指数函数

指数函数是形如 $f(x)=a^x$ 的函数，其中底数 $a$ 是固定的正实数，通常要求 $a\ne1$，而指数 $x$ 是变量。这个术语也可特指自然指数函数 $\exp(x)=e^x$，其底数为欧拉数，近似等于 $2.71828$。指数函数描述的是乘法式变化：输入增加相同的量，输出就按相同的比例变化。这一点使它区别于 $x^2$ 等幂函数，后者的变量位于底数中。(openstax.org)

定义与代数结构

对于正底数，乘方运算可以通过开方从整数指数推广到有理数指数，再利用连续性推广到任意实数指数。等价地，

其中 $\ln$ 表示自然对数。底数为正，保证了函数对每一个实数输入都有实数值；负底数一般无法满足这一条件。当 $a=1$ 时，得到常值函数 $1$，通常将其排除在非常值指数函数这一类之外。(openstax.org)

基本的指数运算法则为

因此，乘方运算将输入的加法转化为输出的乘法。对于任意固定增量 $h$，

该比值与 $x$ 无关。例如，$x$ 每增加 $1$，$2^x$ 就变为原来的两倍，而 $2^{-x}$ 则减为原来的一半。更一般的表达式 $Ca^{kx}$ 分别引入了输出和输入的尺度因子，但并未改变其基本的乘法结构。(openstax.org)

图像与反函数

$a^x$ 的函数的定义域是全体实数，值域是全体正实数。它的函数图像经过 $(0,1)$，且从不与横轴相交。它是连续函数，也是严格的单调函数：当 $a>1$ 时严格递增，当 $0<a<1$ 时严格递减。对于 $a>1$，当 $x\to-\infty$ 时，函数值趋于零；当 $x\to+\infty$ 时，函数值无限增大。对于 $0<a<1$，情况则相反。(openstax.org)

严格单调性使该函数成为单射函数。它的反函数是 $\log_a x$，定义于正数输入：

指数函数与对数函数的图像关于直线 $y=x$ 对称。对于 $C>0$，取对数还可以将指数关系 $y=Ca^x$ 转化为线性关系 $\ln y=\ln C+x\ln a$。(openstax.org)

自然指数函数与微积分

自然指数函数的独特之处在于它的导数：

因此，它的瞬时变化率等于其当前函数值。它是以下微分方程及初始条件的唯一解：

对于一般的正底数，

只要 $g$ 可微，由链式法则可得

这些恒等式说明了指数函数为何在微积分中占据核心地位。(openstax.org)

由求导公式可直接得到积分公式

其中分别要求 $k\ne0$ 和 $a\ne1$。再次求导得到 $(a^x)''=(\ln a)^2a^x>0$，因此每个非常值的实指数函数都是严格的凸函数，递减的指数函数也不例外。(openstax.org)

另一种定义使用处处收敛的幂级数：

其中 $n!$ 是阶乘。这也是该函数在零点展开的泰勒级数。特别地，在零点附近有 $\exp(x)=1+x+O(x^2)$，由此可得到局部线性近似。(dlmf.nist.gov)

增长与衰减模型

若某个量的变化率与其当前大小成正比，则它满足

对于 $N_0>0$，$k$ 为正时产生指数增长，$k$ 为负时产生指数衰减。保持恒定的是比值 $N'(t)/N(t)=k$，而不是单位时间内的绝对增量。增长的倍增时间为 $\ln2/k$；衰减的半衰期为 $\ln2/|k|$。这两个时间间隔都与初始量无关。(openstax.org)

应用包括理想化的种群增长、放射性衰变、连续复利和热弛豫。在冷却模型中，按指数规律变化的量是物体的温度与环境温度之差，而不一定是物体的绝对温度。这类模型依赖于比例变化率恒定等假设；环境条件的变化可能使这一假设不再成立。(openstax.org)

复数推广与计算

同一个级数可为每个复数定义 $\exp(z)$。它在整个复平面上都是解析函数，且没有零点。对于实数 $x,y$，

因此，纯虚数输入描述的是旋转，而不是正实数范围内的增长。该函数以 $2\pi i$ 为周期，所以它在复数域上的推广不是单射，也不可能有一个全局反函数。(dlmf.nist.gov)

在数值分析中，可以先对自变量进行约化，再对级数求和来计算函数值。例如，将 $x$ 写成 $x=m\ln10+r$，选择整数 $m$，使得 $|r|\le\frac12\ln10$。于是

较小的自变量使级数计算更为方便，而因子 $10^m$ 则将结果还原到所需的尺度。复数情形的计算也可以类似地将实指数因子与正弦、余弦因子分开处理。(dlmf.nist.gov)