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数学 / isometry

等距映射

等距映射是度量空间之间保持距离的映射；若它还是满射，则表明两空间在度量几何上完全等同。

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度量空间函数双射函数拓扑学单射函数利普希茨连续性同胚函数复合等距映射

等距映射是度量空间之间保持任意两点间距离的函数。它将这样一种思想形式化：改变对象的位置或表示方式，却不改变其度量几何性质。不同作者对术语的使用有所差异：有些作者把任何保距映射都称为等距映射，另一些作者则额外要求它是满射，并将非满射的保距映射称为等距嵌入。双射的等距映射表明，两个空间就各自指定的距离而言在几何上完全等同。(leanprover-community.github.io)

定义与基本性质

设 (X,dX)(X,d_X) 和 (Y,dY)(Y,d_Y) 为度量空间。若映射 f:X→Yf:X\to Y 满足

dY(f(x),f(x′))=dX(x,x′)对所有 x,x′∈X,d_Y\bigl(f(x),f(x')\bigr)=d_X(x,x') \qquad\text{对所有 }x,x'\in X,

则称其保持距离。

本词条在这一意义上使用“等距映射”一词，并在需要时另行说明满射性。如果两个空间之间存在双射函数且该函数为等距映射，就称这两个空间等距。这种关系比具有相同的拓扑学结构更强。(leanprover-community.github.io)

由定义可直接得到以下性质：

  • **单射性：**若 f(x)=f(x′)f(x)=f(x')，则 dX(x,x′)=0d_X(x,x')=0，从而 x=x′x=x'。因此，每个等距映射都是单射函数。
  • **连续性：**等距映射满足常数为 11 的利普希茨连续性。
  • **在像上的可逆性：**逆映射 f−1:f(X)→Xf^{-1}:f(X)\to X 也是等距映射。因此，ff 是从其定义域到其像的同胚。
  • **复合：**等距映射的函数复合仍是等距映射。
  • **度量不变量：**距离、直径以及在像空间中考察的球的半径均保持不变。(leanprover-community.github.io)

等距映射还保持序列的柯西性质。因此，一个空间与其等距像要么都完备，要么都不完备。如果定义域是完备度量空间，那么它在等距映射下的像是目标度量空间中的闭集。(leanprover-community.github.io)

满射性并不自动成立。例如，将度量子空间包含到其所在空间中的包含映射保持距离，但未必覆盖整个空间。(leanprover-community.github.io)

欧几里得空间的等距映射

对于配备欧几里得距离的欧几里得空间 Rn\mathbb R^n，从整个空间到自身的每个等距映射都具有如下形式：

f(x)=Qx+b,f(x)=Qx+b,

其中 b∈Rnb\in\mathbb R^n，而 QQ 是正交矩阵，即

QTQ=I.Q^{\mathsf T}Q=I.

因此，欧几里得等距映射由一个正交变换后接一个平移构成。反过来，每个具有这种形式的映射都保持距离。这种映射是仿射映射，但只有当 b=0b=0 时才是线性映射。(math.ucr.edu)

对于保持原点不动的映射，保持距离可通过以下恒等式推出保持内积：

⟨x,y⟩=∥x∥2+∥y∥2−∥x−y∥22.\langle x,y\rangle = \frac{\|x\|^2+\|y\|^2-\|x-y\|^2}{2}.

这一恒等式解释了保距性与正交变换之间的联系。欧几里得等距映射不仅保持长度，还保持角度、直线和仿射几何关系。(math.ucr.edu)

平面中的分类

欧几里得平面的等距映射包括：

  • **恒等变换：**每个点都保持不动。
  • **平移：**每个点都沿同一个向量移动。
  • **旋转：**各点绕某个中心旋转一个固定角度。
  • **反射：**各点关于某条直线作镜像反射。
  • **滑移反射：**关于某条直线的反射与平行于该直线的非零平移相结合。

恒等变换可以视为按零向量进行的平移，也可以视为旋转角为零的旋转。这些类型穷尽了平面的所有等距映射。(pi.math.cornell.edu)

等距群与对称性

度量空间 XX 上的双射等距映射构成其**等距群**，通常记为 Isom⁡(X)\operatorname{Isom}(X)。群运算是映射的复合；恒等映射是单位元，而每个元素的逆映射也都是等距映射。这就将度量几何与群论联系起来。(leanprover-community.github.io)

对于欧几里得空间中的图形 SS，其几何对称变换是指将 SS 映到自身的环境空间等距映射。例如，正方形具有八个这样的平面对称变换：四个旋转（包括恒等变换）和四个反射。必须区分周围空间的等距映射与特定图形的对称变换：大多数平面等距映射并不保持一个给定的正方形不变。(pi.math.cornell.edu)

赋范向量空间与线性等距映射

在赋范向量空间中，距离由范数诱导：

d(x,y)=∥x−y∥.d(x,y)=\|x-y\|.

