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哲学 / logical-consequence

逻辑后承

逻辑后承是结论仅凭逻辑从前提得出的关系，可通过语义蕴涵或演绎可推导性加以形式化。

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逻辑后承是前提与仅凭逻辑学从这些前提得出的结论之间的关系。按照标准的保真解释，当不存在任何逻辑上容许的解释使所有前提为真而结论为假时，结论就是这些前提的逻辑后承。主要有两种进路使这一思想得到精确表述：语义进路考察解释或模型，演绎进路则考察可能的证明。这两种进路是否有任何一种能够充分刻画日常所说的“在逻辑上得出”，是一个哲学问题，与其数学形式化是不同的问题。(iep.utm.edu)

后承、真与有效性

逻辑后承关注的是陈述之间的联系，而不是这些陈述实际上是否为真。例如：

  • 每个晶体都是植物。
  • 每株植物都是生物。
  • 因此，每个晶体都是生物。

尽管第一个前提为假，结论仍然从前提得出。反过来，一个论证即使前提和结论都为真，前提也未必在逻辑上支持结论。一个论证具有逻辑有效性，当且仅当其结论是其前提的逻辑后承；前提为真的有效论证称为健全论证。(logic.stanford.edu)

因此，演绎推理所依赖的关系比单纯的证据支持更强。归纳推理可以使结论具有可信性，却仍然留下结论为假的可能。按照保真解释，演绎后承排除了前提为真而结论为假的反例。(iep.utm.edu)

逻辑后承也必须与实质蕴涵区分开来。表达式 P→QP\to Q 是形式语言内部的一个公式，而表达式 P⊨QP\models Q 是关于后承关系的一个陈述。在经典语义中，只要 PP 为假或 QQ 为真，P→QP\to Q 就为真；而 P⊨QP\models Q 则要求在每一种容许的解释下都保持真值。因此，条件句在某一种解释下为真，并不能确立蕴涵关系。(plato.stanford.edu)

语义后承

语义进路属于语义学和模型论的研究范畴。设 Γ\Gamma 为一组前提，φ\varphi 为结论。记号

Γ⊨φ\Gamma\models\varphi

表示每个满足 Γ\Gamma 中所有成员的模型也满足 φ\varphi。对于语句，这可以表示为

∀M(M⊨Γ ⇒ M⊨φ),\forall M\bigl(M\models\Gamma\ \Rightarrow\ M\models\varphi\bigr),

其中，M⊨ΓM\models\Gamma 是模型 MM 满足 Γ\Gamma 中每个语句的简写。满足前提而不满足结论的模型称为反模型。只要找到一个反模型，就能证明所提出的蕴涵关系不成立。(iep.utm.edu)

在命题逻辑中，模型是对命题变元的真值赋值。例如，

{P→Q, P}⊨Q.\{P\to Q,\ P\}\models Q.

不存在任何赋值使两个前提都为真而 QQ 为假。当涉及的变元只有有限多个时，可以用真值表检查每一种赋值。在一阶逻辑中，模型则给出一个由对象构成的论域，以及对名称、谓词和函数符号的解释。(plato.stanford.edu)

逻辑词汇与非逻辑词汇之间的区别至关重要。合取、全称量化等逻辑常项保持其规定的语义作用，而非逻辑表达式的解释可以变化。哪些词汇被视为逻辑词汇，会影响哪些后承关系成立。(iep.utm.edu)

演绎后承

演绎进路通过形式证明定义后承。写作

Γ⊢Dφ\Gamma\vdash_D\varphi

表示在指定的演绎系统 DD 中，φ\varphi 可以从 Γ\Gamma 推导出来。这类系统通过推理规则来规定容许的证明步骤，有些表述方式还使用逻辑公理。标准的证明框架包括自然演绎和相继式演算。与语义后承不同，可推导性直接涉及证明的句法构造。(iep.utm.edu)

例如，肯定前件式允许从 P→QP\to Q 和 PP 推导出 QQ。证明展示了连接假设与结论的推理步骤，而不只是断言不存在反模型。这一进路是证明论的核心。(iep.utm.edu)

两种元理论性质将这些进路联系起来：

  • **可靠性（逻辑学）：**若 Γ⊢Dφ\Gamma\vdash_D\varphi，则 Γ⊨φ\Gamma\models\varphi。
  • **完备性：**若 Γ⊨φ\Gamma\models\varphi，则 Γ⊢Dφ\Gamma\vdash_D\varphi。

哥德尔完备性定理确立了经典一阶逻辑与适当的证明演算之间的这一对应关系。因此，在经典一阶逻辑中，语义蕴涵与句法可推导性相吻合，尽管它们的定义仍然不同。(plato.stanford.edu)

结构性质

抽象后承关系可以独立于特定的联结词来研究。经典后承满足三个基本的结构条件：

  1. **自反性：**一个前提是任何包含它的前提集的后承。

    φ∈Γ ⇒ Γ⊨φ.\varphi\in\Gamma\ \Rightarrow\ \Gamma\models\varphi.

  2. **单调性：**增加前提不会使已经成立的后承关系失效。

    Γ⊨φ,Γ⊆Δ ⇒ Δ⊨φ.\Gamma\models\varphi,\quad\Gamma\subseteq\Delta \ \Rightarrow\ \Delta\models\varphi.

