舒尔分解 · aiwiki.page

舒尔分解是一种矩阵分解，它将方矩阵表示在一个标准正交坐标系中，使其成为三角矩阵；若只使用实数运算，则使其成为分块三角矩阵。在复数形式下，舒尔分解将 $A$ 表示为 $A=QTQ^*$ ，其中 $Q$ 为酉矩阵， $T$ 为上三角矩阵。这种分解无需构造特征向量基就能给出特征值，是数值线性代数中的基本工具。(netlib.org)

复舒尔分解

对于任意 $A\in\mathbb C^{n\times n}$ ，都存在酉矩阵 $Q$ 和上三角矩阵 $T$ ，使得

A=QTQ^*, \qquad Q^*AQ=T, \qquad Q^*Q=QQ^*=I.

这里， $Q^*$ 表示共轭转置， $I$ 为单位矩阵。矩阵 $T$ 称为 $A$ 的一个舒尔形； $Q$ 的各列称为相应的舒尔向量。这是一种相似变换，而不仅仅是将矩阵分解为若干矩阵的乘积。(netlib.org)

对角元 $t_{11},\ldots,t_{nn}$ 就是 $A$ 的特征值，每个特征值按其代数重数计入。因此， $A$ 的特征多项式满足

\det(zI-A)=\prod_{j=1}^{n}(z-t_{jj}).

与矩阵对角化不同，即使 $A$ 没有足够多的线性无关特征向量来构成一组基，舒尔三角化也仍然存在。其上三角部分的元素保留了仅凭对角线上的特征值列表无法反映的信息。(netlib.org)

存在性及其证明

存在性定理可以对矩阵的阶数使用数学归纳法来证明。选取一个对应于特征值 $\lambda$ 的单位特征向量 $q_1$ ，并将其扩充为一组标准正交基。将由此得到的酉矩阵记为 $U=[q_1\ V]$ ，则有

U^*AU= \begin{pmatrix} \lambda & r\\ 0 & B \end{pmatrix}.

由于 $Aq_1=\lambda q_1$ ，左下角的分块为零。根据归纳假设， $B=W S W^*$ ，其中 $W$ 为酉矩阵， $S$ 为上三角矩阵。因此，取

Q=U \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&W \end{pmatrix}

即可使 $Q^*AQ$ 成为上三角矩阵。这一论证无需假设 $A$ 可对角化，就能证明分解的存在性。它主要是一个理论证明，而不是求解该分解时通常采用的数值方法。(seas.ucla.edu)

实舒尔分解

对于 $A\in\mathbb R^{n\times n}$ ，总存在仅使用实矩阵的分解：

A=QTQ^{\mathsf T},

其中 $Q$ 为正交矩阵， $T$ 为拟上三角矩阵。这意味着 $T$ 是分块上三角矩阵，其对角块的大小为 $1\times1$ 或 $2\times2$ 。标量块表示实特征值； $2\times2$ 块表示一对非实的共轭复特征值。(netlib.org)

表示一对非实特征值的标准形式为

\begin{pmatrix} a&b\\ c&a \end{pmatrix}, \qquad bc<0,

其特征值为

a\pm i\sqrt{-bc}.

两个非对角元不必互为相反数。(netlib.org)

例如，

A= \begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix}

本身就是实舒尔形，此时 $Q=I$ 。直接计算可得其特征值为 $i$ 和 $-i$ 。它不能通过实相似变换化为上三角矩阵：实三角矩阵的对角元都是实数，因此其特征值也只能是实数。正是这个 $2\times2$ 块，使得仅用实数运算也能表示这一对特征值。

舒尔向量与不变子空间

舒尔向量一般并不是各自独立的特征向量。由 $AQ=QT$ 可知，第一个舒尔向量满足 $Aq_1=t_{11}q_1$ ，但后续各列在 $A$ 的作用下，可能变为自身及若干前列向量的线性组合。不过，在复舒尔形中，前 $k$ 列总能张成一个不变子空间：

A Q_k=Q_k T_k,

其中 $Q_k=[q_1,\ldots,q_k]$ ， $T_k$ 为 $T$ 左上角的 $k\times k$ 分块。对于实舒尔形，这一结论适用于前 $k$ 列恰好包含完整对角块的情形。(netlib.org)

可以重新排列特征值，使选定的一组特征值位于对角线的最前面。相应的前若干个舒尔向量便构成与这组特征值对应的不变子空间的一组标准正交基。当关注的是整个子空间，而不是单独的特征向量时，这一点尤其有用。(netlib.org)

这种分解并不唯一。例如，若 $D$ 是对角酉矩阵，则

A=(QD)(D^*TD)(QD)^*

也是一个舒尔分解。重新排列特征值还会产生其他分解；重特征值则可能使不变子空间内的基有更多选择。这些变换说明，舒尔形并不是一个元素取值唯一的规范形式。

正规矩阵与对角化

正规矩阵满足 $A^*A=AA^*$ 。这类矩阵的复舒尔形是对角矩阵：酉相似变换保持正规性，而上三角正规矩阵必定是对角矩阵。反过来，与对角矩阵酉相似的矩阵必定是正规矩阵。由此便得到复正规矩阵的有限维谱定理。(seas.ucla.edu)

一个简单的例子可以说明，三角化比对角化更具一般性。设

A= \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{pmatrix}.

