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数学 / fibonacci

斐波那契

斐波那契是中世纪比萨数学家，其著作推动了印度-阿拉伯算术在欧洲的传播，并记载了以他命名的数列。

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斐波那契，又称比萨的莱昂纳多，是意大利数学家，约生于1170年，至少活到了1240年代初。他的著作推动了印度-阿拉伯数字系统及其计算方法在欧洲拉丁文化圈的传播。如今，他最为人熟知的成就是斐波那契数列，但其研究涉及商业算术、代数、几何学和数论等多个领域。他的主要著作《算盘书》于1202年完成，并于1228年修订。(library.ethz.ch)

生平与姓名

现存有关莱昂纳多早年生活的资料，大多来自《算盘书》的自传性序言。他的父亲古列尔莫在布贾（今阿尔及利亚的贝贾亚）担任比萨商人的代表。莱昂纳多在那里学习了使用印度数字进行计算的方法。此后，他在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯接触了当地的数学实践，并于1200年前后返回比萨。因此，他的数学教育是在地中海地区的商业与学术交流网络中逐步形成的。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

莱昂纳多引起了与皇帝腓特烈二世有联系的学者们的注意。约在1225年，巴勒莫的约翰内斯向他提出了一些数学难题；莱昂纳多在《花》（Flos）中记录了自己的解答。一份留存至今的市政文书还记载，比萨曾为他的服务支付报酬。相关记述将这份文书的年代定为1240年或1241年。他的确切卒年不详，常见的“约1250年”之说只是推测。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

“斐波那契”是他去世后才出现的称呼，并非有确凿文献证明的生前用名。这一称呼通过后世的历史著述逐渐固定下来。苏黎世联邦理工学院图书馆的历史介绍将其与他属于博纳奇家族联系起来，并指出，广为人知的“博纳奇之子”这一解释，并不是对该名称构成方式的唯一解读。莱昂纳多本人曾使用“比戈洛”（Bigollo）这一名字，其含义尚不确定。(library.ethz.ch)

《算盘书》与笔算

《算盘书》的书名通常译作《计算之书》，系统讲解了如何使用九个数字和零进行算术运算。其核心方法是十进制位值制记数法：一个数字的值取决于它在数中的位置。这部著作将计算方法与实际问题相结合，而不是孤立地讨论记数方式。它还吸收了早期的数学传统，包括花拉子米、阿布·卡米勒和欧几里得的成果。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

书中的商业实例涉及价格、利润、货币换算，以及地中海贸易中的其他计算问题。较为深入的章节则讨论方程、数值近似和趣味数学问题。这种内容安排使它既是一部数学论著，也是一部实用计算参考书。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

斐波那契并非这一数字系统的发明者。他的贡献在于，通过一部内容丰富的拉丁文著作，讲解并推广已有的算术知识体系。这套方法的普及是渐进的：使用新数字的笔算，与使用罗马数字及算盘的传统方法长期并存，也相互竞争。(library.ethz.ch)

兔子问题

《算盘书》中的一道题问：如果每对成年兔子每月繁殖出一对新兔子，而新生兔子需要经过一段时间才能繁殖，兔子的对数会如何增长？计算得出的数依次为

1,  1,  2,  3,  5,  8,  13,  21,…,1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;13,\;21,\ldots,

其中每个数都是前两个数之和。用现代记号表示，这个数列通常由以下递推关系定义：

F0=0,F1=1,Fn=Fn−1+Fn−2(n≥2).F_0=0,\qquad F_1=1,\qquad F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\quad(n\geq2).

这一递推关系表示：在题目规定的繁殖规则下，将新生兔子的对数加到原有兔子的对数上。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

这个数列在斐波那契之前就已为人所知：包括戈帕拉和赫马钱德拉在内的印度学者，在计算梵语诗歌中由短音节和长音节组成的韵律模式时，已经描述过同样的一组数。如今这个数列之所以与莱昂纳多联系在一起，源于他提出的兔子问题；19世纪，爱德华·卢卡以他的名字为该数列命名。(fibonacci-numbers.surrey.ac.uk)

几何学与平方数理论

写于1220年的《几何实践》（Practica geometriae）将几何命题与实际测量相结合。它讨论了平面图形和立体图形，并介绍了对测量人员有用的方法，例如利用相似三角形求出无法直接测量的高度。其理论基础在很大程度上源自欧几里得的《几何原本》。(library.ethz.ch)

写于1225年的《平方数书》（Liber quadratorum）研究了整数平方数与有理数平方之间的关系。书中的一个问题要求找出一个有理数，使它的平方无论加上五还是减去五，仍然是某个有理数的平方：

x2+5=y2,x2−5=z2.x^2+5=y^2,\qquad x^2-5=z^2.

这部著作还探讨了与勾股定理有关的构造。与现代的表述方式不同，书中的论证使用文字描述，而非如今通用的代数符号。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

著作流传与后世评价

莱昂纳多的著作以手抄本的形式流传。其中的实用算术和几何学内容影响了后来的教学，但他许多较为高深的成果逐渐不再广为人知。文艺复兴时期的作者使后人仍能了解他，尤其是卢卡·帕乔利在著述中对其作品的引用。18至19世纪的历史研究重新激起了人们对他成就的兴趣，也让人们认识到，他的贡献远不止兔子问题中的数列。(library.ethz.ch)

参考来源

  1. Leonardo Pisano Fibonacci — MacTutor History of Mathematicsmathshistory.st-andrews.ac.uk
  2. Biography of Leonardo of Pisa — ETH Librarylibrary.ethz.ch
  3. Rediscovery of Fibonacci in the eighteenth and nineteenth centuries — ETH Librarylibrary.ethz.ch
  4. Fibonacci as mathematician — ETH Librarylibrary.ethz.ch
  5. Fibonacci — Dictionary of Scientific Biographymathshistory.st-andrews.ac.uk
  6. Who was Fibonacci?fibonacci-numbers.surrey.ac.uk
  7. A000045 — OEISoeis.org
  8. Fibonacci's legacy — ETH Librarylibrary.ethz.ch