像（线性映射）

线性映射 $T:V\to W$ 的像是所有可表示为 $T(v)$（其中 $v\in V$）的向量组成的集合，记作 $\operatorname{im}T$、$\operatorname{Im}T$ 或 $T(V)$，也称为值域。陪域 $W$ 指定了映射取值所在的空间，而像只包含映射实际取得的值。在线性代数中，像描述了变换能够产生的输出，并将变换的代数结构与矩阵的秩以及方程的可解性联系起来。(math.libretexts.org)

定义与子空间结构

设 $V$ 和 $W$ 是同一个域（数学） $F$ 上的向量空间。$T$ 的像定义为

它总是 $W$ 的一个线性子空间。事实上，由于 $T(0)=0$，像包含零向量。若 $y_1=T(v_1)$、$y_2=T(v_2)$，且 $a,b\in F$，则

因此，像中向量的任意线性组合仍属于像。这一性质使线性映射的像区别于任意函数的像，后者不一定具有向量空间结构。(math.libretexts.org)

一个映射是满射函数，当且仅当 $\operatorname{im}T=W$。将任意线性映射的陪域限制为它的像后，该映射就成为满射。与像相对，核（线性映射）由映射到零向量的输入向量组成：

像位于输出空间中，而核位于输入空间中。(math.libretexts.org)

生成集与矩阵表示

若 $v_1,\ldots,v_n$ 是有限维空间 $V$ 的一组基（线性代数），则

要说明这一点，只需将任意输入写成基向量的线性组合，再利用映射的线性性。因此，基向量的像生成整个像空间，尽管这些像可能为零，也可能并不线性无关。从中选取一个线性无关且生成同一空间的子集，就得到像的一组基。同样的原理也适用于 $V$ 的任意生成集。(ximera.osu.edu)

选定基后，$T$ 可用一个 $m\times n$ 矩阵 $A$ 表示。对于相应的映射 $x\mapsto Ax$，其像就是列空间：

其中 $a_j$ 是 $A$ 的各列。因此，该映射的输出构成这些列的线性包。对于抽象的线性映射，这些列表示 $T(v_j)$ 的坐标；因此，列空间就是像的坐标表示。(math.purdue.edu)

秩与计算

像的维数（向量空间）称为 $T$ 的秩。在矩阵坐标表示下，它等于矩阵的秩。若 $V$ 是有限维空间，则秩—零化度定理给出

该定理说明，输入空间的维数如何分配给被映射消去的方向与线性无关的输出方向。特别地，像的维数不可能超过定义域的维数。(ximera.osu.edu)

可以利用高斯消元法求矩阵的像的一组基。先将 $A$ 化为行阶梯形，确定主元列的位置，再从原矩阵中选取对应的列。这些列构成 $\operatorname{im}A$ 的一组基。必须注意区分化简后的矩阵与原矩阵：行变换通常会改变列空间，但会保留列之间的线性相关关系，因此仍可据此确定原矩阵中哪些列构成一组基。(ocw.mit.edu)

像与线性方程

线性方程组

有解，当且仅当 $b\in\operatorname{im}A$。因此，右端向量属于像，是方程组相容的条件。若 $x_0$ 是一个解，则所有解为

像决定哪些右端向量可以由映射产生；核也称为矩阵的零空间，它决定了产生同一右端向量的输入具有怎样的自由度。(math.purdue.edu)

例如，考虑

每个输出都具有 $t(1,2)$ 的形式，而取 $(x,y,z)=(t,0,0)$ 就能得到任意这样的向量。因此

像是一条直线，而非整个陪域。相应地，$T(x,y,z)=(b_1,b_2)$ 有解，当且仅当 $b_2=2b_1$。这说明了如何利用像来判定方程组的相容性。(math.purdue.edu)

商空间解释

利用商向量空间 $V/\ker T$，可以对像作出一种典范描述。映射规则

定义了一个同构。它是良定义的，因为相差一个核中向量的输入具有相同的输出；同时，它既是单射又是满射。这就是向量空间的第一同构定理：

商空间恰好将映射无法区分的输入归为同一类。得到的每个等价类都对应一个实际取得的输出，因此，像就是消除这种输入冗余后得到的向量空间。这一描述无需有限维假设也成立。(homepages.math.uic.edu)