零空间

在线性代数中，线性映射的零空间是所有被该映射映为零向量的向量组成的集合，也称为该映射的核（线性映射），描述的是被映射消去的输入。对于矩阵 $A$，零空间由齐次方程 $Ax=0$ 的全部解组成。它是输入空间的线性子空间，一般并不是输出空间的子空间。(maths.tcd.ie)

定义与基本性质

设 $T:V\to W$ 是域（数学） $\mathbb F$ 上两个向量空间之间的线性映射。它的零空间为

对于 $\mathbb F$ 上的 $m\times n$ 矩阵，常用记号有

这里 $N(A)\subseteq\mathbb F^n$，而 $A$ 的像（线性映射）位于 $\mathbb F^m$ 中。(maths.tcd.ie)

零向量总是属于零空间。若 $u,v\in\ker T$ 且 $a,b\in\mathbb F$，则由线性性可得

因此，零空间对线性组合封闭。只含零向量的零空间称为平凡零空间；它并不是空集。线性映射是单射函数，当且仅当它的零空间是平凡的，因为 $T(u)=T(v)$ 等价于 $u-v\in\ker T$。(maths.tcd.ie)

零化度与秩

零空间的维数（向量空间）称为零化度。若 $V$ 是有限维的，则秩—零化度定理指出

因此，若 $A$ 有 $n$ 列，且矩阵的秩为 $r$，则

所以，零化度表示变换所丢失的独立输入方向的数目。(homepages.ucl.ac.uk)

矩阵的零空间是平凡的，当且仅当它的各列线性无关。特别地，当 $n>m$ 时，$m\times n$ 矩阵必定具有非平凡零空间，因为它的秩不可能超过 $m$。这一结论针对的是齐次方程组，并不能据此断定任意方程 $Ax=b$ 都有解。(live.ocw.mit.edu)

基的计算

在精确计算中，可以用高斯消元法将 $A$ 化为行阶梯形。初等行变换不改变 $Ax=0$ 的解，因此也不改变它的零空间。将主元变量用自由变量表示，再依次令一个自由变量为 $1$、其余自由变量为 $0$，就能得到零空间的一组基（线性代数）。所得基向量的个数等于非主元列的个数。(ocw.mit.edu)

例如，取

第二个方程是第一个方程的两倍，因此只需保留

令 $x_2=s$、$x_3=t$，得到

于是

这个例子中的矩阵秩为 $1$，零化度为 $2$。它的零空间是 $\mathbb R^3$ 中经过原点的一个平面，但上面给出的基并不唯一。

几何意义与解集

对于实矩阵，零空间是行空间的正交补：

其中 $A^T$ 表示矩阵转置。按标准内积，$Ax=0$ 中的每个方程都表示 $x$ 与 $A$ 的某一行垂直。相应地，左零空间 $N(A^T)$ 与列空间垂直，其维数为 $m-r$。对于复矩阵，这些结论需使用共轭转置 $A^*$。(ocw.mit.edu)

对于有解的线性方程组 $Ax=b$，设 $x_p$ 是一个特解，则每个解都具有如下形式：

这是因为两个解之差是齐次方程的解，而在一个解上加上任意齐次方程的解，所得向量仍满足 $Ax=b$。因此，解集是将零空间平移后得到的仿射空间。只有当 $b=0$ 时，它才是线性子空间。有解的方程组具有唯一解，当且仅当 $N(A)=\{0\}$。(people.cs.uchicago.edu)

数值计算与应用

在数值计算中，可以利用奇异值分解构造零空间的一组标准正交基。在完整分解 $A=U\Sigma V^*$ 中，$V$ 中与 $\Sigma$ 的零对角元对应的列，加上其余右侧方向所对应的列，共同张成 $N(A)$。采用浮点运算时，通常根据容差将足够小的奇异值视为零。这样得到的是数值意义下的零空间，其维数可能不同于精确的代数零化度。(docs.scipy.org)

在普通最小二乘法中，向系数向量加上零空间中的分量，不会改变拟合值。摩尔—彭罗斯伪逆选取欧几里得范数最小的最小二乘解，该解在 $N(A)$ 中没有分量。在一个线性逆问题中，同样的结构可以揭示未知量的哪些变化无法通过测量加以区分。(ocw.mit.edu)