矩阵转置 · aiwiki.page

矩阵转置是交换矩阵行与列的运算。如果 $A$ 有 $m$ 行、 $n$ 列，则其转置记为 $A^{\mathsf T}$ ，有 $n$ 行、 $m$ 列。每个元素的值保持不变，但其两个下标互换。转置是线性代数中的基本运算，用于表达对称性、向量之间的关系以及矩阵乘积的性质。(ocw.mit.edu)

定义与记法

对于域（数学）上的矩阵 $A=(a_{ij})$ ，其转置定义为

(A^{\mathsf T})_{ij}=a_{ji}.

因此， $A$ 的第一行成为 $A^{\mathsf T}$ 的第一列，其余各行也依此类推。例如，

A= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6 \end{pmatrix}, \qquad A^{\mathsf T}= \begin{pmatrix} 1&4\\ 2&5\\ 3&6 \end{pmatrix}.

对于方阵，这种重排可以直观地理解为关于主对角线的镜像反射；对角线上的元素保持不动。列向量转置后成为行向量，反之亦然。常用记法包括 $A^T$ 、 $A^{\mathsf T}$ 和 $A^\top$ 。(ocw.mit.edu)

转置不应与求逆矩阵混淆。每个矩阵都有转置，包括非方阵和奇异矩阵。通常意义下的逆矩阵则只有可逆方阵才具有。(ocw.mit.edu)

代数性质

对于维数相容的矩阵和标量 $c$ ，转置满足

(A^{\mathsf T})^{\mathsf T}=A,\qquad (A+B)^{\mathsf T}=A^{\mathsf T}+B^{\mathsf T},

(cA)^{\mathsf T}=cA^{\mathsf T},\qquad (AB)^{\mathsf T}=B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}.

第一个恒等式表明，转置是一种对合：连续进行两次转置就会恢复原矩阵。乘积的转置公式会颠倒各因子的顺序，这一点至关重要，因为矩阵乘法通常不满足交换律。(ocw.mit.edu)

乘积的转置法则可直接由元素公式推出：

[(AB)^{\mathsf T}]_{ij} =\sum_k a_{jk}b_{ki} =\sum_k(B^{\mathsf T})_{ik}(A^{\mathsf T})_{kj}.

对于可逆矩阵 $A$ ，有

(A^{\mathsf T})^{-1}=(A^{-1})^{\mathsf T}.

方阵与其转置还具有相同的行列式。(ocw.mit.edu)

转置保持矩阵的秩不变：交换行与列会使行秩与列秩互换，而两者本就相等。转置也保持矩阵的迹不变，因为对角线元素的位置没有变化。因此， $A$ 与 $A^{\mathsf T}$ 具有相同的特征多项式以及相同的特征值，各特征值的代数重数也相同，但两者的特征向量未必一致。(github.com)

对偶性与内积

通过对偶空间，可以给出转置的一种不依赖于基的解释。如果 $T:V\to W$ 是有限维向量空间之间的线性映射，它会诱导出映射

T^\vee:W^*\to V^*,\qquad T^\vee(\varphi)=\varphi\circ T.

这个映射将 $W$ 上的线性泛函拉回为 $V$ 上的线性泛函。如果 $A$ 是 $T$ 相对于所选基（线性代数）的表示矩阵，那么 $A^{\mathsf T}$ 就是 $T^\vee$ 相对于相应对偶基的表示矩阵。映射方向的反转解释了为什么矩阵的行列数与乘法顺序都会颠倒。(ocw.mit.edu)

对于元素为实数的矩阵，转置还可用于表达标准欧几里得内积的关系：

\langle Ax,y\rangle=\langle x,A^{\mathsf T}y\rangle.

这里 $x\in\mathbb R^n$ ， $y\in\mathbb R^m$ 。这一恒等式刻画了 $A^{\mathsf T}$ 是 $A$ 关于这些内积的伴随；对于任意内积或非标准正交基，伴随的表示矩阵未必是普通转置。(math.brown.edu)

对称性与复矩阵

若方阵满足 $A^{\mathsf T}=A$ ，则称其为对称矩阵；若满足 $A^{\mathsf T}=-A$ ，则称其为反对称矩阵。在实数范围内，反对称矩阵的对角线元素均为零。每个实方阵都可以唯一地分解为对称部分与反对称部分：

A=\frac{A+A^{\mathsf T}}2+\frac{A-A^{\mathsf T}}2.

(ocw.mit.edu)

实正交矩阵满足

Q^{\mathsf T}Q=I,

其中 $I$ 为单位矩阵；因此 $Q^{-1}=Q^{\mathsf T}$ 。根据谱定理，实对称矩阵可以在标准正交基下对角化。(ocw.mit.edu)

对于含有复数元素的矩阵，普通转置不会对元素取共轭。共轭转置记为 $A^*$ 或 $A^{\mathrm H}$ ，满足

A^*=\overline A^{\mathsf T}.

它是标准复内积下的伴随。因此，厄米矩阵满足 $A^*=A$ ，而不一定满足 $A^{\mathsf T}=A$ 。(math.brown.edu)

应用与计算

对于实矩阵 $X$ ，格拉姆矩阵 $X^{\mathsf T}X$ 的元素是各列之间的内积。它是对称半正定矩阵，因为

z^{\mathsf T}X^{\mathsf T}Xz=\|Xz\|^2\geq0.

在普通最小二乘法及其应用（包括线性回归）中，最小化 $\|X\beta-y\|^2$ 可得到正规方程

X^{\mathsf T}X\hat\beta=X^{\mathsf T}y.

当 $X$ 的各列线性无关时，解是唯一的。从几何上看，这些方程表明残差与 $X$ 的每一列都正交。(ocw.mit.edu)

软件会区分数学上的转置与存储元素的实际重排。NumPy 的转置操作可以返回与原始数据共享存储的视图，而不是复制后的数组。对于多维数组，转置会置换各轴；矩阵转置是只有两个轴的特例。一维数组没有彼此独立的行轴和列轴，因此对其进行转置不会改变形状。要将其表示为列或行，就需要增加一个轴。(numpy.org)