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数学 / ordinal-number

序数

序数表示良序集的序型，将有限的次序与计数推广到超限情形。

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自然数基数集合论整数双射函数可数集约翰·冯·诺依曼子集序数

序数描述良序集的序型，即不依赖于元素具体身份的排列方式。序数将有限的自然数推广到无限的、亦称超限的序型。基数衡量集合有多少个元素，序数则区分这些元素的排列次序。因此，两个无限集可以具有相同的基数，却具有不同的序数序型。序数是集合论中的基本对象。(math.ucr.edu)

良序与序型

良序是一种全序，其中每个非空子集都有最小元素。自然数按通常的次序排列构成良序；整数按通常的次序排列则不构成良序，因为整个整数集没有最小元素。(st.openlogicproject.org)

如果两个有序集之间存在保序的双射函数，且其逆函数也保序，那么它们就具有相同的序型。每个良序集都恰好与一个序数序同构。因此，序数为所有良序序型提供了规范的代表。(math.ucr.edu)

第一个无限序数记作 ω\omega，它是以下排列的序型：

0<1<2<3<⋯ .0<1<2<3<\cdots.

在所有这些元素之后添加一个新元素，就得到 ω+1\omega+1。这两个序型不同：ω+1\omega+1 有最大元素，而 ω\omega 没有。不过，两者都是可数无限集。(people.maths.ox.ac.uk)

作为集合的序数

现代通用的序数表示法源自约翰·冯·诺依曼，它将每个序数等同于所有较小序数组成的集合。形式上，序数是一个以隶属关系为良序的传递集。传递性意味着，该集合的每个元素也是它的子集。(kamerynjw.net)

从空集开始，有限序数为

0=∅,1={0},2={0,1},3={0,1,2}.\begin{aligned} 0&=\varnothing,\\ 1&=\{0\},\\ 2&=\{0,1\},\\ 3&=\{0,1,2\}. \end{aligned}

一般而言，

α={β:β<α},α<β  ⟺  α∈β.\alpha=\{\beta:\beta<\alpha\}, \qquad \alpha<\beta\iff\alpha\in\beta.

对于序数，α≤β\alpha\leq\beta 等价于 α⊆β\alpha\subseteq\beta。第一个无限序数为

ω={0,1,2,…}.\omega=\{0,1,2,\ldots\}.

这种构造直接通过隶属关系体现次序，而不需要另设一个序关系。(st.openlogicproject.org)

零、后继序数与极限序数

序数分为三类：

  • **零：**没有元素的序数。

  • **后继序数：**形如

    α+1=α∪{α}\alpha+1=\alpha\cup\{\alpha\}

    的序数。它们有直接前驱。

  • **极限序数：**不是后继序数的非零序数。它们没有最大的前驱。例如，ω\omega 和 ω+ω\omega+\omega 都是极限序数。(st.openlogicproject.org)

对于任意由序数组成的集合 AA，其最小上界为

sup⁡A=⋃A.\sup A=\bigcup A.

特别地，极限序数 λ\lambda 满足

λ=sup⁡β<λβ.\lambda=\sup_{\beta<\lambda}\beta.

因此，极限阶段汇集了此前的所有阶段，而不是由某个最后的前驱加一得到的。(math.ucr.edu)

序数算术

序数算术推广了有限的加法、乘法和乘方，但其中的无限运算反映的是次序，而非大小。固定 α\alpha 后，这些运算都按右侧的运算参数递归定义。在非零极限序数 λ\lambda 处，加法和乘法取此前各值的上确界。(math.uwaterloo.ca)

加法

和 α+β\alpha+\beta 的含义是：在一个序型为 α\alpha 的良序之后，接上一个序型为 β\beta 的良序：

α+0=α,α+(β+1)=(α+β)+1,\alpha+0=\alpha,\qquad \alpha+(\beta+1)=(\alpha+\beta)+1,
α+λ=sup⁡β<λ(α+β).\alpha+\lambda=\sup_{\beta<\lambda}(\alpha+\beta).

加法不满足交换律：

1+ω=ω,ω+1>ω.1+\omega=\omega,\qquad \omega+1>\omega.

在一个无限自然数序列之前放置一个元素，不会改变其序型；在整个序列之后放置一个元素，则会改变其序型。(math.uwaterloo.ca)

乘法

积 α⋅β\alpha\cdot\beta 由依次排列的 β\beta 个区块组成，每个区块的序型都是 α\alpha：

α⋅0=0,α⋅(β+1)=α⋅β+α,\alpha\cdot0=0,\qquad \alpha\cdot(\beta+1)=\alpha\cdot\beta+\alpha,
α⋅λ=sup⁡β<λ(α⋅β).\alpha\cdot\lambda=\sup_{\beta<\lambda}(\alpha\cdot\beta).

