模型论

模型论是数学和逻辑学的一个分支，研究形式语言与解释其语句的结构之间的关系。它的核心问题包括：哪些结构满足给定的一组公理，哪些性质可以用某种语言表达，以及如何依据这些性质对结构进行分类。经典模型论大多使用一阶逻辑，但也研究其他逻辑框架。这里的模型是指满足指定语句的结构，并不一定是对物理系统的近似描述。(plato.stanford.edu)

语言、结构与真值

形式语言规定了逻辑符号，以及由常元符号、函数符号和关系符号组成的符号表。一个结构提供一个非空论域，并将这些符号解释为该论域上的元素、运算和关系。例如，包含加法、乘法、零和一的语言可以描述域，而序关系可以描述有序集。一阶量词的取值范围是论域中的元素，而不是论域的任意子集。(math.berkeley.edu)

句法与语义学之间的区别至关重要：公式是符号表达式，而公式的真假取决于其解释。塔尔斯基式语义从原子公式出发，逐步处理逻辑联结词和量词，以递归方式定义满足关系。记号

表示：当公式 $\varphi$ 的自由变量被赋予元组 $\bar a$ 中的相应值时，该公式在结构 $M$ 中成立。句子是不含自由变量的公式。理论 $T$ 是一组句子，而 $M\models T$ 表示 $T$ 中的每个句子在 $M$ 中都为真。(plato.stanford.edu)

模型的比较

如果两个结构满足完全相同的一阶句子，就称它们初等等价。这比同构弱；同构要求存在一个双射，保持语言所指定的所有常元、函数和关系。初等嵌入保持每个公式的真值，包括带参数的公式；初等子结构则是其包含映射具有这一性质的子结构。(math.berkeley.edu)

如果一个相容理论对于其语言中的每个句子，都蕴涵该句子或其否定，就称该理论是完备的。因此，完备性关乎各模型对句子真假的一致性，而不是模型的唯一性。如果一个理论在某个基数上仅有一个模型（不计同构差异），就称该理论在该基数上是范畴的。这些区别将逻辑信息与结构的同一性区分开来，并构成模型分类的基础。(plato.stanford.edu)

基本定理

哥德尔完备性定理将语义后承与形式证明联系起来：一个句子是一阶理论的语义后承，当且仅当它能在可靠且完备的证明演算中从该理论推导出来。这与某个特定理论的完备性不同。它也不与哥德尔不完备定理相冲突；后者讨论的是能够表达足够丰富的算术、且可有效公理化的理论所具有的局限。(math.berkeley.edu)

紧致性定理指出，如果一个一阶理论的每个有限子集都有模型，那么该理论就有模型。例如，在自然数的完备理论中加入一个常元 $c$，并对每个标准数码 $n$ 要求 $c>n$。这些要求的任意有限集合都是可满足的。因此，紧致性定理保证存在一个模型，其中有一个元素大于每个标准数码所表示的数，说明了非标准模型如何产生。(math.berkeley.edu)

勒文海姆—斯科伦定理限制了一阶理论确定模型大小的能力。在可数语言中，每个具有无限模型的理论都有一个可数无限模型。向上版本则在满足语言大小所给出的下界的条件下，保证存在任意大无限基数的模型。因此，一个具有无限模型的一阶理论，无法在所有基数上将某个无限结构唯一刻画到同构的意义下。(math.berkeley.edu)

可定义性与量词消去

可定义集由在某个结构中满足某一公式的元组组成，该公式可以使用参数。模型论将这些集合本身作为数学对象加以研究。如果每个公式在一个理论下都等价于同一语言中的某个无量词公式，就称该理论具有量词消去性质。这一性质使涉及量化语句的问题可以归结为基本关系和运算的问题。(math.berkeley.edu)

代数闭域在环的语言中具有量词消去性质。实闭域在有序环的语言中具有量词消去性质，从而将可定义性与涉及多项式方程和不等式的条件联系起来。特别地，实闭域是o-极小的：其底层直线上的每个可定义子集都是有限个点和区间的并。这对一维可定义集的复杂程度给出了精确限制。(math.berkeley.edu)

型、分类与发展

型通过一组相容的公式描述一个可能的元组。相对于选定的参数集，完全型对每个公式都指定该公式或其否定。饱和模型实现所有以大小小于某个指定基数的参数集为基础的型。型与饱和性为比较模型、分析模型内部结构提供了方法。(math.berkeley.edu)

分类理论研究逻辑限制如何组织各类模型。例如，稳定性可以通过对参数集上的型的数量施加上界来表述。模型论从逻辑基础研究发展为一门与代数和代数几何有着重要联系的学科。20 世纪 40 年代，阿尔弗雷德·塔尔斯基、阿纳托利·马尔采夫和亚伯拉罕·鲁宾逊推动了逻辑方法在数学中的应用；塔尔斯基于 1954 年提出了“模型论”这一名称。(plato.stanford.edu)