爱因斯坦求和约定是一种用重复指标代替显式求和符号的记号规则。在标准的张量形式中，同一项内出现两次的指标——一次作为上指标，一次作为下指标——表示在其指定范围内求和。这一约定使涉及张量的表达式更加简洁，同时保留有关其分量和缩并的信息。阿尔伯特·爱因斯坦在其1916年关于广义相对论的论文第5节中明确引入了这一规则。它也用于线性代数和计算中的数组记号。(en.wikisource.org)
基本规则与指标范围
对于取值范围为 (1) 到 (n) 的指标 (i)，表达式 [ a_i b^i ] 表示 [ \sum_{i=1}^{n}a_i b^i =a_1b^1+a_2b^2+\cdots+a_nb^n. ] 重复指标指定了需要先相乘、再相加的分量；它不是指数。求和约定分别适用于和式中的每一项，而不是不加区分地作用于整个等式。(en.wikisource.org)
指标的取值范围必须由上下文确定。对于有限维向量空间中的分量，指标可取值的个数通常等于该空间的维数。在四维时空中，指标通常从 (0) 取到 (3)。不同类型的指标可以有不同的取值范围；相互匹配的指标字母必须对应相容的分量空间。(w0.ned.ipac.caltech.edu)
多对重复指标表示多个独立的求和。例如， [ T_{ij}u^iv^j =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}T_{ij}u^iv^j. ] 这里，(i) 和 (j) 都不再出现在结果中。相比之下，(u^iv^j) 中的两个指标各不相同且均未重复，因此不包含隐含求和，而是给出张量积的分量。(en.wikisource.org)
自由指标与哑指标
哑指标又称求和指标，在同一项中出现两次，并在求和后消去。用哪个字母表示它并无本质意义： [ A^i{}_j x^j=A^i{}_k x^k. ] 只要替换后的字母不与该项中的其他指标冲突，这两个表达式就表示相同的分量。(appliedmechanicslab.github.io)
自由指标不参与求和，用于标记结果的分量。在 [ y^i=A^i{}_j x^j ] 中，(i) 是自由指标，(j) 是哑指标。对于 (i) 的每一个允许取值，这个等式都表示一个标量等式。所有相加的项，以及张量等式的两边，都必须具有相互匹配的自由指标，且相应指标的上下位置也必须一致。因此，(u^i+v^j) 并不表示通常意义上按分量进行的向量加法。(appliedmechanicslab.github.io)
在标准约定下，同一指标不能在一项中出现三次或更多次。因此，(a_i b^i c^i) 这样的表达式需要改写，或者明确采用另一种约定。像 (A^1{}_1) 这样的特定分量不会自动求和：重复的数字指定的是一个固定分量，而不是遍历取值范围的指标。(appliedmechanicslab.github.io)
上指标与下指标
在微分几何中，指标的位置反映其变换方式。按惯例，上指标表示逆变分量，包括向量的分量；下指标表示协变分量，包括对偶空间中元素的分量。它们的变换规律使相互匹配的一对上、下指标可以用于张量缩并。每缩并一对指标，张量的指标总数就减少两个。(w0.ned.ipac.caltech.edu)
度量张量将上指标分量与下指标分量联系起来： [ v_i=g_{ij}v^j, \qquad v^i=g^{ij}v_j, ] 其中，(g^{ij}) 是逆度量的分量。对于实向量，度量配对为 [ g(u,v)=g_{ij}u^iv^j. ] 当度量正定时，这就是一个内积；时空度量则不一定正定。(w0.ned.ipac.caltech.edu)
在实欧几里得空间的一组标准正交基下，度量分量构成单位矩阵，对应的上指标分量与下指标分量在数值上相同。因此，笛卡尔坐标系中的张量计算常常把所有指标都写在下方，用 (a_i b_i) 表示点积。这种简化记号不应原样套用于任意坐标系或不定度量。(w0.ned.ipac.caltech.edu)
矩阵与张量运算
表示线性映射的矩阵通过下式作用于向量： [ y^i=A^i{}_j x^j. ] 映射的复合则写为 [ C^i{}_k=A^i{}_jB^j{}_k. ] 共同的指标 (j) 执行矩阵乘法中熟悉的求和，而 (i) 和 (k) 标记输出的分量。(nwchemex.github.io)
矩阵的迹是同一对象内部的缩并： [ \operatorname{tr}A=A^i{}_i. ] 克罗内克 delta定义为：当 (i=j) 时，(\delta^i{}_j=1)；否则为 (0)。它满足 [ \delta^i{}_jv^j=v^i. ] 这些公式说明，指标的排列方式可以区分不同运算，而无须逐一写出运算名称。不过，仅凭简洁的指标记号，并不能断定一个数组按张量的方式变换；变换性质仍是一项独立的要求。(en.wikisource.org)
计算记号与扩展
这一约定也为数值线性代数中的多维数组运算提供了一种表达语言。NumPy 的 einsum 用字符标签标记数组的轴。例如，einsum('ij,jk->ik', A, B) 表示矩阵乘法，而 einsum('i,i->', a, b) 对向量对应元素的乘积求和。箭头显式指定输出标签。(numpy.org)
这类接口扩展了传统的数学约定。einsum('ij->i', A) 对标签仅出现一次的轴求和，而 einsum('i,i->i', a, b) 保留重复标签，并计算逐元素乘积。同样，einsum('ii->i', A) 提取的是对角线元素，而不是计算迹。这些都是有效的软件指令，因为输出标签决定哪些轴会保留下来；如果不说明修改后的规则，就不应将它们理解为通常的爱因斯坦记号。(numpy.org)
参考来源
- The Foundation of the Generalised Theory of Relativityen.wikisource.org
- Einstein Summation Convention — Applied Mechanics Labappliedmechanicslab.github.io
- Einstein Summation Convention — TensorWrapper 1.0.0 documentationnwchemex.github.io
- numpy.einsum — NumPy v2.1 Manualnumpy.org