因此，

2⋅ω=ω,ω⋅2=ω+ω>ω.2\cdot\omega=\omega,\qquad \omega\cdot2=\omega+\omega>\omega.

无限多个二元素区块，与两个无限区块的序型不同。(math.uwaterloo.ca)

乘方与标准形

对于正的底数 α\alpha，

α0=1,αβ+1=αβ⋅α,αλ=sup⁡β<λαβ.\alpha^0=1,\qquad \alpha^{\beta+1}=\alpha^\beta\cdot\alpha,\qquad \alpha^\lambda=\sup_{\beta<\lambda}\alpha^\beta.

这些是序数运算，而非基数乘方。(math.uwaterloo.ca)

每个非零序数都有唯一的康托标准形：

ωβ1c1+ωβ2c2+⋯+ωβkck,\omega^{\beta_1}c_1+\omega^{\beta_2}c_2+\cdots+ \omega^{\beta_k}c_k,

其中 kk 有限，β1>⋯>βk\beta_1>\cdots>\beta_k，且每个 cic_i 都是正的有限整数。例如，ω2⋅3+ω⋅2+5\omega^2\cdot3+\omega\cdot2+5 就是康托标准形。指数本身也可以是无限序数。(kamerynjw.net)

序数与基数

许多不同的序数具有相同的基数。序数

ω,ω+1,ω⋅2,ω2\omega,\quad\omega+1,\quad\omega\cdot2,\quad\omega^2

都是可数无限的，尽管它们的序型各不相同。第一个不可数序数 ω1\omega_1 是所有可数序数组成的集合，其基数为 ℵ1\aleph_1。(people.maths.ox.ac.uk)

初始序数是指不与任何较小序数等势的序数。在加入选择公理的策梅洛—弗兰克尔集合论中，基数可以用初始序数表示。与选择公理等价的良序定理保证，每个集合都可以赋予良序。对于已经配备良序的集合，其序数理论不需要这一额外假设。(st.openlogicproject.org)

超限归纳与递归

超限归纳法将数学归纳法推广到有限阶段之外。如果某个性质只要对一个序数之前的每个序数都成立，就也对该序数成立，那么它便对所有序数成立。证明可以分为零、后继和极限三种情形；极限情形必须考虑此前的整个初始段。(st.openlogicproject.org)

超限递归则逐阶段定义对象，允许 α\alpha 处的值依赖于所有 β<α\beta<\alpha 处的值。序数算术是其应用之一。另一个应用是集合的累积层级：

V0=∅,Vα+1=P(Vα),Vλ=⋃β<λVβ,V_0=\varnothing,\qquad V_{\alpha+1}=\mathcal P(V_\alpha),\qquad V_\lambda=\bigcup_{\beta<\lambda}V_\beta,

其中 P\mathcal P 表示幂集。这一层级按照构造阶段组织集合。(plato.stanford.edu)

历史发展与应用

格奥尔格·康托在研究无限集与良序的过程中发展了超限序数理论。随后，冯·诺依曼在二十世纪早期提出的构造，为序数提供了标准的集合论表示：将序数表示为其所有前驱组成的集合。(plato.stanford.edu)

在证明论中，序数分析利用序数记号和良基性论证，研究形式系统的强度。为证明变换赋予递减的序数度量，可以证明这些变换不可能无限持续下去。序数分析还提供了一些方法，用来证明某些数学命题在指定的公理系统中不可证明。这些应用依赖于精确的记号系统和形式化的归纳原理，而非仅仅依赖涉及无穷的非形式化表达。(arxiv.org)

不存在最大的序数

每个序数都有一个更大的后继序数，因此不存在最大的序数。此外，所有序数合在一起并不构成集合，而是构成一个真类。如果所有序数的汇集是一个集合，那么它本身就是一个以隶属关系为良序的传递集，因而也是一个序数。于是，它将包含自身，这与序数序关系的反自反性矛盾。这就是布拉利—福尔蒂悖论。在公理化集合论中，它确立的是对集合形成的限制，而不是理论内部的矛盾。(math.ucr.edu)

参考来源

  1. Set Theoryplato.stanford.edu
  2. Zermelo’s Axiomatization of Set Theoryplato.stanford.edu
  3. PMATH 433/633: Lecture Notesmath.uwaterloo.ca
  4. The transfinite ordinalspeople.maths.ox.ac.uk
  5. Math655 Lecture Notes: Part 0kamerynjw.net
  6. Surreal Numbers and Transseries — Lecture 1fields.utoronto.ca
  7. Set Theory. An Open Introductionst.openlogicproject.org
  8. Set Theory Notes, Chapter VImath.ucr.edu
  9. Unprovability in Mathematics: A First Course on Ordinal Analysisarxiv.org