花拉子米是九世纪的数学家和天文学家，在阿拔斯王朝统治下的巴格达从事学术工作。他用阿拉伯语撰写了有关代数、算术、天文学和地理学的著作，影响深远。他的代数论著有助于确立系统的方程求解方法，而他对印度数值计算方法的介绍则推动了十进制算术的传播。英语中的“algebra”（代数）和“算法”分别源于他的一部著作的书名和他姓名的拉丁化形式。(en.wikipedia.org)
生平与学术环境
他的全名为穆罕默德·伊本·穆萨·花拉子米（Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī）。其生卒年份尚不确定，通常认为他约生活于780年至850年之间。称谓 al-Khwārizmī 表明他与中亚地区的花拉子模有关，但现存记载不足以确切认定他的出生地。有文献可考的学术活动主要发生在巴格达，尤其是在马蒙统治期间，即813年至833年。(en.wikipedia.org)
十世纪的目录学家伊本·纳迪姆记载，他与哈里发的图书馆——智慧宫（Bayt al-ḥikma）有关。智慧宫究竟属于何种机构，至今仍有争论，因此将其描述为大学或现代意义上的研究院时，需要谨慎。花拉子米将自己的代数著作和天文学手册都题献给了马蒙。他的著作产生于这样一种学术环境：学者们用阿拉伯语研究并吸收印度、波斯和希腊的科学传统。(ismi.mpiwg-berlin.mpg.de)
代数论著
他最著名的著作通常称为 Al-kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala，书名一般译作《还原与对消计算概要》。该书围绕三类量来组织问题：数、根和平方。在这套术语中，“根”指未知量，而不只是现代意义上的开平方运算。全书以文字叙述展开，并未采用当代数学中常见的符号记法。(old.maa.org)
书中区分了六种标准的方程形式，以下用现代符号重新表述：
- (ax^2=bx)
- (ax^2=c)
- (bx=c)
- (ax^2+bx=c)
- (ax^2+c=bx)
- (ax^2=bx+c)
书中所考虑的系数和各类量均为正值。因此，在现代代数中可通过带正负号的系数统一处理的形式，在该书中被分别讨论。这一分类涵盖一次方程和二次方程，并非针对任意多项式方程的一般理论。(old.maa.org)
书名中的两种运算用于将问题化为上述形式。Al-jabr，即“还原”，通过在等式两边加上相等的量，消去被减去的量。Al-muqābala，即“对消”，则约去等式两边相对应的项。这些步骤使论述的重点落在方程的整理上，而不只是求出某个具体数值问题的答案。(en.wikipedia.org)
计算步骤与几何论证
一个典型例子相当于求解
[ x^2+10x=39. ]
花拉子米指示读者先将十减半，将所得的五平方，再把二十五加到三十九上，求出六十四的平方根，最后减去五。这样便得到 (x=3)，其平方为九。用现代符号表示，这一过程就是配方法：
[ (x+5)^2=64. ]
这些符号是对他文字说明的现代重述，并不是他原来使用的记法。(en.wikisource.org)
他还用几何学中的论证来说明这些计算步骤。未知量的平方用一个正方形表示，未知量的若干倍则用与该正方形相邻的矩形面积表示。将图形补成一个更大的正方形，就能解释为什么需要增加相应的数值面积。这些图示将计算规则与基于面积的数学证明联系起来。(en.wikisource.org)
这部论著还讨论了土地测量、商业交易和遗产分配等实用计算问题。这些应用说明了为什么书中在讲解方程求解的同时，也介绍数值方法和几何测量：这部著作既旨在提供可实际使用的计算步骤，也旨在给出相应的论证。(encyclopedia.com)
印度算术与计算方法的传播
花拉子米的算术著作讲解了如何使用印度-阿拉伯数字系统进行计算。其阿拉伯语原本已经失传，内容只能通过后来的拉丁语版本和改编本得知。这些传世文本经过了大量修订，因此难以还原原文的每一处细节。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)
这一数字系统采用十进制的位值制记数法，数字的数值取决于它所处的位置，并用零表示空位。花拉子米并非印度数字系统的发明者；他的贡献在于对这一系统的阐释和传播。他姓名的拉丁化形式逐渐与书面数值计算联系起来，由此产生了“algorism”（十进制笔算）一词，最终演变为“algorithm”（算法）。算法一词的现代含义比他书中讨论的算术步骤更为广泛。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)
天文学与数学地理学
他的《信德天文表》（Zīj al-Sindhind）是一部附有表格的天文学手册，主要以印度传统为基础。在流传过程中，其中也融入了波斯和希腊的资料。阿拉伯语原本已不存世，但后来的修订本和译本保留了这一传统，其中包括一部在十二世纪译成拉丁语的安达卢西亚修订本。这种流传历程使人们难以将他的原始内容与后来的改动区分开来。(ismi.mpiwg-berlin.mpg.de)
这一传世的天文学著述传统涵盖历法、行星位置、太阳和月球、日月食计算，以及用于三角学的表格。他的《大地形象之书》（Kitāb ṣūrat al-arḍ）重新整理了与托勒密有关的地理资料，列出城市和自然地理要素的坐标，并纳入修正后的信息。书目记载还将有关日晷和星盘的著作归于他名下。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)
翻译与后世接受
十二世纪，切斯特的罗伯特和克雷莫纳的杰拉德将他的代数著作译成拉丁语，使拉丁语读者得以接触其内容。其影响遍及阿拉伯语、波斯语、奥斯曼土耳其语、拉丁语及欧洲各地的本土语言传统。因此，现存文献既包括阿拉伯语原文，也包括只能通过译本或修订本了解的著作；在将某种具体方法或表格归于花拉子米时，必须区分这些不同的保存形式。(encyclopedia.com)