连通空间 · aiwiki.page

连通空间是不能划分为两个不交非空子集的拓扑空间。连通性将空间由单一整体构成这一概念形式化，但并不必然意味着任意两点都能由连续路径连接。它是拓扑学中的基本性质，并在同胚下保持不变。（math.toronto.edu）

定义与等价刻画

拓扑空间 $X$ 的一个分离是满足下列条件的一对开集 $U,V\subseteq X$ ：

X=U\cup V,\qquad U\cap V=\varnothing,\qquad U\ne\varnothing,\quad V\ne\varnothing.

若不存在分离，则称空间为连通的；否则称为空间不连通。在一个分离中，每个集合也都是闭集，因为它的补集就是另一个开集。因此，连通性等价地可定义为：不可能将 $X$ 划分为两个非空、不交的闭集。（math.toronto.edu）

既开又闭的集合称为开闭集。连通性的等价开闭集刻画为：

X\text{ is connected} \quad\Longleftrightarrow\quad \text{the only clopen subsets of }X\text{ are }\varnothing\text{ and }X.

按照“无分离”的定义，空空间和每个单点空间都是连通的。（math.toronto.edu）

若子集 $A\subseteq X$ 配备其子空间拓扑后是连通的，就称 $A$ 连通。因此，对 $A$ 的分离所用的集合是在 $A$ 中开，而不一定在环境空间 $X$ 中开。连通性取决于拓扑，而不只是底层集合。例如，任何配备平凡拓扑的集合都是连通的；而配备离散拓扑的集合只要含有至少两个点，就不连通。（math.toronto.edu）

实直线上的连通性

在通常拓扑下，实直线的非空子集恰好在它是区间时连通，其中包括单点区间和无界区间。等价地说，如果它包含 $a<b$ ，就必须包含二者之间的每个数。若缺少某个中间点 $c$ ，则与由 $c$ 确定的两条开半直线相交，就会得到一个分离。（math.toronto.edu）

这一刻画从拓扑角度解释了介值定理。若 $X$ 连通，且 $f:X\to\mathbb R$ 连续，那么对于任意 $a,b\in X$ ， $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的每个值都能在 $X$ 中某处取到。其关键事实是：连通空间在连续函数下的像仍连通；因此，当像落在 $\mathbb R$ 中时，它就是一个区间。（math.toronto.edu）

保持性与构造

以下若干基本结果有助于构造和判定连通空间：

**连续像：**若 $X$ 连通，且 $f:X\to Y$ 连续，则 $f(X)$ 连通。像的分离会拉回为 $X$ 的分离。特别地，连通性在同胚下不变。（math.toronto.edu）
**闭包：**若 $A\subseteq X$ 连通，则其闭包 $\overline A$ 连通。更一般地，任何满足 $A\subseteq B\subseteq\overline A$ 的集合 $B$ 都连通。（math.toronto.edu）
**有交集的并：**一族有公共点的连通子集，其并连通。更一般地，只要其中一个连通成员与其他每个成员都有交集即可。（math.toronto.edu）
**积：**连通空间的积在赋予积拓扑时连通，包括无限积。此处指定的拓扑对该定理至关重要。（math.toronto.edu）

任意子集未必继承连通性。例如，区间 $[0,1]$ 连通，但其两点子集 $\{0,1\}$ 不连通。（math.toronto.edu）

道路连通性

若对每个 $x,y\in X$ ，都存在一个连续映射

\gamma:[0,1]\longrightarrow X, \qquad \gamma(0)=x,\quad \gamma(1)=y.

则称空间为道路连通。这样的映射称为一条路径。每个道路连通空间都是连通的，因为路径是连通区间 $[0,1]$ 的连续像。对一般拓扑空间而言，反过来则不成立。（math.toronto.edu）

一个标准反例是闭的拓扑学家的正弦曲线：

S= \left\{\left(x,\sin\frac1x\right):0<x\leq1\right\} \cup \bigl(\{0\}\times[-1,1]\bigr),

其拓扑取自平面。振荡的图像是道路连通的，而 $S$ 是它的闭包，所以 $S$ 连通。然而，在 $S$ 中不存在一条路径能将竖直线段与图像连接起来：当 $x=0$ 附近时，振荡使连续过渡无法实现。因此，连通性并不意味着点与点之间存在路径。（math.toronto.edu）

连通分支

包含点 $x\in X$ 的连通分支是包含 $x$ 的最大连通子集。它可以表示为

C(x)= \bigcup\{A\subseteq X:A\text{ is connected and }x\in A\}.

由于这些集合都包含 $x$ ，它们的并是连通的。因此，连通分支是极大连通子集，并且每个空间都可划分为其连通分支。（math.mit.edu）

每个连通分支都是闭集，但不一定是开集。非空空间当且仅当只有一个连通分支时才连通。道路连通分支则以点之间存在路径来定义；每个道路连通分支都包含在某个连通分支中，但两类分支未必相同。闭拓扑学家的正弦曲线有一个连通分支和两个道路连通分支。（math.toronto.edu）

若每个连通分支都是单点集，则称空间为全不连通空间。这并不意味着其拓扑是离散的。例如，赋予通常子空间拓扑的有理数是全不连通的，尽管没有任何有理点是孤立点。更一般地，每个可数度量空间都是全不连通的：在任意一点周围，都能选取任意小的球半径，使其不是到其他任何点的距离，从而使这些球成为开闭集。（people.math.harvard.edu）

局部连通性

若每个点的每个邻域都包含该点的一个连通开邻域，则称空间为局部连通。若相应的邻域可以取为道路连通的，则称其为局部道路连通。等价地，这些条件要求存在由连通开集或道路连通开集构成的基。（math.toronto.edu）

这些是局部条件，与全局连通性不同。两个不相交的开区间构成一个局部道路连通但不连通的空间。反过来，闭拓扑学家的正弦曲线虽然连通，却在其竖直线段上的点处不局部连通。在局部连通空间中，连通分支既开又闭。（math.mit.edu）

在局部道路连通空间中，连通分支与道路连通分支一致。因此，这类空间连通当且仅当道路连通。一个重要推论是，每个欧几里得空间的连通开子集都是道路连通的；开性保证了存在小的道路连通邻域。（math.toronto.edu）

区分空间

连通性可以区分不同胚的空间。连通分支的个数是一个拓扑不变量。更精细的不变量是空间删去点后的变化：连通空间中的一个割点，是指删去后会使空间不连通的点。实直线上的每个点都是割点，而欧几里得平面上没有割点，因此直线与平面不同胚。（math.toronto.edu）

参考来源

MAT327: Introduction to Topology — Lecture 9math.toronto.edu
MAT327: Introduction to Topology — Lecture 10math.toronto.edu
MAT327: Introduction to Topology — Lecture 11math.toronto.edu
MAT246: Outline of Point Set Topologymath.toronto.edu
Topology Notes — Math 131, Harvard Universitypeople.math.harvard.edu
MAT327: Introduction to Topology — Assignment 3math.toronto.edu
Topology: A First Course — Local Connectednessmath.mit.edu