调和函数

调和函数是在欧几里得空间的开子集上二次连续可微且拉普拉斯算子为零的函数。在坐标表示中，函数 $u$ 满足 $\Delta u=\sum_{j=1}^{n}\partial^2u/\partial x_j^2=0$ 时称为调和函数。调和性也有一种平均值解释：在定义域内任意球的中心处的函数值，等于其边界球面上的平均值，也等于球内的平均值。这些等价的微分描述与平均值描述，将局部方程和整体行为联系起来。(web.math.princeton.edu)

调和函数描述了各种平衡现象，包括没有热源的均匀材料中的稳态温度，以及无电荷区域中的电势。其数学重要性源于若干强有力的结构性质：调和函数是实解析的，满足最大值原理，并且在二维情形下与全纯函数密切相关。调和函数理论涵盖边值问题、能量极小化、球面展开和奇点，也可通过布朗运动得到进一步解释，并推广到弯曲空间和离散网络。(web.stanford.edu)

定义、定义域与基本例子

在开集 $\Omega\subseteq\mathbb R^n$ 上的经典实值调和函数，是指属于 $C^2(\Omega)$——即直到二阶的偏导数均存在且连续——并满足拉普拉斯方程

这里的 $\Delta$ 是拉普拉斯算子，约定 $\Delta=\operatorname{div}\nabla$。该定义要求方程在每个内点都成立，而不是规定边界条件。(web.stanford.edu)

区域通常指欧几里得空间中的非空开连通子集。定义调和性并不要求连通：在不连通的开集上，方程在每个连通分支上分别成立。对于复值函数 $u=v+iw$，调和性按分量理解。由于 $\Delta u=\Delta v+i\Delta w$，这等价于实值函数 $v$ 和 $w$ 都是调和函数。(axler.net)

常函数和仿射函数 $u(x)=b+\sum_{j=1}^{n}a_jx_j$ 都是调和函数，因为它们的所有二阶导数均为零。(web.stanford.edu) 在二维情形下，直接求导可得非线性例子：

相比之下，$\Delta(x^2+y^2)=2+2=4$，因此 $x^2+y^2$ 在平面上的任何非空开子集上都不是调和函数。这些计算表明，调和性要求纯二阶导数的和相互抵消，而不是每个纯二阶导数都分别为零。在更高维中，只要这些函数与其余坐标无关，同样的例子也成立。

在一维情形下，方程变为 $u''=0$；积分两次可得，在开集的每个区间分支上 $u(x)=ax+b$。当 $n\geq2$ 时，该方程允许丰富得多的函数族。例如，对 $u(x,y)=e^{ax}\cos(ay)$ 直接计算可得，其中 $a$ 为任意实参数，$u_{xx}=a^2u$，而 $u_{yy}=-a^2u$。因此，非线性、非多项式的调和函数在整个平面上就已存在；忽略其余坐标，还可将其扩展到 $\mathbb R^n$。

固定开集上的调和函数构成一个向量空间：由线性性可知，$\Delta(au+bv)=a\Delta u+b\Delta v$。它们的导数也都是调和函数。尽管定义只要求 $C^2$ 正则性，调和函数实际上自动具有无穷阶可微性；由此可交换求导次序，得到 $\Delta(\partial_j u)=\partial_j(\Delta u)=0$，高阶导数也同样如此。(axler.net) 调和函数的乘积则不一定仍为调和函数：乘积法则给出

例如，$x$ 是调和函数，但 $x^2$ 的拉普拉斯算子值为 $2$。

平移、正交变换（包括反射）以及均匀伸缩都保持调和性。(axler.net) 更具体地，设 $T(x)=a+sQx$，其中 $s>0$，且 $Q^{\mathsf T}Q=I$。由链式法则可得

因此 $u\circ T$ 在 $T^{-1}(\Omega)$ 上是调和函数。这里的均匀伸缩至关重要：对坐标进行不等比例的拉伸会改变各二阶导数的相对权重。例如，将 $x^2-y^2$ 与映射 $(x,y)\mapsto(2x,y)$ 复合，得到 $4x^2-y^2$，其拉普拉斯算子值为 $6$。

