三段论

三段论是一种演绎推理形式，传统上由两个前提和一个结论构成。在最广为人知的形式——直言三段论——中，三个词项表达类与类之间的关系：两个前提通过一个共同的第三词项将另外两个词项联系起来，从而得出关于后二者关系的结论。亚里士多德系统地发展了三段论理论，使其成为逻辑学的基础组成部分。亚里士多德本人所说的 syllogismos，含义比人们熟悉的三语句模式更广：它指的是从已作出的假定中必然推出某种结果的论证。(plato.stanford.edu)

历史发展

亚里士多德在公元前四世纪于古希腊写成的《前分析篇》中，对三段论推理作了系统论述。他区分了有效的推理模式与不能成立的前提组合，用演绎证明前者，用反例排除后者。他还研究了涉及必然性和可能性的三段论，为模态逻辑作出了早期贡献。(plato.sydney.edu.au)

在中世纪，逻辑学家扩展并重新组织了这一理论。他们为有效形式设计了便于记忆的名称，研究假言论证和模态论证，并探讨三段论推理与更广泛的逻辑后承理论之间的关系。亚里士多德将直言演绎分为三个格，而后来的论述通常区分四个格。不过，有些中世纪作者将第四格视为第一格的变体。(plato.stanford.edu)

词项、前提与结论

标准的直言三段论恰好包含三个词项，每个词项出现两次。小项通常用 S 表示，是结论的主项。大项用 P 表示，是结论的谓项。中项用 M 表示，在两个前提中都出现，但不出现在结论中。大前提包含 P，小前提包含 S。这些名称描述的是结构上的作用，而不是各语句的相对重要性。(plato.stanford.edu)

例如：

• 所有哺乳动物都是动物。
• 所有狗都是哺乳动物。
• 所以，所有狗都是动物。

这里，“狗”是 S，“动物”是 P，“哺乳动物”是 M。这一推理依赖的是包含关系的模式，而不是这些具体的对象。在集合论中，它体现了子集关系的传递性：如果 S 包含于 M，而 M 包含于 P，那么 S 就包含于 P。(stat.berkeley.edu)

直言命题

传统三段论理论使用四种标准形式的直言命题，分别以字母 A、E、I 和 O 标识。它们的量分为全称或特称，质分为肯定或否定。(iep.utm.edu)

在现代解释中，“有些”意为至少有一个，而不是“有一些但并非全部”。用一阶逻辑表示，A 可写为 ∀x(Sx → Px)，I 则为 ∃x(Sx ∧ Px)。E 排除了同时属于这两个类的对象，O 则断言存在一个不是 P 的 S。这种解释明确了这些语句的语义学含义，尤其是它们在存在问题上作出的承诺。(stat.berkeley.edu)

式与格

三段论的式依次记录大前提、小前提和结论的命题类型。三段论的格记录中项在两个前提中的位置。将结论固定为 S–P 时，通常所说的四个格如下：(plato.stanford.edu)

关于狗的例子属于 AAA–1，传统名称为 Barbara。第一格的其他形式包括 Celarent（EAE–1）、Darii（AII–1）和 Ferio（EIO–1）。这些助记名称中的元音标明了三个命题的类型。式与格用于对论证形式进行分类，但它们本身并不能证明论证有效。(plato.sydney.edu.au)

有效性与检验方法

逻辑有效性关注的是：前提为真时，结论是否仍可能为假。它与可靠性（逻辑学）不同：可靠的论证不仅有效，而且前提也都为真。因此，检验三段论的形式与核查其事实性主张是两回事。(iep.utm.edu)

一种检验方法使用由三个圆组成的维恩图。每个圆代表一个词项所指的类；阴影标示空区域，存在标记则表示至少有一个成员。将前提表示在图上之后，结论必须已经由图中的信息必然确定。另一种方法是给出反例：让前提为真而结论为假，从而证明论证无效。(stat.berkeley.edu)

例如，“所有狗都是哺乳动物；所有猫都是哺乳动物；所以，所有猫都是狗”就犯了谬误。同属一个较大的类，并不能证明其子类之间存在包含关系。亚里士多德还通过命题换位和反证法来证明有效形式，将那些有效性不那么直观的推理归约为已认可的形式。(stat.berkeley.edu)

存在假设与更广泛的用法

存在涵义是传统解释与现代解释之间的一项关键差异。在现代逻辑中，全称语句并不意味着其主项所指的类中存在成员：即使独角兽这个类是空集，“所有独角兽都是动物”也可以为真。因此，仅凭两个全称前提，不能得出特称结论。有些传统上被认可的形式需要额外假定某些类非空。(stat.berkeley.edu)

“三段论”一词也用于命题逻辑。选言三段论从“p 或 q”和“非 p”推出 q。相关的条件推理包括肯定前件式，它从“如果 p，那么 q”和 p 推出 q。这类推理规则作用于完整的命题，而不是直言三段论所特有的三个类词项。(iep.utm.edu)