在集合论中，集合 (S) 的幂集是以 (S) 的所有子集为元素的集合。它既包含空集，也包含 (S) 本身。幂集通常记作 (\mathcal P(S))，它将一组对象转化为由这些对象的所有可能选取方式组成的集合。幂集是研究集合、函数以及不同大小的无穷的一种基本构造。(plato.stanford.edu)
定义与示例
形式化定义为 [ \mathcal P(S)={A\mid A\subseteq S}. ] 因此，(A\in\mathcal P(S)) 当且仅当 (A) 的每个元素都属于 (S)。必须区分属于关系与包含关系：(S) 的一个子集是其幂集的一个元素，而不是 (S) 的另一个元素。(web.stanford.edu)
例如，若 (S={a,b,c})，则 [ \mathcal P(S)= {\varnothing,{a},{b},{c}, {a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}. ] 共有八个子集，其中包括含零个元素和含三个元素的子集。特别地， [ \mathcal P(\varnothing)={\varnothing}, ] 它并非空集，而是含有一个元素的集合。原集合本身总是属于其幂集，因为 (S\subseteq S)。这些例子都可以直接由定义得出。(web.stanford.edu)
有限集合的幂集基数
若 (S) 含有 (n) 个元素，则其幂集的基数为 [ |\mathcal P(S)|=2^n. ] 对于每个元素，都有选入或不选入两种选择，而所有元素的选择结果唯一确定一个子集。也可以用数学归纳法证明这个公式：加入一个新元素后，子集的数量会加倍，因为每个原有子集都对应两个子集，一个不含新元素，另一个含有新元素。归纳的基础情形为 (2^0=1)。(cs.cornell.edu)
还可以按子集的大小进行计数： [ |\mathcal P(S)|=\sum_{k=0}^{n}\binom nk=2^n. ] 其中，(\binom nk) 表示恰好含有 (k) 个元素的子集的数量。这个等式是二项式定理的一个特例，可通过展开 ((1+1)^n) 得到。(cs.pomona.edu)
特征函数与二进制表示
每个子集 (A\subseteq S) 都确定一个示性函数，也称特征函数： [ \chi_A:S\longrightarrow{0,1},\qquad \chi_A(s)= \begin{cases} 1,&s\in A,\ 0,&s\notin A. \end{cases} ] 反过来，任何这样的函数都确定一个子集，即函数值为 (1) 的所有元素组成的集合。由此可在 (\mathcal P(S)) 与所有函数 (S\to{0,1}) 组成的集合之间建立一个双射函数，这也解释了幂集的另一种记法 (2^S)。这一对应关系保持了子集上的布尔运算与真值函数上的布尔运算。(home.uni-leipzig.de)
对于元素按固定顺序排列的有限集合，这些函数可以表示为比特串。(1) 表示选入，(0) 表示不选入。对于 (S=(a,b,c))，比特串 (101) 表示 ({a,c})。将这些比特串读作二进制数，就可以通过从 (0) 数到 (2^n-1) 来枚举所有子集。(ics.uci.edu)
无限集合与康托尔定理
康托尔定理指出，每个集合的基数都严格小于其幂集的基数： [ |S|<|\mathcal P(S)|. ] 映射 (s\mapsto{s}) 给出了一个从 (S) 到 (\mathcal P(S)) 的单射函数。关键结论在于，不存在从 (S) 到 (\mathcal P(S)) 的满射函数。(math.arizona.edu)
康托尔对角线论证通过考察任意函数 (f:S\to\mathcal P(S))，并定义 [ D={s\in S\mid s\notin f(s)} ] 来证明这一点。若 (f) 是满射，则存在某个 (d\in S)，满足 (f(d)=D)。但这样就有 [ d\in D\iff d\notin D, ] 产生矛盾。因此，(D) 是一个不在 (f) 的像中的子集。这一论证对有限集合和无限集合都适用。(math.arizona.edu)
因此，自然数集的幂集不是可数集。反复取幂集会得到越来越大的无限基数，所以不存在最大的无穷大小。(math.arizona.edu)
序与代数结构
集合的包含关系在 (\mathcal P(S)) 上定义了一个偏序。配备并、交以及相对于 (S) 的补集运算后，幂集构成一个布尔代数。空集是其中的最小元，(S) 是最大元；并与交分别对应析取与合取，取补集则对应否定。在特征函数表示下，这些运算变为逐点进行的布尔运算。(home.uni-leipzig.de)
对于含有 (n) 个元素的有限集合，由此得到的偏序结构通常记作 (B_n)。其各层按子集的基数划分，空集位于最底层，整个集合位于最顶层。(math.mit.edu)
基础与应用
在策梅洛—弗兰克尔集合论中，幂集公理保证任意给定集合的所有子集组成一个集合。幂集也用于生成累积层级的后继阶段： [ V_0=\varnothing,\qquad V_{\alpha+1}=\mathcal P(V_\alpha). ] 在极限阶段，则对此前各阶段取并集。(plato.stanford.edu)
在概率论中，事件属于一个包含于样本空间幂集的σ代数。对于离散模型，所有子集都可以作为事件。连续模型通常采用一个较小的 σ代数，从而无须为每个子集都赋予概率，也能一致地定义概率。(math.cmu.edu)
在计算领域，算法可以通过比特模式枚举有限集合的幂集。不过，对于含有 (n) 个元素的输入，仍有 (2^n) 个输出：即使紧凑地表示每个子集，也无法减少完整枚举所必须生成的、数量呈指数增长的子集。(web.eecs.utk.edu)