线性映射 T:V→WT:V\to W 是线性等距映射，当且仅当

∥Tx∥W=∥x∥V对每个 x∈V.\|Tx\|_W=\|x\|_V \qquad\text{对每个 }x\in V.

在线性条件下，保持范数与保持距离等价。然而，一般的度量等距映射未必是线性的。(leanprover-community.github.io)

**马祖尔–乌拉姆定理**最早于 1932 年得到证明，它指出：实赋范向量空间之间的每个满射等距映射都是仿射映射。等价地，若 f:V→Wf:V\to W 是这样的等距映射，则

T(x)=f(x)−f(0)T(x)=f(x)-f(0)

是实线性等距映射。特别地，保持零点不动的满射等距映射是线性的。该定理既不要求空间是有限维的，也不要求完备性。这是一项重要的刚性结果，将度量几何与赋范空间的代数结构联系起来。(citeseerx.ist.psu.edu)

该定理所涉及的线性特指实线性。对于复赋范空间，将其视为实空间时，满射的度量等距映射是仿射映射，但不能由该定理推出复线性。(leanprover-community.github.io)

黎曼等距映射

在黎曼几何中，流形配备一个度量张量，为每个切空间指定一个内积。黎曼等距映射是一个光滑微分同胚 f:M→Nf:M\to N，满足

gM(v,w)=gN(dfpv,dfpw)g_M(v,w)=g_N(df_pv,df_pw)

对每个 p∈Mp\in M 以及每个 v,w∈TpMv,w\in T_pM 均成立。用简洁的记号表示，即 f∗gN=gMf^*g_N=g_M。它保持曲线的长度，因而也保持由曲线长度的下确界定义的内蕴距离。(math.ucla.edu)

局部等距映射在局部满足这一条件，但未必在全局上是单射。黎曼覆盖映射是重要的例子：覆盖空间与底空间中相应的邻域彼此等距，尽管覆盖空间中的不同点可能映到同一个底空间点。(math.ucla.edu)

等距浸入保持度量张量，但未必是微分同胚，甚至未必在全局上是单射。其定义条件涉及切向量与曲线长度，并不意味着保持在整个目标流形中测得的任意两点间距离。因此，微分几何中的“等距嵌入”必须与度量空间之间的保距嵌入区分开来。(math.ucla.edu)

概念辨析与数学用途

等距映射精确地保持距离，而相似映射则允许距离按一个固定的正比例因子缩放：

dY(f(x),f(y))=c dX(x,y).d_Y(f(x),f(y))=c\,d_X(x,y).

等距映射是 c=1c=1 的特殊情形。在欧几里得几何中，相似映射保持角度和比例，但可以改变大小。(math.ucr.edu)

同胚保持的是拓扑结构，而非距离的数值。因此，等距是一种限制更强的等价关系：双射等距映射总是同胚，但逆命题的成立需要额外条件。(leanprover-community.github.io)

等距映射有三个密切相关的用途：识别具有相同度量结构的空间，描述几何对象的对称性，以及通过刚性定理约束映射。在欧几里得几何中，子集之间的保距对应可以扩张为环境空间的等距映射；在赋范空间中，马祖尔–乌拉姆定理则从满射的保距映射中恢复出仿射结构。(math.ucr.edu)

参考来源

  1. Distance Functions and Isometriespi.math.cornell.edu
  2. topology.metric_space.isometry - mathlib3 docsleanprover-community.github.io
  3. Isometries of figures in Euclidean spacesmath.ucr.edu
  4. Symmetries and Isometriespi.math.cornell.edu
  5. analysis.normed_space.mazur_ulam - mathlib3 docsleanprover-community.github.io
  6. Riemannian Geometrymath.ucla.edu