线性无关 · aiwiki.page

线性无关是线性代数中的基本概念，描述一族向量在线性组合意义下不存在冗余的性质。如果只有将每个向量的系数都取为零，才能通过线性组合得到零向量，那么这族向量就是线性无关的；否则，它们就是线性相关的。这个概念适用于任意向量空间中的元素，包括坐标向量、多项式、矩阵和函数。(personal.math.ubc.ca)

定义与标量域

设 $V$ 是域（数学） $F$ 上的向量空间。如果对于有限向量族 $v_1,\ldots,v_n$ ，

a_1v_1+\cdots+a_nv_n=0,\qquad a_i\in F,

必然推出 $a_1=\cdots=a_n=0$ ，那么这族向量就是线性无关的。这个解称为平凡解。至少有一个系数不为零的解则给出一个线性相关关系。仅仅指出所有系数取零时满足方程，并不能证明线性无关：无论向量族是否线性相关，零系数总能满足这个方程。(opentext.uleth.ca)

对于无限向量族，线性无关是指它的每个有限子族都线性无关。通常的代数线性组合只包含有限个非零项，因此这一定义不涉及收敛的无穷级数。空向量族是线性无关的，因为它不存在非平凡的线性相关关系。(personal.math.ubc.ca)

标量域的选择至关重要。例如，将 $1$ 和 $i$ 看作复数中的元素时，它们在实数域上线性无关：对于实数 $a,b$ ， $a+bi=0$ 必然使两者都为零。但在复数域上，它们线性相关，因为 $i\cdot1-1\cdot i=0$ 。允许选取的系数不同，直接依据定义就会得到不同的结论。(opentext.uleth.ca)

冗余与几何示例

一个等价判据是：一族向量线性相关，当且仅当其中至少一个向量可以表示为其余向量的线性组合。事实上，在线性相关关系中，若某个系数不为零，就可以将相应的向量单独表示出来：

v_j=-\sum_{k\ne j}\frac{a_k}{a_j}v_k.

移除这个向量不会改变原有的线性包。不过，线性相关并不意味着任意一个向量都可以在不改变线性包的情况下移除。(personal.math.ubc.ca)

在 $\mathbb R^2$ 中，向量 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 线性无关，因为

a(1,0)+b(0,1)=(a,b)

只有在 $a=b=0$ 时才为零。加入 $(1,1)$ 后，就产生了线性相关关系

(1,0)+(0,1)-(1,1)=0.

从几何角度看，两个非零向量线性无关，当且仅当它们不平行。 $\mathbb R^3$ 中的三个向量线性无关，当且仅当它们不全在同一个经过原点的平面内。(personal.math.ubc.ca)

单个非零向量构成线性无关的向量族。任何包含零向量的向量族都线性相关；按索引排列的向量族若含有重复向量，也线性相关。线性无关向量族的每个子族仍然线性无关，而任何包含线性相关子族的向量族都线性相关。(opentext.uleth.ca)

基、维数与唯一性

线性无关的向量族构成其线性包的一组基（线性代数），而这个线性包是一个线性子空间。该线性包中的每个向量都能唯一地表示为这族向量的线性组合：将两种表示相减，就会得到一个线性相关关系，从而迫使对应的系数相等。因此，线性无关保证表示的唯一性，而张成性质保证表示的存在性。(opentext.uleth.ca)

在有限维数（向量空间）为 $d$ 的向量空间中，线性无关向量族至多含有 $d$ 个向量。恰好含有 $d$ 个向量的线性无关向量族是整个空间的一组基。向量个数较少的线性无关向量族，可以通过添加当前线性包之外的向量扩充为一组基；有限的生成向量族则可以通过移除冗余向量缩减为一组基。(ocw.mit.edu)

矩阵判据与计算

将坐标向量 $v_1,\ldots,v_n\in F^m$ 作为列排成矩阵 $A$ 。这些向量线性无关，等价于齐次线性方程组

Ax=0

只有零解。等价地，零空间为 $\{0\}$ ，矩阵的秩为 $n$ ，且行化简后每一列都有主元。高斯消元法既可以用来证明线性无关，也可以找出自由变量，从而得到线性相关关系。特别地，若 $n>m$ ，这些向量必然线性相关。(math.mit.edu)

这些判据也表达了线性映射 $T:F^n\to F^m$ 、 $T(x)=Ax$ 的一种性质：列向量线性无关意味着 $T$ 是单射函数。它的核（线性映射）为零。因此，线性无关关注的是不同的系数向量能否产生相同的输出，而不是目标空间中的每个向量是否都能得到。(math.mit.edu)

函数与数值意义下的线性无关

对于函数，线性相关关系必须在定义域的每一点都成立。例如，实数域 $\mathbb R$ 上的多项式 $1,x,x^2$ 线性无关，因为恒等式 $a+bx+cx^2=0$ 迫使所有系数都为零。在选定的点上计算函数值，如果所得的函数值列向量线性无关，就可以证明这些函数线性无关。然而，仅凭这些函数值列向量线性相关，并不能证明存在一个在整个定义域上都成立的线性相关关系。(personal.math.ubc.ca)

在数值线性代数中，需要区分严格的线性无关与近似线性相关。浮点运算可能使理论上为零的量表现为略微偏离零的数值。因此，基于奇异值分解的秩判定会将奇异值与某个容差进行比较，而不是要求它们严格等于零。数值计算得到的秩可能受到舍入误差、数据不确定性以及所选阈值的影响，不一定等于所存储矩阵或其对应的真实矩阵的精确代数秩。(numpy.org)