  3. **切割性或传递性：**后承可以用作中间前提。如果 Δ\Delta 中每个成员都从 Γ\Gamma 得出，而 φ\varphi 从 Δ\Delta 得出，那么 φ\varphi 就从 Γ\Gamma 得出。这些条件也刻画了常见的抽象后承算子。(plato.stanford.edu)

另一个性质是紧致性：只要 Γ⊨φ\Gamma\models\varphi，就存在某个有限子集 Γ0⊆Γ\Gamma_0\subseteq\Gamma，它本身已经蕴涵 φ\varphi。紧致性定理表明经典一阶逻辑具有这一性质。通常的有限证明同样只使用有限多个前提。完全的二阶逻辑不具有紧致性；因此，在其标准语义下，不加限制的后承关系无法全部由通常的有限式证明演算刻画。紧致性是某些后承关系的性质，而不是后承定义本身的一部分。(iep.utm.edu)

历史发展

亚里士多德将演绎视为这样一种论述：在设定某些事项之后，由于这些事项，某个不同的事项必然随之得出。他的三段论理论分析了涉及量化陈述的有效模式。这为必然推理提供了一种影响深远的解释，尽管其表达手段与现代逻辑有很大差异。(plato.stanford.edu)

阿尔弗雷德·塔尔斯基在1936年关于逻辑后承的论文中，提出了一个具有决定性意义的现代表述。塔尔斯基考察了这一关系的必然性、形式性及其对经验信息的独立性，并用模型来阐述它：当前提的每个模型也都是结论的模型时，结论就从前提得出。他的工作使非逻辑词汇的解释成为分析的核心，同时仍留下了逻辑词汇的恰当界限应如何划定的问题。(iep.utm.edu)

不同逻辑中的后承

后承断言是相对于某种语言、证明系统或语义来评估的。不同逻辑对于哪些推理有效，未必意见一致。

在经典逻辑中，爆炸原理允许从矛盾的前提得出任意结论：

{P,¬P}⊨Q.\{P,\neg P\}\models Q.

在经典语义下，没有任何解释同时满足这两个前提，因此这一蕴涵关系不可能存在反模型。相干逻辑对那些允许结论与前提之间缺乏适当联系的推理形式提出了质疑。(iep.utm.edu)

直觉主义逻辑一般不承认双重否定消去的有效性：

¬¬P̸⊨IntP.\neg\neg P\not\models_{\mathrm{Int}}P.

它一般也不承认排中律 P∨¬PP\lor\neg P 的有效性。这些差异反映的是对逻辑推理的构造性处理，而不是未能正确运用经典规则。(plato.stanford.edu)

非单调推理使用的后承关系允许新增信息撤销先前有根据的结论。例如，从某个对象是鸟默认推断它会飞，但在得知它是企鹅后，这一推断就可能被推翻。这类框架将可撤销推理形式化；它们不保持经典演绎和直觉主义演绎所具有的单调性。(plato.stanford.edu)

哲学问题与实践意义

一个核心问题涉及逻辑常项的选择。只有在明确哪些表达式保持固定之后，重新解释下的保真性才成为一项确定的检验标准。已有提议包括以论域变换下的不变性作为判准，但尚不存在一条得到普遍认可、能够将所有逻辑表达式与非逻辑表达式区分开来的界限。(plato.stanford.edu)

另一个问题涉及逻辑多元主义：是否可以有不止一种后承关系合理地阐明“在逻辑上得出”的含义。多元主义者认可多种恰当的精确化方式；反对者则主张，逻辑应当确定唯一正确的关系。在某个特定系统内部，模型与证明相吻合，本身并不能解决这一分歧。(plato.stanford.edu)

形式化解释还依赖于对论证的准确表示。日常语言的含义、语境和未明说的假设，都可能影响所提出的形式化是否保留了原有推理。关于这种形式化的证明，只能确立所选系统内的后承关系，并不能自动保证将论证转写到该系统中的方式是恰当的。(plato.stanford.edu)

在数学推理中，后承关系确定从所选假设能够得出什么，而形式推导则为这一关系提供明确的见证。演绎系统由此支持证明的组织与检验，并在数学和计算机科学中得到应用。使用这些系统，可以将“结论是否从假设得出”与“这些假设是否正确表示了所讨论的对象”这两个问题区分开来。(iep.utm.edu)

参考来源

  1. Logical Consequenceiep.utm.edu
  2. Logical Consequence, Model-Theoretic Conceptionsiep.utm.edu
  3. Deductive-Theoretic Conceptions of Logical Consequenceiep.utm.edu
  4. Classical Logicplato.stanford.edu
  5. Logical Consequenceplato.stanford.edu
  6. Logical Consequence (Spring 2024 Edition)plato.stanford.edu
  7. Logical Consequence (Summer 2023 Edition)plato.stanford.edu
  8. Non-Monotonic Logic (Summer 2003 Edition)plato.stanford.edu
  9. Non-monotonic Logic (Winter 2022 Edition)plato.stanford.edu
  10. Compactnessiep.utm.edu
  11. Intuitionistic Logic (Summer 2024 Edition)plato.stanford.edu