量子谐振子是量子力学中回复力与偏离平衡位置的位移成正比的系统。它的势能是位移的二次函数，是经典力学中谐振子的量子对应物。它既是一个可精确求解的模型，也是描述稳定平衡位置附近小振动的有效近似。其典型特征包括等间距能级、非零的最低能量，以及在空间中展开的量子态，而非确定的粒子轨迹。(ocw.mit.edu)
哈密顿算符与谐近似
对于质量为 (m)、平衡位置为 (x=0)、角频率为 (\omega>0) 的一维粒子，哈密顿算符为
[ \hat H=\frac{\hat p^{,2}}{2m}+\frac12m\omega^2\hat x^{,2}. ]
第一项表示动能，第二项表示势能。位置与动量满足 ([\hat x,\hat p]=i\hbar)，其中 (\hbar=h/(2\pi)) 是约化普朗克常数。在位置表象中，(\hat p=-i\hbar,d/dx)，定态薛定谔方程变为
[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} +\frac12m\omega^2x^2\psi=E\psi. ]
具有物理意义的束缚态解必须在整个实数轴上可归一化。(ocw.mit.edu)
这一模型之所以适用广泛，是因为光滑势能函数在极小值点 (x_0) 附近可展开为泰勒级数：
[ V(x)=V(x_0)+\frac12V''(x_0)(x-x_0)^2+\cdots. ]
在平衡位置，一次项为零。如果 (V''(x_0)>0)，且高阶项足够小，运动就近似为简谐运动，角频率为 (\omega=\sqrt{V''(x_0)/m})。常数项 (V(x_0)) 使所有能量发生相同的平移，而不改变量子态。若极小值处较为平坦，二阶曲率为零，则需要采用其他近似。(ocw.mit.edu)
能谱与波函数
允许的能量为
[ E_n=\hbar\omega\left(n+\frac12\right), \qquad n=0,1,2,\ldots. ]
在一维情形下，每个能级都不简并，相邻能级的能量差为 (\hbar\omega)。这种能量量子化与经典情形中能量可连续取值的情况形成对比。相对于势能最低点测得的基态能量 (E_0=\hbar\omega/2)，就是谐振子的零点能。(ocw.mit.edu)
定义特征长度 (\ell=\sqrt{\hbar/(m\omega)})，归一化的波函数为
[ \psi_n(x)= \frac{H_n(x/\ell)e^{-x^2/(2\ell^2)}} {\pi^{1/4}\sqrt{2^n n!,\ell}}, ]
其中 (H_n) 表示物理学约定下的厄米多项式。态 (\psi_n) 有 (n) 个节点，宇称为 ((-1)^n)：编号为偶数的态是对称的，编号为奇数的态是反对称的。这些函数构成谐振子希尔伯特空间的一组标准正交基，其他可归一化的态都可以用它们展开。(ocw.mit.edu)
根据玻恩规则，(|\psi_n(x)|^2) 是位置概率密度。它越过满足 (V(x)=E_n) 的经典转向点，延伸到具有该能量的经典粒子无法到达的区域。不过，能量本征态的概率密度不随时间变化：它的时间依赖仅体现在相位因子 (e^{-iE_nt/\hbar}) 中。(ocw.mit.edu)
升降算符
代数求解方法使用产生与湮灭算符：
[ \hat a=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\hat x +\frac{i\hat p}{\sqrt{2m\hbar\omega}}, \qquad \hat a^\dagger=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\hat x -\frac{i\hat p}{\sqrt{2m\hbar\omega}}. ]
它们满足 ([\hat a,\hat a^\dagger]=1)，并且
[ \hat H=\hbar\omega\left(\hat a^\dagger\hat a+\frac12\right). ]
数算符 (\hat N=\hat a^\dagger\hat a) 在态 (|n\rangle) 上的本征值为 (n)。升降算符的作用为
[ \hat a|n\rangle=\sqrt n,|n-1\rangle,\qquad \hat a^\dagger|n\rangle=\sqrt{n+1},|n+1\rangle. ]
条件 (\hat a|0\rangle=0) 确定了基态。反复施加升算符可生成所有激发态，无须直接求解微分方程即可推导出能谱。(ocw.mit.edu)
不确定性与动力学
基态的位置概率密度呈高斯分布。其位置和动量的不确定度满足
[ (\Delta x)^2=\frac{\hbar}{2m\omega}, \qquad (\Delta p)^2=\frac{m\hbar\omega}{2}, \qquad \Delta x,\Delta p=\frac{\hbar}{2}. ]
因此，基态达到不确定性原理所允许的下限。位移和动量都精确为零的态不可能存在；两者非零的分布宽度解释了最低能量为何不为零。在每个能量本征态中，平均动能与平均势能相等。(damtp.cam.ac.uk)
一般的量子叠加态按下式演化：
[ |\psi(t)\rangle=\sum_n c_n e^{-iE_nt/\hbar}|n\rangle. ]
与单一能量本征态不同，这种态的位置概率可以随时间变化。对于孤立的谐振子，位置和动量的期望值遵循经典谐振子的运动方程，但这些平均值并不意味着存在确定的微观轨迹。(damtp.cam.ac.uk)
热行为与应用
[ Z=\frac{e^{-\beta\hbar\omega/2}} {1-e^{-\beta\hbar\omega}}, \qquad \beta=\frac{1}{k_BT}, ]
其中 (k_B) 为玻尔兹曼常数。其平均能量为
[ \langle E\rangle=\frac{\hbar\omega}{2} +\frac{\hbar\omega}{e^{\beta\hbar\omega}-1}. ]
在高温下，这一平均能量趋近于 (k_BT)，与经典能量均分定理一致。在低温下，热激发受到抑制，能量趋近于零点能。(damtp.cam.ac.uk)
分子振动可用简谐模式近似描述，这为振动光谱学提供了基础。晶体振动同样可分解为不同模式，其激发量子称为声子。量子化的电磁场模式具有谐振子结构，其占据数对应光子数；因此，谐振子方法也被用于量子场论。(damtp.cam.ac.uk)
当势能的高阶项变得不可忽略时，真实系统就会表现出非谐性。此时，能级未必仍然等间距，各模式之间也可能发生相互作用。谐振子模型在二次近似成立的范围内最为准确；仅靠这一模型，无法描述分子解离或远离平衡的情况。(ocw.mit.edu)