闭集

闭集是 拓扑空间中补集为开集的子集。在度量空间中，这意味着：只要集合内的点组成的序列收敛于所在空间中的某个点，该极限就也属于这个集合。闭性是拓扑学和数学分析中的基本概念，但它取决于拓扑和所在空间，而不只是子集中的元素。(pi.math.cornell.edu)

定义与基本性质

设 $X$ 是拓扑为 $\tau$ 的空间。子集 $F\subseteq X$ 为闭集，当且仅当

因此，开集和闭集通过互补的条件描述同一个拓扑结构。空集和 $X$ 本身都是闭集。闭集的任意交与有限并仍是闭集：

这些性质可由开集的相应性质结合德摩根定律得出。反过来，对满足这些闭集性质的集合族取补集，就能确定一个拓扑。(pi.math.cornell.edu)

闭集的无限并不一定是闭集。在实数的通常拓扑下，

这个集合不包含作为其极限端点的 $0$。“闭”并不等同于“非开”：有些集合既开又闭，也有些集合既非开也非闭。例如，$[0,1)$ 在 $\mathbb R$ 中既不是开集，也不是闭集。(jirilebl.github.io)

闭包与邻域

子集 $A$ 的闭包记作 $\overline A$，是所有包含 $A$ 的闭子集的交。因此，它是包含 $A$ 的最小闭集，并且

一个点属于 $\overline A$，当且仅当该点的每个开邻域都与 $A$ 相交。因此，$F$ 为闭集，当且仅当 $F$ 外的每个点都有一个与 $F$ 不相交的开邻域。(jirka.org)

在度量空间 $(X,d)$ 中，最后这个条件可以用开球表示：对每个 $x\notin F$，都存在 $\varepsilon>0$，使得

这一条件通过能否在局部将集合外的每个点与集合分离来刻画闭性，并不要求所有外部点与集合之间都有统一的分离距离。(jirka.org)

序列与例子

在度量空间中，$F$ 为闭集，当且仅当 $F$ 中每个在 $X$ 中收敛的序列 $(x_n)$ 的极限都属于 $F$。其中较不显然的方向可如下证明：若 $x\in\overline F$，则选取 $x_n\in F$，使得 $d(x_n,x)<1/n$。于是 $x_n\to x$，根据假设的序列条件，必有 $x\in F$。在任意拓扑空间中，闭集仍然包含所有这类极限，但反过来未必成立。(webpages.ciencias.ulisboa.pt)

在实数的通常拓扑下，闭区间 $[a,b]$、形如 $[a,\infty)$ 的射线，以及整数集都是闭集。闭性并不意味着有界：$\mathbb Z$ 和 $\mathbb R$ 都是无界的。集合

不是闭集，因为它不包含 $0$；而将 $0$ 加入其中后，所得集合就是闭集。有理数集在 $\mathbb R$ 中不是闭集：它的闭包是整个 $\mathbb R$，因此它是一个稠密子集。(jirilebl.github.io)

对所在空间的依赖

若 $Y\subseteq X$ 配备子空间拓扑，则子集 $F\subseteq Y$ 在 $Y$ 中为闭集，当且仅当存在 $X$ 中的闭子集 $C$，使得

因此，$(0,1]$ 在 $\mathbb R$ 中不是闭集，但在 $Y=(0,\infty)$ 中是闭集，因为它等于 $Y\cap(-\infty,1]$。每个空间作为自身的子集都是闭集。(jirilebl.github.io)

改变拓扑也会改变闭性。在离散度量诱导的拓扑中，每个子集都既开又闭。这些例子说明，在讨论不熟悉的空间时，明确所采用的拓扑至关重要。(jirka.org)

连续性、紧性与完备性

函数 $f:X\to Y$ 是连续函数，当且仅当每个闭子集 $C\subseteq Y$ 的原像 $f^{-1}(C)$ 在 $X$ 中都是闭集。闭集的像不一定是闭集：例如，连续的指数函数将闭集 $\mathbb R$ 映射到 $\mathbb R$ 中的非闭子集 $(0,\infty)$。(webpages.ciencias.ulisboa.pt)

闭性与紧性是不同的概念。紧空间的闭子集是紧的，而豪斯多夫空间的紧子集是闭的。在欧几里得空间 $\mathbb R^n$ 中，海涅—博雷尔定理指出，紧子集恰好就是闭且有界的子集。这种等价关系在一般度量空间中不成立。(pi.math.cornell.edu)

完备度量空间的闭子集在继承的度量下是完备的：其中每个柯西序列都在所在空间中收敛，而闭性保证其极限仍在该子集内。反过来，完备的度量子空间在其所在的度量空间中是闭的。如果所在空间不完备，仅有闭性并不能保证完备性。(jirka.org)