取 $Q=I$ 、 $T=A$ ，便得到一个舒尔分解。然而，求解 $(A-I)x=0$ 可知，只有一个线性无关的特征向量，因此 $A$ 不可对角化。若直接去掉对角线上方的非零元素，就会改变该矩阵所表示的线性变换。

数值计算与稳定性

标准的稠密矩阵算法首先将 $A$ 化为上海森堡矩阵 $H$ ，即第一条次对角线以下的元素均为零的矩阵。这一步通过正交或酉相似变换完成，通常使用豪斯霍尔德变换来实现。随后，QR算法将 $H$ 化为舒尔形，同时累积用于构造 $Q$ 的变换。如需特征向量，则另行从三角矩阵或海森堡矩阵的特征值问题中求得。(netlib.org)

对于稠密矩阵，典型的计算复杂度为 $O(n^3)$ ，但具体运算量取决于收敛情况，以及是否累积计算舒尔向量。(wwwuser.gwdguser.de)

设计良好的舒尔算法具有后向稳定性：考虑舍入效应后，计算结果可视为某个邻近矩阵 $A+E$ 的精确分解，其中扰动 $E$ 的范数很小。这种数值稳定性并不保证每个特征值或特征向量的前向误差都很小。敏感的谱相关量在微小扰动下也可能发生显著变化，其敏感程度由相应的条件数衡量。(netlib.org)

标准正交的舒尔基避免了使用特征向量基时可能出现的病态坐标变换。不过，它并不能消除特征值、不变子空间或后续计算本身固有的敏感性。(netlib.org)

应用

特征值问题。 舒尔形的对角元或对角块给出矩阵的特征值。对舒尔形重新排序，还可用于计算选定的不变子空间及其敏感性。(netlib.org)

矩阵函数。 对于定义适当的矩阵函数，由相似变换可得

f(A)=Qf(T)Q^*.

因此，算法可以处理三角矩阵 $T$ ，而不必直接处理一般矩阵。基于舒尔分解的方法可用于计算矩阵指数、对数、平方根及其他函数。化为三角矩阵只是一个起点，并不保证之后的每一步递推都稳定。(epubs.siam.org)

矩阵方程。 对于西尔维斯特方程 $AX+XB=C$ ，令

A=USU^*,\qquad B=VTV^*.

作代换 $Y=U^*XV$ 、 $D=U^*CV$ ，可将方程化为

SY+YT=D.

利用三角或拟三角结构，可以有条理地逐步代入求解。这一化简是 Bartels–Stewart 方法的核心。(netlib.org)

广义舒尔分解

广义舒尔分解也称为 QZ 分解，它将这一构造推广到一对方阵：

A=QSZ^*,\qquad B=QTZ^*,

其中 $Q,Z$ 为酉矩阵；在复数情形下， $S,T$ 为上三角矩阵。与普通舒尔分解不同，它使用两个通常并不相同的变换矩阵。(netlib.org)

对于正则矩阵束 $A-\lambda B$ ，广义特征值由对角元对表示：

(\alpha_j,\beta_j)=(s_{jj},t_{jj}).

当 $\beta_j\ne0$ 时，特征值为 $\alpha_j/\beta_j$ ；当 $\alpha_j\ne0$ 且 $\beta_j=0$ 时，表示无穷特征值。数对 $(0,0)$ 表明存在奇异矩阵束问题，而不是一个普通的有限或无穷特征值。实数版本使用拟三角块，以便在表示共轭复特征值对时仍只使用实数运算。(netlib.org)

参考来源

Eigenvalues, Eigenvectors and Schur Factorizationnetlib.org
Schur decompositionseas.ucla.edu
LAPACK: dlanv2netlib.org
LAPACK, Handbook of Linear Algebranetlib.org
Introduction to Linear Algebra, 5th Editionmath.mit.edu
Invariant Subspaces and Condition Numbersnetlib.org
f08 – Least-squares and Eigenvalue Problems (LAPACK)wwwuser.gwdguser.de
LAPACK Working Note 13netlib.org
A Schur–Parlett Algorithm for Computing Matrix Functionseprints.maths.manchester.ac.uk
Eigenvalues, Eigenvectors and Generalized Schur Decompositionnetlib.org
LAPACK: sggesnetlib.org