分数是表示除法的表达式，通常写作 (\frac{a}{b}) 或 (a/b)，其中 (b) 不为零。在初等算术中，分数的分子和分母都是整数，其值是一个有理数。分数可以描述整体的若干等份，也可以表示大于一的量、负的量以及除法的结果。更广义地说，分数记法中的分子和分母可以是代数表达式，而不一定是整数。(openstax.org)
记法与含义
上方的 (a) 称为分子，下方的 (b) 称为分母。分隔二者的横线表示除法，同时将分子和分母各自视为一个整体。因此，(\frac{a+c}{b+d}) 表示用整个表达式 (a+c) 除以整个表达式 (b+d)。(openstax.org)
当分子和分母都是正整数时，分数可以用等分来解释：(\frac{3}{4}) 表示将一个单位整体平均分成四份后取其中的三份。每份大小相等至关重要；从大小不等的四块中取出三块，未必占整体的四分之三。分数也可以在数轴上表示，其中 (\frac{3}{4}) 位于零的右侧，与零相距三个四分之一单位长度。(openstax.org)
分母不能为零，因为在通常的算术中，除以零没有定义。分子则可以为零：只要 (b\ne0)，就有 (\frac{0}{b}=0)。正负号遵循通常的除法法则： [ \frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}, \qquad \frac{-a}{-b}=\frac{a}{b}. ] 因此，负分数的负号通常写在整个分数之前，或写在分子中。(openstax.org)
分数的形式
当分子为非负整数、分母为正整数时，分子小于分母的分数称为真分数，例如 (\frac{2}{5})。分子大于或等于分母的分数称为假分数，例如 (\frac{7}{5}) 或 (\frac{5}{5})。假分数是有效的表达式，并不是错误的写法。(openstax.org)
带分数由整数部分和一个真分数组成： [ 2\frac{1}{3}=2+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}. ] 在这种记法中，两部分并列表示相加，而不是相乘。单位分数的分子为一，例如 (\frac{1}{6})。繁分数的分子、分母或两者中含有分数；例如，(\frac{1/2}{3/4}) 表示两个分数相除。(openstax.org)
等值与化简
不同的分数表达式可以表示相同的值。分子和分母同时乘以同一个非零数，商保持不变： [ \frac{a}{b}=\frac{ka}{kb}. ] 因此，(\frac{1}{2})、(\frac{2}{4}) 和 (\frac{50}{100}) 是等值分数。反过来，也可以将分子和分母同时除以一个非零公因数。(openstax.org)
分子和分母均为整数的分数，如果二者除一以外没有其他正公约数，就称为最简分数。将分子和分母同时除以它们的最大公约数，即可得到最简形式。例如： [ \frac{18}{24}=\frac{3}{4}. ] 在分母为正数的条件下，每个有理数都有唯一的最简分数表示；零表示为 (\frac{0}{1})。(openstax.org)
当分母均不为零时，可以用下式判断两个分数是否相等： [ \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \quad\Longleftrightarrow\quad ad=bc. ] 当分母均为正数时，比较两个分数的大小也可以转化为比较 (ad) 和 (bc) 的大小。这说明分数的数值大小不能仅凭写出的分子、分母大小来判断：(\frac{3}{5}<\frac{2}{3})，因为 (9<10)。(math.utah.edu)
算术运算
分数的加减法需要先将分数化为同分母形式： [ \frac{a}{b}\pm\frac{c}{d} =\frac{ad\pm bc}{bd}. ] 例如，(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6})，而不是 (\frac{2}{5})。各个正分母的最小公倍数就是最小公分母，使用它通常可以减少计算量。(openstax.org)
分数相乘时，分子与分子、分母与分母分别直接相乘： [ \frac{a}{b}\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}. ] 乘法可以表示求某个量的几分之几：四分之三的一半是 (\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}=\frac{3}{8})。相乘之前可以先约去公因数。(openstax.org)
分数除法通过乘以除数的倒数来计算： [ \frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}, \qquad b,c,d\ne0. ] 例如，(\frac{3}{4}\div\frac{1}{2}=\frac{3}{2})。因此，一个正的量乘以分数不一定变大，除以分数也不一定变小。(openstax.org)
小数与百分数
将分子除以分母，就可以把分数化为小数。分子、分母均为整数的分数，其小数展开是有限小数或最终进入循环的小数：(\frac{1}{8}=0.125)，而 (\frac{1}{3}=0.\overline{3})。反过来，每个有限小数或最终进入循环的小数都表示一个有理数。无理数不能表示为两个整数之比。有理数和无理数都属于实数。(openstax.org)
百分数以百分之一为单位表示一个量，因此 (25%=\frac{25}{100}=\frac{1}{4})。同样，有限小数可以精确地表示为分母是十的幂的分数。不过，经过四舍五入得到的小数可能只是原分数的近似值；(0.33) 并不精确等于 (\frac{1}{3})。(openstax.org)
代数推广与形式化构造
在代数中，分数记法可推广到含有变量的表达式。两个多项式的商称为有理式。通常的算术法则仍然适用，但必须保留分母非零的限制条件。例如： [ \frac{x^2-1}{x-1}=x+1\qquad(x\ne1). ] 约分约去的是公因式，而不是和式中任意的项。由原来的商所定义的函数在 (x=1) 处仍然没有定义，即使化简后的表达式在该处可以求值。(openstax.org)
在集合论中，可以用整数对 ((a,b)) 构造有理数，其中 (b\ne0)。规定当 (ad=bc) 时，((a,b)\sim(c,d))，由此定义了一个等价关系。每个等价类都包含同一个有理数的所有分数表示。在由此诱导的算术运算下，这些数构成一个域，为分数运算提供了抽象的基础。(math.utah.edu)