子集

在集合论中，若集合 $A$ 的每个元素都属于集合 $B$，则称 $A$ 为 $B$ 的子集。这种关系称为包含关系，记作 $A\subseteq B$。它允许 $A=B$：子集不一定比包含它的集合小。若 $A\subseteq B$ 且 $A\ne B$，则称 $A$ 为 $B$ 的真子集。包含关系表示集合之间的关系，而不是某个对象属于某个集合的关系。(abstractmath.org)

定义与符号

子集的定义可以用一阶逻辑表述为：

因此，$A$ 中不能有任何不属于 $B$ 的元素。相应地，$A\not\subseteq B$ 表示存在某个 $x$，使得 $x\in A$ 且 $x\notin B$。反向关系记作 $B\supseteq A$，读作“$B$ 是 $A$ 的超集”。这些表述从相反的方向描述了同一种包含关系。(web.stanford.edu)

真包含关系可明确地记作 $A\subsetneq B$。符号 $\subset$ 的使用约定并不统一：有些作者用它表示真包含关系，另一些作者则允许两集合相等。因此，其含义应由上下文中的定义确定。例如，整数集是实数集的真子集，因为每个整数都是实数，但有些实数不是整数。(abstractmath.org)

示例与属于关系

设 $A=\{2,4\}$，$B=\{1,2,3,4\}$。$A$ 的每个元素都在 $B$ 中，所以 $A\subsetneq B$。相比之下，$\{2,5\}\not\subseteq B$，因为 $5\notin B$。集合描述式通过一个条件来指定子集：

限制条件 $x\in B$ 指定了包含该子集的集合，附加条件则从中选取元素。即使逐一列出所有元素并不现实，也可以使用这种构造方法。(abstractmath.org)

包含关系必须与用 $\in$ 表示的属于关系区分开来。若 $B=\{1,2\}$，则 $1\in B$，且 $\{1\}\subseteq B$，但 $\{1\}\notin B$：$B$ 中列出的元素是数，而不是单元素集合。集合本身也可以是其他集合的元素，因此，同一对对象之间既可能存在属于关系，也可能存在包含关系，但一般而言，这两种关系不能相互推出。(web.stanford.edu)

基本性质与证明

每个集合都是自身的子集。空集 $\varnothing$ 是任何集合的子集，因为它没有任何元素会违反子集定义中的条件。这并不意味着空集是每个集合的元素。(abstractmath.org)

包含关系具有自反性、反对称性和传递性：

• 自反性： $A\subseteq A$。
• 反对称性： 若 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$，则 $A=B$。
• 传递性： 若 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq C$，则 $A\subseteq C$。

因此，包含关系在任何以集合为元素的集合上都定义了一个偏序。它一般不是全序：例如，$\{1\}$ 和 $\{2\}$ 在包含关系下不可比较。(ocw.mit.edu)

对 $A\subseteq B$ 的一种标准数学证明方法是：任取元素 $x\in A$，然后证明 $x\in B$。要否定包含关系，只需给出一个反例。证明两个集合相等时，通常分别证明 $A\subseteq B$ 和 $B\subseteq A$，而不是比较它们的描述或逐一列举元素。(web.stanford.edu)

与集合运算的关系

交集 $A\cap B$ 由两个集合共有的元素组成，而并集 $A\cup B$ 则包含至少属于其中一个集合的元素。由这些定义可得以下实用的等价判定条件：

同样，$A\subseteq B$ 当且仅当差集 $A\setminus B$ 为空集。逐一考察各个表达式所包含的元素，即可得出这些等价关系。(people.csail.mit.edu)

若两个集合都是某个固定集合 $U$ 的子集，则它们的补集均相对于 $U$ 而取。取补集会使包含关系反向：

这里，包含它们的集合 $U$ 很重要：改变 $U$ 会改变补集，但不会改变 $A\subseteq B$ 是否成立。(people.csail.mit.edu)

幂集与有限计数

幂集 $\mathcal P(B)$ 是由 $B$ 的所有子集组成的集合。它将包含关系转化为属于关系：

例如，

空集和原集合本身都包含在幂集中。(people.csail.mit.edu)

若 $B$ 有 $n$ 个元素，则它恰好有 $2^n$ 个子集：每个元素都可以独立地选择纳入或不纳入子集。真子集共有 $2^n-1$ 个，因为计数时只需排除 $B$ 本身。在组合数学中，恰好含有 $k$ 个元素的子集数为二项式系数 $\binom nk$。与有序选取不同，子集不记录其元素被选取的顺序。(mathworld.wolfram.com)

包含关系与无限集合的大小

包含关系与基数是不同的概念。子集的基数不能大于包含它的集合的基数，但无限集合的真子集可以与原集合具有相同的基数。例如，偶自然数组成的集合是自然数集的真子集，但映射 $n\mapsto 2n$ 给出了两者之间的一个双射函数。两者都是无限可数集。(ocw.mit.edu)

然而，根据康托尔定理，$\mathcal P(B)$ 的基数总是严格大于 $B$ 的基数，即使 $B$ 是无限集合也不例外。因此，虽然自然数集只有可数多个元素，却有不可数多个子集。不能将真包含关系当作普通的数值不等关系来确定子集的数量。(ocw.mit.edu)