物理起源与平衡模型

调和函数的研究源于 18 世纪的天体力学和 19 世纪的位势理论。1782 年，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯证明，远离吸引物质处的牛顿引力位满足后来称为拉普拉斯方程的方程 $\Delta u=0$。用标量位势表示平方反比力，使人们能够通过一个微分方程来研究场，而不必分别处理三个力的分量。19 世纪将这一理论推广到电学和磁学的例子之一，是乔治·格林 1828 年发表的《数学分析在电学和磁学理论中的应用》。这些应用使位势理论成为研究原本各不相同的物理现象的共同数学框架。(cambridge.org)

在静电学中，电场与电势的关系为 $\mathbf E=-\nabla V$。在真空中，高斯定律给出 $\nabla\cdot\mathbf E=\rho_e/\varepsilon_0$，其中 $\rho_e$ 为电荷密度，$\varepsilon_0$ 为真空介电常数。代入可得泊松方程：

因此，只要电荷密度为零，$V$ 在该区域内就是调和函数，即便该区域外的电荷在区域内部产生了非零电场也是如此。电势是标量；电场是它的负梯度，而不是电势本身。在介电常数随空间变化的介质中，相应方程则为 $\nabla\cdot(\varepsilon(x)\nabla V)=-\rho_{\mathrm{free}}$。因此，无电荷区域的电势未必是调和函数，除非本构假设能使该方程化为 $\Delta V=0$ 的常数倍。(web.mit.edu)

对于牛顿引力，采用约定 $\mathbf g=-\nabla\Phi$，其中 $\Phi$ 表示单位质量的引力势。引力通量定律为 $\nabla\cdot\mathbf g=-4\pi G\rho_m$，因此

其中 $G$ 为引力常数，$\rho_m$ 为质量密度。由此可知，在不含吸引物质的区域内，$\Phi$ 是调和函数。对于点质量 $M$，$\Phi(x)=-GM/|x|$ 在 $|x|>0$ 处是调和函数，但在质点处存在奇点。这一区别在地球物理学中十分重要：地球外部的引力势满足拉普拉斯方程，而其内部通常满足泊松方程。“无源”是关于密度的局部条件，并不意味着场为零，也不意味着其他地方不存在源。(www-gpsg.mit.edu)

对于静止固体中的热传导，局部能量平衡方程为 $\rho c\,\partial_tT=-\nabla\cdot\mathbf q+s$，其中 $T$ 为温度，$\rho c$ 为体积热容，$\mathbf q$ 为热流，$s$ 为单位体积的热产生率。对于各向同性的热导率 $k$，傅里叶定律给出 $\mathbf q=-k\nabla T$。当 $k>0$ 为常数时，这些关系导出热方程 $\rho c\,\partial_tT=k\Delta T+s$。在稳态且没有内部热产生时，$\Delta T=0$。稳态并不要求温度均匀或热流为零：不同的边界温度可以维持持续的热传输。若热导率随空间变化，无源平衡方程为 $\nabla\cdot(k(x)\nabla T)=0$；各向异性热导率则需用热导率张量替代 $k$。这两种方程通常都不能化为拉普拉斯方程。(web.stanford.edu)

在理想流体模型中，无旋性意味着 $\nabla\times\mathbf v=0$，因而在局部（或在单连通流动区域内全局）存在一个速度势 $\phi$，使得 $\mathbf v=\nabla\phi$。不可压缩性给出 $\nabla\cdot\mathbf v=0$，于是 $\Delta\phi=0$。这两个运动学条件共同导出调和性；无黏性是通常理想流模型的组成条件，但单凭无黏性并不足以保证调和性。速度势可以随时间变化，同时在每一时刻仍是空间变量的调和函数。相比之下，稳态可压缩质量守恒方程为 $\nabla\cdot(\rho\mathbf v)=0$，因此有 $\nabla\cdot(\rho\nabla\phi)=0$：密度变化会阻止方程直接化为拉普拉斯方程。(ocw.mit.edu)

