边值问题是由一个微分方程及其成立区域的边界上所施加的附加条件共同构成的数学问题。其解必须同时满足方程和这些边界条件。对于定义在区间上的方程，条件通常涉及区间的两个端点；对于偏微分方程，条件则可能给定在边界曲线或曲面上。边值问题用于描述物理学和工程学中受空间约束的系统，也为研究微分算子提供了框架。(persson.berkeley.edu)
数学表述
一个典型的二阶常微分方程问题，是求满足 [ y''=f(x,y,y'),\qquad a<x<b, ] 以及 [ y(a)=\alpha,\qquad y(b)=\beta ] 的函数 (y(x))。方程确定了函数与其导数之间的局部关系，而端点条件则对整个区间上的解施加约束。这与初值问题不同：初值问题的数据，例如 (y(a)) 和 (y'(a))，都在同一个起始点给定。(heath.cs.illinois.edu)
对于偏微分方程，常用的记法是 [ Lu=f\quad\text{在 }\Omega\text{ 内},\qquad Bu=g\quad\text{在 }\partial\Omega\text{ 上}, ] 其中 (L) 是微分算子，(\Omega) 是定义域，(B) 表示边界算子。边界数据的选择是问题本身的一部分，而不是可有可无的附加内容：改变这些数据，可能会改变解、解的唯一性，乃至解是否存在。(conan.iwr.uni-heidelberg.de)
边界条件的类型
二阶方程中常见的标准边界条件有以下几种：
- **狄利克雷条件**指定未知函数的值：(u=g)。
- **诺伊曼条件**指定未知函数的外法向导数 (\partial_n u=g)，或与之相关的法向通量。
- **罗宾条件**指定一个线性组合，例如 (\alpha u+\beta\partial_n u=g)。
- 混合条件在边界的不同部分施加不同类型的条件。
这里，(\partial_n u=\nabla u\cdot n)，其中 (n) 是外单位法向量，(\nabla u) 是梯度。当边界条件中给定的右端项为零时，称其为齐次边界条件。应采用何种条件，取决于方程以及未知量所代表的物理量。(conan.iwr.uni-heidelberg.de)
例如，在热传导模型中，狄利克雷数据可以表示给定的温度，而诺伊曼数据可以表示给定的热通量。在二阶椭圆型问题通常采用的弱形式中，狄利克雷条件通过对容许函数的限制来施加，而诺伊曼条件则通过边界项引入。(math.mit.edu)
存在性、唯一性与稳定性
如果一个问题的解存在、唯一，并且在指定的函数空间范数下连续依赖于输入数据，就称该问题是适定的。这些性质需要对方程、定义域和边界条件作出相应假设；仅仅给出预期数量的条件，并不能保证这些性质成立。对于椭圆型方程，即使边界条件看似合理，也可能产生不稳定的问题。(conan.iwr.uni-heidelberg.de)
一个简单的例子可以说明解的非唯一性： [ y''+y=0,\qquad y(0)=y(\pi)=0. ] 直接代入可知，任意函数 (y(x)=C\sin x) 都满足这个问题。如果将第二个条件改为 (y(\pi)=1)，则不存在解：第一个条件迫使余弦项的系数为零，剩下的函数在 (\pi) 处必然为零。这是齐次谱边值问题中不同可解情形的一个初等例子。(sites.science.oregonstate.edu)
泊松方程提供了另一个重要例子。在具有足够规则的边界和数据的有界连通域上，对于 [ -\Delta u=f,\qquad \partial_nu=g, ] 可解性要求满足相容性条件 [ \int_\Omega f,dx+\int_{\partial\Omega}g,dS=0. ] 解只能确定到相差一个加法常数；通过归一化，例如指定解的平均值，可以消除这一自由度。(conan.iwr.uni-heidelberg.de)
弱形式与变分形式
经典解具有所需的各阶导数，并逐点满足微分方程。弱解则满足一个积分恒等式，该恒等式通过将方程乘以检验函数并进行分部积分得到。这使得微分正则性较低的函数也可以成为解，并将边值问题与泛函分析联系起来。(math.mit.edu)
对于齐次狄利克雷泊松问题，其弱形式为 [ \int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v,dx =\int_\Omega fv,dx, ] 且该等式对每一个容许的检验函数 (v) 都成立。(u) 和 (v) 都属于索伯列夫空间 (H_0^1(\Omega))，该空间包含了边界值为零的要求。在适当的有界域上，强制性与拉克斯–米尔格拉姆定理可用于确立这一弱形式的解的存在性、唯一性和对数据的连续依赖性。(math.ntnu.no)
特征值问题
有些边值问题包含未知参数。在施图姆–刘维尔理论中，只有当参数取某些特定值时，才存在非零解；这些参数值称为特征值，对应的函数称为特征函数。因此，边界条件也参与确定所允许的谱。(sites.science.oregonstate.edu)
例如， [ -y''=\lambda y,\qquad y(0)=y(L)=0 ] 在 (\lambda_n=(n\pi/L)^2) 时存在非零解，其特征函数与 (\sin(n\pi x/L)) 成正比，其中 (n) 为正整数。这些模态是正弦级数表示以及用分离变量法求解演化方程的基础，端点温度固定的热方程就是其中一例。(math.clemson.edu)
数值方法
**打靶法**将端点边值问题转化为一族初值问题。先猜测未知的初始斜率，再对方程进行积分求解，随后调整斜率，直至满足另一个端点的条件。这样，边界条件的偏差就转化为一个求根问题。(heath.cs.illinois.edu)
**有限差分法**用离散近似代替导数，例如 [ y''(x_i)\approx \frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2}. ] 这些关系与边界值一起构成关于网格点处函数值的代数方程。对于一维线性泊松问题，它们构成一个三对角线性方程组。(persson.berkeley.edu)
**有限元法**从弱形式出发，在有限维函数空间中近似求解。它根据边界条件在弱形式中的作用来处理这些条件，从而以不同方式纳入给定的边界值和边界通量。(math.mit.edu)