不确定性原理是量子力学的基本特征，限制某些成对的物理量在同一量子态中能够同时具有多么确定的值。其最著名的表述涉及位置和动量：两者的统计离散程度不能同时任意小。这一限制是理论本身固有的，而不只是仪器不完善所致。相关的不确定性关系还描述了近似联合测量的局限，以及测量精度与扰动之间的制约。这些表述涉及不同的物理情境，需要采用不同的不确定性定义。(arxiv.org)
历史发展
维尔纳·海森堡于1927年提出了这一原理。他的论述包含一个涉及显微镜的思想实验：用于确定电子位置的光，也会向电子传递动量。这个例子说明了定位与扰动之间的联系，但并非现代统计不等式的严格推导。同年，厄尔·赫塞·肯纳德证明了精确的位置—动量关系。1929年，霍华德·P. 罗伯逊将这一不等式推广到其他可观测量；随后，埃尔温·薛定谔提出了纳入相关性的更强表述。(arxiv.org)
位置与动量
对于一个空间坐标 (x) 及其对应的动量分量 (p_x)，标准关系为
[ \Delta x,\Delta p_x\geq\frac{\hbar}{2}, ]
其中，(\hbar=h/(2\pi)) 是约化普朗克常数。(\Delta x) 和 (\Delta p_x) 是给定状态下理论所预测的测量结果分布的标准差。它们不是仪器误差限，也不是估计均值时的不确定度。即使每个物理量都通过理想测量获得，这一关系仍然限制着两个概率分布的离散程度。(link.aps.org)
在实际操作中，可以利用大量以相同方式制备的系统来确定这些分布：对一组系统测量位置，对另一组测量动量。无需对单个粒子进行同时测量。若制备出的状态具有较窄的位置分布，其动量分布就必然足够宽。因此，这一关系称为制备不确定性关系。与经典力学不同，量子力学不允许存在位置及其对应动量同时任意确定的状态。(arxiv.org)
数学表述
可观测量在数学上由希尔伯特空间上的自伴算符表示。其离散程度通过方差定义：
[ (\Delta A)^2=\langle A^2\rangle-\langle A\rangle^2, ]
其中，尖括号表示期望值。罗伯逊关系表明，
[ \Delta A,\Delta B \geq\frac12\left|\langle[A,B]\rangle\right|, \qquad [A,B]=AB-BA. ]
算符对易子衡量两个算符不对易的程度。对于位置和动量，([x,p_x]=i\hbar I)，由此得到常数下界 (\hbar/2)。对于无界算符，状态必须满足适当的定义域条件和有限性条件，这些表达式才有意义。(journals.aps.org)
推导时，将柯西—施瓦茨不等式应用于中心化算符 (A-\langle A\rangle) 和 (B-\langle B\rangle) 作用在同一状态上所得到的两个向量。保留其内积的实部和虚部，可得到更强的罗伯逊—薛定谔关系：
[ (\Delta A)^2(\Delta B)^2 \geq \frac14|\langle[A,B]\rangle|^2 + \frac14|\langle{\delta A,\delta B}\rangle|^2, ]
其中，(\delta A=A-\langle A\rangle)，且 ({X,Y}=XY+YX)。第二项表示对称化协方差的贡献。需要注意的是，非零对易子在某些状态下的期望值仍可能为零；因此，罗伯逊关系的下界可以为零，但这并不意味着这些可观测量在一般情况下变得相容。(journals.aps.org)
波动解释与物理实例
波函数的位置表象与动量表象通过傅里叶变换相联系。空间上局域的波需要包含较宽范围的波数；由于动量与波数成正比，空间局域化就意味着动量具有一定的离散程度。相应的数学制约关系也存在于经典波动理论中，不过其量子解释涉及粒子测量结果的概率。(ocw.mit.edu)
相位选取适当的高斯波包可使位置—动量不等式取等号：
[ \Delta x,\Delta p_x=\hbar/2. ]
其位置分布和动量分布均为正态分布。在自由演化过程中，这样的波包通常会展宽，其位置与动量标准差的乘积不一定始终保持这一最小值。演化中的状态仍受不确定性关系约束。(ocw.mit.edu)
量子谐振子的基态是另一种最小不确定性态。其位置和动量的离散程度均非零，零点能为 (E_0=\hbar\omega/2)，其中 (\omega) 是振子的角频率。依据不确定性关系，对其动能与势能之和进行最小化，也能得到这一基态能量。(ocw.mit.edu)
测量与能量—时间关系
制备不确定性必须与测量不确定性区分开来。近似联合测量涉及对不相容可观测量进行估计时，各自误差之间的制约；序贯测量则涉及精度与扰动之间的制约。相应的定量界限取决于如何定义误差和扰动。不能简单地将位置—动量制备不等式重新解释为对仪器误差与扰动乘积的普适限制。(arxiv.org)
涉及能量与时间的关系需要单独处理。在通常的非相对论量子力学中，时间是演化参数，而不是像位置那样表示的可观测量。一种精确的表述是曼德尔施塔姆—塔姆关系：
[ \Delta E,\tau_A\geq\hbar/2, \qquad \tau_A=\frac{\Delta A}{|d\langle A\rangle/dt|}. ]
对于不显含时间的可观测量，当分母非零时，(\tau_A) 衡量其变化的特征时间尺度。这里，(\Delta E) 是哈密顿算符的标准差。这一关系限制的是动力学变化，而非定义时钟读数的某种普适不确定度。(arxiv.org)
推广
不确定性关系也适用于自旋角动量的各个分量。其他表述使用信息熵而非标准差来量化不可预测性。这类关系可用于量子密钥分发和量子纠缠的检测；在这些情境中，不确定性界限可以纳入另一个量子系统所持有的信息。(link.aps.org)