平均值性质与极大值原理

设 $u$ 是开集 $\Omega\subset\mathbb R^n$ 上的实值调和函数，其中 $n\ge2$。对于任意满足闭包 $\overline{B(a,r)}$ 包含于 $\Omega$ 的开球，平均值性质指出：

这里，$dS$ 是曲面测度，$dx$ 是体积测度，分母分别将对应的测度归一化，使其总质量为 1。若 $\omega_n=|B(0,1)|$，这两个分母分别为 $n\omega_n r^{n-1}$ 和 $\omega_n r^n$。因此，在每个允许的半径下，球心处的函数值都等于球面平均值和实心球平均值，而不仅仅是在半径趋于零时如此。(web.math.princeton.edu)

散度定理说明了这些平均值为何与半径无关。令

将积分写成单位球面上的积分并求导，可得

其中 $\nu$ 是外单位法向量。由连续性可知，当 $r\to0$ 时 $M(r)\to u(a)$，从而得到球面平均值公式。对同心球壳积分，则可得到球体平均值公式。该计算只要求函数在球内是调和的；不要求 $\Omega$ 的边界具有任何正则性。(web.math.princeton.edu)

反过来，若 $\Omega$ 上的连续函数在每一点都对所有充分小的半径满足任一平均值公式，那么它就是调和函数。这里无须预先假设函数可微。一种证明方法是用光滑的径向平均核对函数作卷积：平均值恒等式意味着这种卷积在局部与原函数相等，从而可知原函数光滑。对于光滑函数，球面平均值展开式

进而迫使 $\Delta u(a)=0$。因此，平均值条件不仅是拉普拉斯方程的推论，也是调和性的刻画。(axler.net)

弱极大值原理和弱极小值原理针对有界开集：若 $u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$ 是调和函数，则

这些关于边界的结论不要求区域连通。相比之下，强极值原理要求区域连通，但既不要求区域有界，也不要求函数在边界上连续：若 $u$ 在 $\Omega$ 内部某点取得其在 $\Omega$ 上的上确界或下确界，则 $u$ 为常数。事实上，若 $u(a)=M$ 是最大值，那么对不超过 $M$ 的函数值取平均，只有在某个充分小的球内处处等于 $M$，平均值才可能等于 $M$。因此，满足 $u=M$ 的点集既是开集，也是相对闭集；由连通性可知，该点集就是整个 $\Omega$。对 $-u$ 应用同样的论证，即得极小值原理。(mathsite.math.berkeley.edu)

比较原理可通过对 $u-v$ 应用弱极值原理得到：在有界开集上，若两个调和函数在闭包上连续，且边界上 $u\le v$，则整个区域内都有 $u\le v$。因此，给定连续边界值 $f$ 后，任何解都介于 $\min_{\partial\Omega}f$ 与 $\max_{\partial\Omega}f$ 之间；而狄利克雷边值问题至多有一个这样的解，但这并不能证明解的存在性。对于无界区域，则需要控制无穷远处的行为。在半空间 $\{x_n>0\}$ 中，$0$ 和 $x_n$ 都是调和函数，且在边界上都为零，但在区域内部彼此不同。一个足以补充比较条件的假设是

并要求在有限边界上 $u\le v$，且函数在那里连续。在不断扩大的截断区域上应用有界区域的原理，即可推出 $u\le v$。(axler.net)

内部正则性、正性与收敛

经典调和函数 $u\in C^2(\Omega)$ 自动属于 $C^\infty(\Omega)$，事实上还是实解析函数。光滑性可通过与支撑在足够小球内的光滑径向核作平均得到：平均值性质保证该平均等于 $u$，而对核求导便可得到任意阶导数。实解析性则更强：在每个 $a\in\Omega$ 的邻域内，函数都可由收敛的 泰勒级数 表示：

