零（符号 0）是表示数量为空的数，也是位值制记数法中标记空位的数字。在现代数学中，零是介于 −1 和 1 之间的整数。它是加法单位元，即任何数加上零都保持不变。在有人把零当作一个数之前，许多文化早已用某种符号来标记空位。公元第一个千年的印度数学家最先赋予零完整的算术地位，零随后通过印度-阿拉伯数字系统传播到世界各地。
数学性质
零有一组决定性的性质。对任意数 a，都有 a + 0 = a，a × 0 = 0。零既不是正数，也不是负数。零能被 2 整除，因此是偶数。零的阶乘规定为 0! = 1。在代数中，函数或多项式的“零点”或“根”，指使输出为 0 的任一输入值。在抽象代数中，符号 0 表示加法群的单位元，以及环或域的加法单位元。
在普通算术中，除以零没有定义。当 a 不为零时，没有任何数 b 满足 b × 0 = a；而所有数都满足 b × 0 = 0。因此两种情况都得不到唯一的答案。在微积分中，0/0、0⁰ 这类表达式称为未定式，它们在具体问题中的值要借助极限求出。
零是否属于自然数，数学家之间看法不一。许多逻辑学家和计算机科学家从 0 开始计数，另一些传统则从 1 开始。皮亚诺公理的某些表述把 0 作为第一个自然数。在集合论中，标准的冯·诺伊曼构造把 0 定义为空集，并由此逐一构造出其后的每个自然数。
早期记数系统中的占位零
位值制记数系统需要某种方式来表示某一位是空的。在美索不达米亚，巴比伦人最初在楔形文字数字中直接留出空白。由于这样容易混淆，他们后来改用一个由两个斜楔组成的符号来标记空位。这一符号的出现时间通常定在公元前 300 年左右。巴比伦书吏只在数字中间使用它，不用在数的末尾，也从未把它当作数参与计算。
中美洲独立发展出了零。玛雅人使用二十进制，他们的零视场合不同有多种写法：算术中用种子形，历法日期中用花形，有时也用海螺壳或人头侧像。长纪历日期离不开零。目前已知最早的长纪历日期刻在恰帕斯州恰帕德科尔索的 2 号石碑上，年代为公元前 36 年。由于最早的这些日期出自玛雅核心地区之外，学者对零究竟由哪个文化发明仍有争议。
在中国，筹算长期以空位表示零。圆圈形的书面零出现在较晚的中国数学典籍中。继承巴比伦六十进制传统的希腊天文学家，有时在天文表中使用一个小圆形符号。在更广泛的古希腊思想中，虚空是否存在是一个有争议的哲学问题，亚里士多德就曾论证虚空不存在。
零在印度成为数
决定性的一步发生在印度。十进制位值制在那里发展起来，与之相伴的是梵语词 śūnya（音译“舜若”），意为“空”或“虚无”。婆罗摩笈多于公元 628 年写成的《婆罗摩历算书》（Brāhmasphuṭasiddhānta），是第一部把零当作独立的数来对待、并阐述如何用零计算（包括除以零）的著作。婆罗摩笈多给出了零的加法、减法和乘法法则。他对除法的处理与现代惯例不同，后来的婆什迦罗第二等印度数学家又对此作了重新探讨。
印度最早书面零的年代一直难以确定。巴克沙利手稿是一部写在桦树皮上的算术文献，用圆点作占位符。2017 年，牛津大学的研究人员宣布手稿中部分书页的年代在公元 224 年至 383 年之间，这一说法曾被广泛报道。然而在 2024 年 10 月，牛津大学将此前的测年修订为公元 799 年至 1102 年。放射性碳测年报告指出，对第 16 页进行的第二次测试表明，第一次结果并不准确。
石刻中有明确年代的最早的零来自碑铭。在柬埔寨，一块高棉碑铭用零这个数字记录了高棉纪年 604 年（公元 682—683 年）。在印度，瓜廖尔查图尔布吉神庙的一块碑铭年代为公元 876 年，记载了一座 187 × 270 哈斯塔（肘尺）的园林，以及每日供奉的 50 个花环。其中 270 和 50 的末位数字都写成小圆圈，也就是人们熟悉的 O 形零。
传播与词源
印度数字和零在阿拔斯王朝时期传入伊斯兰世界，九世纪花拉子米的算术著作对其作了阐述。阿拉伯语词 ṣifr（صفر）在伊斯兰时代以前意为“空的”，后来被用来翻译梵语的 śūnya，从而有了“零”的含义。
12 世纪，花拉子米的著作被译成拉丁文，零随之传入欧洲。此后，斐波那契在《计算之书》（Liber Abaci，1202 年）中推广印度数字。他在书中把零称作 zephirum，源自阿拉伯语的 ṣifr，意为“空”或“无”。这个词在意大利语中演变为 zefiro，在威尼斯方言中又缩略为 zero。源于同一阿拉伯语词根的中世纪拉丁语形式 cifra，则成了英语单词“cipher”的来源。印度-阿拉伯数字使笔算算术比算盘和罗马数字更快捷，但欧洲商界采用它的过程相当缓慢。
应用
零是实数和复数系统的基础，也是坐标几何（原点为 (0, 0)）和线性代数（零向量与零矩阵）的基础。二进制只有 0 和 1 两个数字，因此零在最底层就内嵌于数字计算机之中。许多编程语言的数组下标从零开始，IEEE 754 浮点数标准还区分 +0 和 −0。
在科学中，零往往标记的是一个参照点，而不是“什么都没有”。温标就是一例：摄氏零度是水的冰点，而零开尔文是绝对零度，即热力学中可能达到的最低温度。历法中也有类似的惯例差异：传统的公元纪年没有公元 0 年，而天文纪年法则包含 0 年。
参考来源
- The Story of India's Oldest 'ZERO' // '0' Inscription at Gwaliorasiwalkintothesettingsun.substack.com
- Zero in the pre-Columbian Americas Ximena Catepillán1 Alonso Méndez2mayaexploration.org
- Who Came Up With the Concept of Zero and Why It Matters - ScienceInsightsscienceinsights.org
- Maya numeralsen.wikipedia.org
- Ancient Text Reveals New Clues to the Origin of Zeronationalgeographic.com
- Carbon Dating Reveals the History of Zero Is Older Than Previously Thoughtsmithsonianmag.com
- Bakhshali manuscripten.wikipedia.org
- Radiocarbon dating of the Bakhshālī manuscriptora.ox.ac.uk
- Mathematical Treasure: The Cambodian Zeroold.maa.org
- 0en.wikipedia.org
- Much ado about Zeroarxiv.org
- Zerofreemathhelp.com
- Elementary Arithmetic - ID:5c1177751950adocumento.mx