逆矩阵

逆矩阵是指在矩阵乘法下能够逆转另一个矩阵作用的矩阵。在线性代数中，方阵 $A$ 的逆矩阵记作 $A^{-1}$，满足

其中 $I$ 是与 $A$ 同阶的单位矩阵。存在逆矩阵的矩阵称为可逆矩阵或非奇异矩阵；不存在逆矩阵的矩阵称为奇异矩阵。求逆是逆转矩阵所表示的变换，而不是对矩阵的每个元素分别取倒数。(math.mit.edu)

定义与存在性

通常的理论讨论元素取自某个域（数学）的 $n\times n$ 矩阵，尤其是元素为实数或复数的矩阵。逆矩阵一旦存在，就是唯一的。事实上，若 $B$ 和 $C$ 都是 $A$ 的逆矩阵，由结合律可得

对于域上的方阵，只需存在单侧逆矩阵就足够了：$AB=I$ 蕴含 $BA=I$。有限维和方阵这两个假设对这一结论至关重要。(arxiv.org)

矩阵的可逆性可由以下几个等价条件刻画：

• 行列式满足 $\det(A)\ne0$。
• $A$ 的秩为 $n$。
• 各列向量线性无关，并构成坐标空间的一组基。
• 零空间中只有零向量。
• 对每个 $b$，线性方程组 $Ax=b$ 都有且仅有一个解。
• 在允许交换行的情况下，消元过程得到 $n$ 个非零主元。(math.mit.edu)

从几何角度看，$A$ 表示有限维向量空间上的一个线性映射。可逆意味着该映射是一个同构：每个输出都恰好对应一个输入。奇异映射会将某个非零向量映射到零向量，从而丢失信息，因此无法完全逆转。(math.ucla.edu)

公式与示例

对于 $2\times2$ 矩阵

其逆矩阵存在当且仅当 $ad-bc\ne0$，此时

例如，

直接计算可得，两者按任一顺序相乘都得到 $I$。相比之下，以 $(1,2)$ 和 $(2,4)$ 为两行的矩阵是奇异矩阵，因为其行列式为零。(math.mit.edu)

对于任意可逆方阵，精确公式

用到了伴随矩阵，即由代数余子式组成的矩阵的转置。这个恒等式将矩阵求逆与行列式联系起来，并给出了逆矩阵各元素的显式代数表达式。不过，计算大量余子式的开销使其不适合作为大型矩阵求逆的通用方法。(math.ucla.edu)

代数性质

对于同阶的可逆矩阵 $A$ 和 $B$，

这里顺序的颠倒十分重要：要逆转两个依次进行的变换，必须先撤销最后进行的变换。由于矩阵乘法不满足交换律，一般不能将右侧改写为 $A^{-1}B^{-1}$。(math.mit.edu)

求逆与矩阵转置及行列式还有以下关系：

因此，实正交矩阵的逆矩阵具有特别简单的形式：$A^{-1}=A^T$。(math.mit.edu)

若 $Av=\lambda v$ 且 $v\ne0$，则可逆性保证 $\lambda\ne0$，两边左乘 $A^{-1}$ 可得

因此，逆矩阵的特征值是 $A$ 的相应特征值的倒数，而对应的特征向量保持不变。(linear.pugetsound.edu)

计算与数值精度

一种标准的精确求逆方法是高斯–若尔当消元法，它是高斯消元法的一种变体。通过初等行变换，将增广矩阵变为

将 $A$ 化为单位矩阵的同一组行变换，也会在右侧的分块中逐步形成其逆矩阵。若无法在每一列中得到主元，则表明矩阵是奇异的。等价地，$A^{-1}$ 的各列是方程组 $Ax_j=e_j$ 的解，其中 $e_j$ 为标准基向量。(math.mit.edu)

在数值线性代数中，可以先进行带主元选取的LU分解，再求解三角方程组，以此计算逆矩阵。求解 $Ax=b$ 时，通常不必显式计算 $A^{-1}$；数值计算库一般通过矩阵分解来求解方程组。如果只需要逆矩阵作用于特定右端向量的结果，这样就可以避免计算整个逆矩阵。(netlib.org)

数学上的可逆性并不保证浮点运算能得到准确结果。对扰动的敏感程度可用条件数衡量：

其中 $\sigma$ 表示奇异值。这个比值很大时，说明矩阵是病态的：微小扰动或舍入误差就可能导致显著的计算误差。求逆程序可能对病态矩阵返回计算结果，而不报告失败。(numpy.org)

非方阵与广义逆

非方阵不可能具有通常意义上的双侧逆矩阵。不过，列满秩的 $m\times n$ 矩阵具有左逆矩阵，行满秩的矩阵则具有右逆矩阵。这些单侧逆矩阵不一定唯一。(ocw.mit.edu)

摩尔–彭罗斯伪逆记作 $A^+$，将矩阵求逆推广到非方阵和奇异矩阵。它可以通过奇异值分解构造：对非零奇异值取倒数，并将零奇异值仍保留为零。对于可逆方阵，$A^+=A^{-1}$；否则，$A^+b$ 是所有使 $\|Ax-b\|_2$ 最小的解中欧几里得范数最小的那个。因此，即使精确解不存在或不唯一，也能得到一种广义解。(numpy.org)