印度—阿拉伯记数法

印度—阿拉伯记数法使用十个数字，以十为基数，按照位值制记数法表示数。在国际通用的形式中，这十个数字是 0、1、2、3、4、5、6、7、8 和 9。每个数字所表示的数值取决于它所在的位置，而零则用于标记原本空缺的数位。这套记数法在印度发展起来，经阿拉伯语世界传入欧洲；多个地区的数字形体虽各不相同，却具有相同的基本结构。(unicode.org)

结构与位值

这套记数法区分数与数的书写表示：数是抽象的数学对象，而数的记号是指称该对象的表达式，数字则是这一表达式的组成部分。在十进制记数法中，从右向左，每个数位的位值都是前一位的十倍，依次为个位、十位、百位、千位，等等。因此，

4{,}072=4\times10^3+0\times10^2+7\times10+2.

其中的零保留了百位；如果省略它，写出的便是另一个数 472。这样的结构使人们能够用一套固定的符号表示任意大的非负整数。(openstax.org)

零有两种相互关联但不同的功能：它既是数的记号中的占位符，本身也是一个数。认识到数位可以空缺，并不意味着已经确立了涉及零的运算规则。因此，数学史研究会区分位值记数法的发展与零作为算术对象的发展。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

在印度的发展

现代的这套记数法经历了长期发展，并非源于某一次有明确文献记录的发明。早期的婆罗米数字是后来印度数字形体的源头之一，但不能将其存在等同于完整的十进制位值记数法已经形成。数字形体在不同地区的传统中演变，包括笈多体和城字体，在印度各地差异很大。最早的婆罗米数字符号究竟起源于何处，至今仍不确定。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

印度数学将十进制位值与对零的明确处理结合起来。婆罗摩笈多在公元 628 年写成的《婆罗摩修正体系》中，提出了涉及零和负数的运算规则。其中若干规则与现代算术一致，例如一个数减去自身等于零。然而，他对涉及零的除法的处理，并未作出现代数学中有效的除法与以零为除数的未定义除法之间的区分。这些进展属于与天文学相联系的更广泛的数学传统。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

经伊斯兰世界传播

在阿拔斯王朝时期，印度的数学和天文学著作通过阿拉伯语译本流传。9 世纪初，花拉子米撰文介绍了使用印度数字进行计算的方法。他的阿拉伯语算术原著已经失传，但后来的一个拉丁语版本描述了使用九个非零数字和零的十进制位值记数法。由于这个版本与原著存在差异，不能据此确定他所用记数法的全部细节。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

源自印度的算术方法与其他计算传统并存，包括手指计数和六十进制计算。因此，这些方法既没有立即得到采用，也没有在各地以同样的方式普及。学者们对其加以调整，数字形体也在不同地区逐渐分化。“印度—阿拉伯”这一名称，既体现了这套记数法在印度的发展，也反映了阿拉伯语学术在其向西传播过程中发挥的作用。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

在欧洲的采用

中世纪期间，欧洲通过翻译活动和地中海地区的交流，加深了对这套记数法的了解。斐波那契，又称比萨的莱昂纳多，在北非学会了源自印度的计算方法，并在《计算之书》中加以阐述。该书初稿完成于 1202 年，1228 年经过修订。书中介绍了使用九个印度数字和零的算术方法，以及这些方法在货币兑换、价格和利润等商业问题中的应用。斐波那契推动了这套记数法的传播，但他既不是发明者，也不是最早使用它的欧洲人。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

这种新的记数法在逐渐传播的同时，与算盘及旧有的记数惯例并存。它的重要性不仅在于替换了符号，更在于支持书面计算程序：数可以按位值排列，再系统地对各位数字进行运算。在这些方法得到广泛采用之前，中世纪的算术著作已经帮助确立了它们。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

分数与小数展开

十进制记数法将位值扩展到分数。小数分隔符将个位与十分位、百分位、千分位以及更小的数位分开。例如，

23.405=2\times10+3+\frac4{10}+\frac0{100}+\frac5{1000}.

这些小数位对应于十的负整数次幂。加上负号，还可以表示负数；负号并不是一个额外的数字。(openstax.org)

有理数的小数展开是有限的，或从某一位起循环。例如， $1/8=0.125$ ，而 $1/3=0.333\ldots$ 。无理数的小数展开既不会终止，也不会从某一位起循环。因此，十进制记数法通过有限或无限的数字序列表示实数，但无限小数展开无法完整地写出。(openstax.org)

地区形式与数字编码

这套数学体系不依赖于任何特定的文字。欧洲式数字写作 0123456789；阿拉伯—印度式数字写作 ٠١٢٣٤٥٦٧٨٩；东部阿拉伯—印度式数字写作 ۰۱۲۳۴۵۶۷۸۹；天城体数字写作 ०१२३४५६७८९。它们的形体不同，但十进制数值及按位值解释的方式相同。因此，“阿拉伯数字”一词存在歧义：它既可以指国际通用的欧洲式数字，也可以指与阿拉伯文字相关的数字。(unicode.org)

Unicode统一码对这些数字集分别编码。各地区的数字格式还涉及小数分隔符、分组分隔符和分组方式；这些惯例与十进制结构本身是不同的。Unicode 的区域设置数据记录了这些差异，使软件能够按不同文化的习惯显示数，而不把每套十进制数字集都当作同一组字符序列。(unicode.org)