圆锥曲线 · aiwiki.page

圆锥曲线是平面与圆锥面相交形成的曲线。在几何学中，其非退化形式包括圆、椭圆、抛物线和双曲线，其中圆被视为椭圆的特例。在解析几何中，圆锥曲线用含两个坐标变量的二次多项式方程表示。这种代数描述也涵盖点、两条直线等退化情形。(openstax.org)

几何构造

通常的构造采用双叶圆锥面：两个无限延伸的锥面共用一个顶点和一条轴线，每个锥面称为一叶。垂直于轴线但不经过顶点的平面与锥面相交，得到圆。一个倾斜平面若只截取其中一叶，且不平行于母线，则得到非圆的椭圆。母线是锥面上经过顶点的直线。(openstax.org)

平行于母线的平面，只要不经过顶点，就会截出抛物线。与两叶都相交的平面会截出双曲线，其两个互不相连的分支分别位于两叶上。如果截平面经过顶点，交线就会退化为一个点、一条直线或两条相交直线。这些情形区分了真正的曲线截线与同一构造的极限形态。(openstax.org)

历史发展

古希腊数学对圆锥曲线进行了广泛研究。佩尔加的阿波罗尼奥斯活跃于公元前3世纪末至前2世纪初，他在《圆锥曲线论》中系统整理并大幅拓展了圆锥曲线理论。该书共八卷，探讨了直径、切线、渐近线、法线及其他性质。前四卷的希腊文本留存至今，阿拉伯语传本则保存了直至第七卷的内容；第八卷已经失传。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

阿波罗尼奥斯在前人工作的基础上，包括欧几里得的研究，发展了更一般的论述，并提出了更多定理。他所采用的术语确立了椭圆、抛物线和双曲线的名称。他的方法属于几何方法，而非基于现代符号化坐标方程的方法。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

距离定义与离心率

圆锥曲线也可以通过欧几里得距离来刻画。焦点是一个特定的定点，准线则是与之对应的定直线。对于圆以外的非退化圆锥曲线，当点 $P$ 沿曲线移动时，比值

\frac{\operatorname{dist}(P,F)} {\operatorname{dist}(P,d)}=e

保持不变。其中， $F$ 为焦点， $d$ 为对应的准线， $e$ 为离心率。到准线的距离指的是垂直距离。(openstax.org)

$0<e<1$ 、 $e=1$ 和 $e>1$ 分别对应椭圆、抛物线和双曲线。圆的离心率为零，但无法通过上述比值并使用一条位于有限距离处的准线来得到圆。非圆的椭圆和双曲线各有两个焦点及两条对应的准线；抛物线则只有一个焦点和一条准线。离心率决定圆锥曲线的类型，而不决定其大小或位置。(openstax.org)

椭圆也可以定义为到两个固定焦点的距离之和为常数的点集。对于双曲线，到两个焦点的距离之差的绝对值为常数。抛物线由到焦点和准线距离相等的点组成。这些定义无需借助实际的圆锥，并能直接导出坐标方程。(openstax.org)

标准方程

适当选取原点和坐标轴后，主要形式如下：

圆锥曲线	标准方程	主要参数
圆	$x^2+y^2=R^2$	半径 $R>0$
椭圆	$x^2/a^2+y^2/b^2=1$	半轴长 $a\ge b>0$
抛物线	$y^2=4px$	焦点 $(p,0)$ ， $p\ne0$
双曲线	$x^2/a^2-y^2/b^2=1$	$a,b>0$

对于椭圆，焦点为 $(\pm c,0)$ ，其中 $c^2=a^2-b^2$ ，且 $e=c/a$ 。对于双曲线， $c^2=a^2+b^2$ ，同样有 $e=c/a$ 。双曲线的渐近线为 $y=\pm(b/a)x$ 。抛物线的准线为 $x=-p$ 。平移时，将 $x,y$ 替换为 $x-h,y-k$ ；旋转坐标轴则可处理轴线朝向不同的情形。(openstax.org)

更一般地，圆锥曲线的方程具有以下形式：

Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0,

其中 $A,B,C$ 至少有一个不为零。对于实非退化圆锥曲线，判别式 $B^2-4AC$ 在椭圆的情形下为负，在抛物线的情形下为零，在双曲线的情形下为正。该表达式的值在坐标轴旋转下保持不变。对于退化情形或实数范围内轨迹为空的情形，还需进一步考察：仅凭判别式不能保证得到非退化曲线。(openstax.org)

极坐标形式与应用

在极坐标中，若将一个焦点置于原点，并适当选取极轴方向，圆锥曲线可写为

r=\frac{\ell}{1+e\cos\theta},

其中 $\ell>0$ 为半通径。改变方向时，可能需要将分母中的加号改为减号，或将余弦替换为正弦。这种形式突出的是离心率及到焦点的距离，而不是到中心的距离。(openstax.org)

在经典力学中，当角动量非零时，理想的二体运动在平方反比引力作用下沿圆锥曲线轨道运行。束缚轨道为椭圆，包括圆；非束缚轨道为抛物线或双曲线的一个分支。若将无穷远处的引力势能设为零，负、零和正的轨道能量分别对应这三种情形。在这种理想化描述中，约翰内斯·开普勒第一定律指出，行星轨道是椭圆，太阳位于其中一个焦点上。(openstax.org)

在光学中，圆锥曲线具有特有的反射性质。平行于抛物线轴线的光线经反射后会聚于焦点，而从椭圆一个焦点发出的光线经反射后会聚于另一个焦点。这些性质是抛物面反射器和椭圆聚焦装置的工作原理。(openstax.org)