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哲学 / soundness

可靠性

可靠性指论证有效且前提为真，或证明系统的推导保持语义后承关系。

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可靠性是逻辑学中论证和形式证明系统的一种性质。在演绎推理中，一个论证若在逻辑上有效，且所有前提都为真，就具有可靠性。在数理逻辑中，一个证明系统若满足以下条件，就具有可靠性：凡是运用其规则推导出的内容，都是所用假设的语义后承。这两种含义彼此相关，但分别关注具体推理的正确性与一般推导方法的可靠程度。(iep.utm.edu)

论证的可靠性

论证由前提和结论构成，前提被用作支持结论的依据。逻辑有效性意味着，不可能出现所有前提都为真而结论为假的情况。因此，有效性关注的是前提与结论之间的关系，而不是前提实际上是否成立。可靠性进一步要求前提为真，所以每个可靠的演绎论证都有一个真结论。(iep.utm.edu)

例如，考虑普通算术中的以下论证：

  1. 每个能被四整除的整数都是偶数。
  2. 八能被四整除。
  3. 因此，八是偶数。

这个论证有效，且前提为真，因此是可靠的。相比之下，若将第二个前提替换为“六能被四整除”，就会得到一个有效但不可靠的论证。它的结论“六是偶数”仍然为真。这说明，不可靠的论证并不一定具有假结论：不可靠性表明论证存在缺陷，但未必意味着其结论有误。(iep.utm.edu)

可靠性主要是衡量演绎论证的标准。归纳推理则为结论提供支持，使其可能为真，却不保证其必然为真。这类论证通常依据支持力度与理据充分性来评价，而不是依据演绎有效性和可靠性。(iep.utm.edu)

形式系统的可靠性

形式系统规定了表达式及允许进行的推导。它的句法决定哪些表达式和证明是合式的；它的语义学则提供解释，使表达式能够在这些解释下得到求值。可靠性将句法与语义这两个方面联系起来。对于假设集 Γ\Gamma 和公式 φ\varphi，可靠性的标准表述是：

Γ⊢φ⟹Γ⊨φ.\Gamma\vdash\varphi \quad\Longrightarrow\quad \Gamma\models\varphi.

这里，Γ⊢φ\Gamma\vdash\varphi 表示存在从 Γ\Gamma 推导出 φ\varphi 的形式证明。Γ⊨φ\Gamma\models\varphi 则表示 φ\varphi 是 Γ\Gamma 的语义后承：每个满足这些假设的容许解释也都满足该结论。在一阶逻辑中，这些解释是为语言中的符号赋予意义的数学结构。(builds.openlogicproject.org)

关键在于，一个可靠的演算系统并不要求推导中使用的每个假设都为真。它保证的是：如果这些假设在相关解释下成立，那么结论也成立。因此，可靠的系统可以包含从假假设出发的正确推导，却不会由此确立其结论为无条件成立的真理。(forallx.openlogicproject.org)

在没有假设的情况下，可靠性意味着逻辑演算的每个定理都有效。对于经典命题逻辑，这意味着每个定理都是重言式，即在任何真值赋值下都为真。如果另行假定了非逻辑公理，那么推导出的结论只保证在满足这些公理的解释中成立。(iep.utm.edu)

可靠性的证明

可靠性定理涉及所有可能的推导，而不只是若干成功证明的实例。其证明通常对推导的长度或结构运用数学归纳法。首先确立起始步骤在语义上的正确性，然后证明每条推理规则都保持假设与结论之间所要求的关系。这是证明论中的一种标准方法。(forallx.openlogicproject.org)

对于肯定前件式，论证很直接：如果 PP 和 P→QP\to Q 在某个赋值下为真，那么 QQ 也必定为真。在公理化的命题演算中，只要验证每条逻辑公理都有效，且每种允许的推理都保持有效性，就能证明可靠性。相关的命题逻辑情形可以用真值表验证。(iep.utm.edu)

在自然演绎中，证明还涉及临时假设。可靠性证明必须追踪每一行仍有哪些未解除的假设，以及规则如何解除这些假设。例如，在假设 PP 的条件下推导出 QQ，就可以在解除该假设后推出 P→QP\to Q。这里应保持的不变条件是：每一行都是其所依赖假设的语义后承。(forallx.openlogicproject.org)

完备性与一致性

完备性（逻辑）中的语义完备性是与可靠性方向相反的性质：

Γ⊨φ⟹Γ⊢φ.\Gamma\models\varphi \quad\Longrightarrow\quad \Gamma\vdash\varphi.

可靠性排除了推导出无效后承的可能；完备性则保证有效后承都能被推导出来。一个系统可以可靠但不完备，因为其规则只能确立语义所允许的部分后承。当这两种性质同时成立时，可推导性与语义后承关系就完全一致。(forallx.openlogicproject.org)

经典逻辑的一阶逻辑标准演算系统同时具有这两种性质。哥德尔完备性定理确立了这一对应关系中的完备性。在模型论中，这一对应关系也将一致性与模型的存在联系起来。(builds.openlogicproject.org)

一致性与可靠性不同。在经典命题演算中，可靠性保证一个公式及其否定不可能同时成为定理，因为它们不可能在同一赋值下都为真。更一般地说，如果一组假设存在模型，那么可靠的系统就不可能从这些假设推导出矛盾。然而，可靠性并不会使相互矛盾的假设能够同时得到满足；它所提供的保证始终以假设为真为条件。(iep.utm.edu)

参考来源

  1. Validity and Soundnessiep.utm.edu
  2. Deductive and Inductive Argumentsiep.utm.edu
  3. First-Order Logic — Open Logic Projectbuilds.openlogicproject.org
  4. Chapter 22 Soundness and completeness — forall x: Calgaryforallx.openlogicproject.org
  5. Chapter 48 Soundness — forall x: Calgaryforallx.openlogicproject.org
  6. Propositional Logiciep.utm.edu