比值比 · aiwiki.page

比值比（odds ratio，OR）是统计学中的一种度量，用于比较某事件在一组中发生的几率与其在另一组中发生的几率。它不同于概率之比：计算时，先将各组的事件发生概率除以事件不发生的概率，再求这两个比值之比。比值比广泛用于描述二元变量之间的关联，尤其常见于流行病学、病例对照研究和逻辑回归。(online.stat.psu.edu)

定义与解释

对于发生概率为 $p$ 的事件，其几率为

\operatorname{odds}(p)=\frac{p}{1-p}.

如果第 1 组和第 0 组的事件发生概率分别为 $p_1$ 和 $p_0$ ，则两组的比值比为

\mathrm{OR} =\frac{p_1/(1-p_1)}{p_0/(1-p_0)} =\frac{p_1(1-p_0)}{p_0(1-p_1)}.

当这两个概率均严格介于 0 和 1 之间时，比值比为有限的正数。OR 等于 1 表示两组的几率相同；大于 1 表示第 1 组的几率较高，小于 1 则表示其几率较低。例如，OR $=2$ 表示几率为另一组的两倍，但不一定意味着概率也是两倍。因此，必须明确参照组以及所统计的事件。(online.stat.psu.edu)

根据列联表计算

对于两个二元变量，可以将观测数据整理成列联表：

	事件发生	事件未发生
第 1 组	$a$	$b$
第 0 组	$c$	$d$

样本比值比为

\widehat{\mathrm{OR}} =\frac{a/b}{c/d} =\frac{ad}{bc}.

这一表达式解释了它为何又称为交叉乘积比。它也可以写成 $(a/c)/(b/d)$ ：交换两个变量的角色，其值保持不变。若将组别标签或事件标签中的任意一组对调，比值比就变为原来的倒数；若两者都对调，其值则保持不变。在总体层面，当各单元格的概率均为正时，OR $=1$ 等价于这两个二元变量具有统计独立性。(online.stat.psu.edu)

举一个计算示例：假设第 1 组的 100 个观测中有 40 个发生了该事件，而第 0 组的 100 个观测中有 20 个发生了该事件。则

\widehat{\mathrm{OR}} =\frac{40\times80}{60\times20} =\frac83\approx2.67.

两组的概率分别为 0.40 和 0.20，因此概率之比为 2，而不是 2.67。

与风险比的关系

风险比（RR），又称相对风险，直接比较事件发生的概率：

\mathrm{RR}=\frac{p_1}{p_0}.

根据定义可得到如下精确恒等式：

\mathrm{OR} =\mathrm{RR}\frac{1-p_0}{1-p_1}.

当两组的事件发生概率都很小时，最后一个因子接近 1，因此比值比近似于风险比。这称为罕见结局近似。这一近似所涉及的是相关总体组别中的结局发生频率，而不只是经过有意选择的样本中病例所占的比例。对于常见结局，两者的差异可能很大。(pubmed.ncbi.nlm.nih.gov)

仅凭比值比无法确定概率的绝对变化。如果已知基线概率 $p_0$ ，将定义式变形可得

p_1=\frac{\mathrm{OR}\,p_0} {1-p_0+\mathrm{OR}\,p_0}.

因此，在不同的基线概率下，同一个比值比可以对应不同的概率变化。

病例对照研究

在病例对照研究中，研究者按照结局状态抽取参与者，并比较他们的暴露史。由于纳入样本的病例数和对照数由研究者决定，样本中的结局比例通常不能直接用于估计总体风险。不过，在适当的抽样条件下，包括在各结局组内进行与暴露无关的抽样，暴露比值比仍可用于估计总体的结局比值比。(online.stat.psu.edu)

所估计的总体指标还取决于对照的选择方式。从始终未成为病例的人群中抽取对照，估计的是结局比值比；采用风险集抽样或发病密度抽样，则可以估计发病率比，而不要求结局罕见。这些解释将研究设计的特性与比值比的数学定义区分开来。(pmc.ncbi.nlm.nih.gov)

逻辑回归

在逻辑回归中，事件发生的条件概率的对数几率被建模为

\log\!\left(\frac{p}{1-p}\right) =\beta_0+\beta_1x_1+\cdots+\beta_kx_k.

当其他预测变量保持不变，且不存在涉及 $x_j$ 的交互作用时， $x_j$ 每增加一个单位，几率就乘以

e^{\beta_j}.

当 $x_j$ 的变化量为 $\Delta x_j$ 时，相应的比值比为 $e^{\beta_j\Delta x_j}$ 。因此，对系数取指数后得到的值描述的是条件关联，而不是概率的固定变化量。(online.stat.psu.edu)

统计不确定性

对于样本量足够大、观测相互独立且各单元格计数均为正的样本，样本比值比的对数的近似标准误为

\operatorname{SE}\!\left(\log\widehat{\mathrm{OR}}\right) \approx \sqrt{\frac1a+\frac1b+\frac1c+\frac1d}.

将下式的两个端点分别取指数，即可得到近似的 95% 置信区间：

\log\widehat{\mathrm{OR}} \pm1.96\, \operatorname{SE}\!\left(\log\widehat{\mathrm{OR}}\right).

稀疏列联表和计数为零的单元格可能使这一近似不可靠或无法计算，因此需要采用适用于小样本的方法。对于配对观测，分析必须考虑其配对关系，而不能直接套用独立列联表的公式。(online.stat.psu.edu)

调整与不可折叠性

比值比通常具有不可折叠性：总体层面的比值比，即边际比值比，可能与以另一个变量为条件的比值比不同，即使该变量并不是混杂因素。因此，未经调整的比值比与经回归调整的比值比之间存在差异，本身并不能证明存在混杂。条件比值比与边际比值比回答的是不同的统计问题。(pmc.ncbi.nlm.nih.gov)

与其他关联指标一样，比值比本身不能确立因果关系。能否作出因果解释，还取决于研究设计以及关于混杂、选择和测量的假设。(cdc.gov)

参考来源

Principles of Epidemiology: Lesson 3, Section 5archive.cdc.gov
The relative merits of risk ratios and odds ratiospubmed.ncbi.nlm.nih.gov
Collapsibility in case-control studiespmc.ncbi.nlm.nih.gov
Defining, Quantifying, and Interpreting “Noncollapsibility” in Epidemiologic Studies of Measures of “Effect”pmc.ncbi.nlm.nih.gov
Making apples from oranges: Comparing noncollapsible effect estimators and their standard errors after adjustment for different covariate setspmc.ncbi.nlm.nih.gov
Analyzing and Interpreting Datacdc.gov