nih.gov
- Recommendations for presenting analyses of effect modification and interactionpmc.ncbi.nlm.nih.gov