样本空间 · aiwiki.page

样本空间是概率模型所表示的随机试验所有可能结果的集合。通常记作 $\Omega$ 、 $S$ 或 $\mathcal S$ ，它规定了可能发生什么，而不规定各个结果发生的可能性有多大。它的元素称为结果或样本点，可以是数字、标记、有序序列，也可以是更复杂的对象。样本空间与事件族、概率测度共同构成一个概率空间。(ocw.mit.edu)

结果与事件

样本空间按照选定的详细程度描述结果。这些结果描述必须互斥且完备：一次试验恰好产生一个所表示的结果，而模型允许的每一种结果都有相应的表示。例如，掷一次硬币并记录朝上的一面时， $\Omega=\{H,T\}$ ，其中 $H$ 表示正面， $T$ 表示反面。如果模型还记录硬币是否侧立，就需要增加一个结果。(live.ocw.mit.edu)

事件（概率论）是样本空间中由模型赋予概率的子集。当观测到的样本点属于这个子集时，该事件就发生了。对于一枚六面骰子，

\Omega=\{1,2,3,4,5,6\},

而“出现偶数点”的事件是 $A=\{2,4,6\}$ 。整个样本空间表示必然事件；空集表示不可能事件。(ocw.mit.edu)

集合论中的运算用于表达事件之间的关系。并集 $A\cup B$ 表示至少有一个事件发生，交集 $A\cap B$ 表示两个事件都发生，补集 $\Omega\setminus A$ 表示 $A$ 不发生。这些运算体现了单个结果与可能由多个不同结果满足的事件陈述之间的区别。(ocw.mit.edu)

有限与可数无限样本空间

有限样本空间可以逐一列出。掷两次硬币并保留先后顺序，可得

\Omega=\{HH,HT,TH,TT\}.

更一般地，连续掷 $n$ 次硬币共有 $2^n$ 种可能的正反面序列。这种构造记录的是完整序列，而不仅仅是正面出现的次数。(math.cmu.edu)

在有限集或可数无限的可数集上的通常模型中，每个子集都是事件，因此事件族就是幂集 $\mathcal P(\Omega)$ 。概率质量函数为各个结果赋予非负权重 $p(\omega)$ ，满足

\sum_{\omega\in\Omega}p(\omega)=1, \qquad P(A)=\sum_{\omega\in A}p(\omega).

集合本身并不决定这些权重。(math.cmu.edu)

对于各个结果等可能的有限样本空间，概率计算可归结为计数：

P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|},

其中竖线表示基数。等可能性是一项额外的建模假设，并不是列出所有结果就能得到的结论。将一枚公平硬币换成有偏硬币，会改变其概率规律，但不会改变这个包含两个元素的样本空间。因此，只有确定了相关权重之后，才能使用组合数学中的计数方法。(math.mit.edu)

连续样本空间与可测事件

不可数样本空间可以表示连续变化的结果。例如，从区间 $[0,1]$ 中均匀选取一个实数时，使用的样本空间为 $\Omega=[0,1]$ 。在均匀分布下，区间 $[a,b]$ 的概率为 $b-a$ ，而每个单独的点的概率均为零。因此，属于样本空间并不意味着具有正概率。(math.cmu.edu)

在测度论框架中，模型是一个三元组

(\Omega,\mathcal F,P).

这里， $\mathcal F$ 是由 $\Omega$ 的子集组成的σ代数，包含整个样本空间，并且对取补集和可数并运算封闭。概率测度定义在 $\mathcal F$ 上，而不一定定义在 $\Omega$ 的每个子集上。它满足 $P(\Omega)=1$ 、非负性，以及对互不相交事件的可数可加性。(math.mit.edu)

对于取实数值的模型，通常选用由开集生成的博雷尔σ代数。 $[0,1]$ 上的均匀模型可以使用勒贝格测度在该区间上的限制。限制事件族可以避开不可测子集，因为这些子集会使概率赋值无法与预期的几何解释保持一致。(math.mit.edu)

随机变量与不同表示方式

随机变量是定义在样本空间上的可测函数。对于实值随机变量，

X:\Omega\longrightarrow\mathbb R.

结果 $\omega$ 是底层的试验结果， $X(\omega)$ 则是从该结果中提取的数值。不同结果可以产生相同的值。由此得到的概率分布由下式确定：

P_X(B)=P\bigl(\{\omega:X(\omega)\in B\}\bigr),

其中 $B$ 为博雷尔集。(math.mit.edu)

对于两枚可区分的骰子，一个详细的样本空间是笛卡尔积

\{1,\ldots,6\}\times\{1,\ldots,6\}.

点数和变量 $X(i,j)=i+j$ 的取值属于 $\{2,\ldots,12\}$ ；如果模型只记录点数和，也可以将这个集合用作样本空间。在两枚公平骰子独立投掷的情况下，这十一个点数和并非等可能：只有一个有序对产生点数和 2，而有六个有序对产生点数和 7。较粗略的表示必须保留从详细模型继承的概率。(math.dartmouth.edu)

复合试验

乘积空间用于表示包含多个组成部分的试验。其概率规律不一定使这些组成部分相互独立：统计独立性涉及的是概率测度，而不只是底层集合的乘积结构。这将可能组合的描述与关于其发生可能性的假设区分开来。(math.dartmouth.edu)

对于无限序列，还需要作进一步区分。无限次掷硬币时， $\Omega=\{H,T\}^{\mathbb N}$ 包含完整的序列，但一个事件可能只指定有限个坐标的取值。在各次投掷相互独立且硬币公平的情况下，指定前 $n$ 次正反面结果的事件，其概率为 $2^{-n}$ 。适当的 σ代数能够支持这些概率，尽管整个幂集无法支持预期的概率规律。(math.cmu.edu)