这里 $\alpha$ 是多重指标，且 $\alpha!=\prod_i\alpha_i!$。这些结论严格来说仅适用于内部；它们并不意味着函数在边界处存在连续延拓或可微性。（axler.net）

内部估计定量描述了导数如何取决于函数的大小，以及到边界的距离。如果 $\overline{B_R(a)}\subset\Omega$，那么对每个多重指标 $\alpha$，都有

其中 $C_{n,\alpha}$ 与 $u$、$a$ 和 $R$ 均无关。对嵌套球反复应用一阶导数估计，即可得到高阶估计。特别地，若 $u$ 有界且 $d(x)=\operatorname{dist}(x,\partial\Omega)$，则

因子 $R^{-|\alpha|}$ 反映了导数在伸缩变换下的尺度变化；它随边界接近而增大，这也解释了为什么仅凭内部控制无法得到一致的边界导数界。（math.ucdavis.edu）

对于非负调和函数，哈纳克不等式 比较的是函数值，而非导数。在连通域 $\Omega$ 上，每个非空紧集 $K\subset\Omega$ 都存在常数 $C=C(K,\Omega)\ge1$，使得对任意非负调和函数 $u$，都有

关键在于，$C$ 取决于区域的几何性质，而与函数本身无关。在球上的局部比较可沿着 哈纳克链 传递：哈纳克链是位于区域内部、由有限个相互重叠的球构成并连接待比较点的序列。连通性保证这样的链存在，而紧致性则保证只需有限次比较就能控制 $K$。因此，非负调和函数在连通域上要么恒为零，要么处处严格为正。（math.stanford.edu）

哈纳克收敛原理指出，在连通域上逐点递增的调和函数序列 $u_j$ 只有两种可能：它在每个紧子集上一致收敛到有限的调和函数，或者 $u_j(x)\to+\infty$ 对每一点都成立。只要 $u_j(a)$ 在某个内部点有界，第二种可能便可排除。其原理是对非负差函数 $u_k-u_j$ 应用哈纳克不等式：在 $a$ 点的收敛由此给出紧集上的一致柯西估计。原序列不必满足非负性，因为可以用 $u_j-u_1$ 代替。（axler.net）

刘维尔定理 指出，在整个 $\mathbb R^n$ 上有界的调和函数必为常数：在任意大的球上应用一阶导数估计，并令 $R\to\infty$，即可迫使其梯度为零。只要求单侧有界也足够。改变符号并加上一个常数后，这样的函数便成为非负函数；在不断扩大的球上应用哈纳克比较，可知任意两个固定点处的函数值相等。更一般地，局部一致收敛 保持调和性。极限函数连续，并且通过将极限传递到紧含于区域内的球上的积分中，可知它继承平均值性质；随后即可应用平均值性质的逆定理。对函数差应用内部估计还可进一步证明，所有阶导数都局部一致收敛。（math.ucdavis.edu）

共轭调和函数与复分析

设 $f=u+iv$ 是平面区域 $D\subset\mathbb C$ 上的全纯函数，其中 $z=x+iy$。由 柯西—黎曼方程可得 $u_x=v_y$ 和 $u_y=-v_x$。全纯函数的分量光滑，因此混合偏导数可以交换：

因此，两个分量都是调和函数。若实值函数 $v$ 使得 $u+iv$ 为全纯函数，则称 $v$ 是 $u$ 的一个共轭调和函数；仅仅要求两个函数都是调和函数并不足够。例如，$u(x,y)=xy$ 的共轭调和函数为 $v(x,y)=(y^2-x^2)/2$，由此得到 $f(z)=-iz^2/2$。(math.berkeley.edu)

反过来，给定一个实值调和函数 $u$，求它的共轭调和函数意味着要解方程 $v_x=-u_y$、$v_y=u_x$。引入微分形式 $\omega=-u_y\,dx+u_x\,dy$。相容条件恰好就是调和性：由于 $-u_{yy}=u_{xx}$，$dx$ 的系数对 $y$ 的导数等于 $dy$ 的系数对 $x$ 的导数。在足够小的圆盘上，这使得曲线积分

与圆盘内的路径无关，对其求导即可得到所需方程。同样的构造也适用于整个单连通区域。在任意连通区域上，同一个 $u$ 的两个共轭调和函数相差一个实常数，因为它们之差的两个偏导数都为零。(math.berkeley.edu)

在非单连通区域上，精确的全局判据是每个周期都为零：

其中 $\gamma$ 是区域内任意一条分段光滑闭曲线。这就是上述构造的路径无关条件。对于 $\mathbb C\setminus\{0\}$ 上的 $u(z)=\log|z|=\tfrac12\log(x^2+y^2)$，微分形式为

沿逆时针单位圆 $z=e^{it}$ 的积分为 $\int_0^{2\pi}dt=2\pi$，因此不存在单值的全局共轭调和函数。局部来看，共轭调和函数是 $z$ 的辐角，而 $u+iv$ 是复对数的一个分支。割线平面上可以定义这样的分支；但绕原点一周后延拓辐角，其值会改变 $2\pi$。非单连通性允许这种障碍出现，但并不意味着每个调和函数都会遇到这种障碍。(math.ucla.edu)

平面上的调和性在全纯代换下也保持不变。若 $\phi:D\to G$ 是全纯函数，且 $u$ 在 $G$ 上二次连续可微，则由链式法则和柯西—黎曼方程可得

因此，只要 $u$ 是调和函数，$u\circ\phi$ 也是调和函数，即使在 $\phi'$ 为零的点也成立。当 $\phi$ 是双射保角映射时，其逆映射也全纯，因此调和函数可以双向传递。借此可以将平面边值问题转移到圆盘或半平面上：通过逆映射传递边界数据，在变换后的区域求解问题，再通过复合将解拉回。若要保证解在边界上连续取值，需要映射具有适当的边界延拓；仅有区域内部的保角性只能保证内部点之间的对应。(math.toronto.edu)

边值问题与积分表示

有界区域 $\Omega\subset\mathbb R^n$ 上的狄利克雷边值问题是：给定 $f\in C(\partial\Omega)$，求函数 $u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$，使其满足

极大值原理保证解的唯一性，但解是否存在并能在边界连续取到给定值，取决于区域的性质。对于球 $B_R(0)$，解可由 泊松核 显式表示：

其中 $\sigma_{n-1}$ 是单位球面的面积，$dS$ 是未经归一化的表面测度。这个正核的积分为 1；当 $x$ 趋近边界点时，其质量集中到该点附近，从而得到给定的连续边界值。(web.stanford.edu)

在单位圆盘上，令 $x=re^{i\theta}$，公式化为

对于连续的 $f$，该公式定义了一个调和函数，它可连续延拓到闭圆盘；此外，当 $r\uparrow1$ 时，径向边界值一致收敛到 $f$。例如，若 $f(e^{it})=\cos t$，则 $u(re^{i\theta})=r\cos\theta$，这就是笛卡尔坐标函数 $u(x,y)=x$。此处边界连续性已足够，并不要求 $f$ 可微。(math.berkeley.edu)

对于边界足够光滑的有界区域，狄利克雷 格林函数 可通过更一般的积分表示来编码区域的几何信息。采用如下符号约定：

其中 $\delta_x$ 表示单位点源。由格林恒等式，对足够光滑的调和函数 $u$，有

这里 $\nu_\xi$ 是指向外侧的单位法向量。因此，该区域的泊松核就是 $-\partial_{\nu_\xi}G_\Omega$。构造方式为 $G_\Omega(x,y)=\Phi(y-x)-h_x(y)$，其中 $\Phi$ 是 $-\Delta$ 的基本解，而 $h_x$ 是边界值为 $\Phi(\xi-x)$ 的调和函数。与普适的奇异项 $\Phi$ 不同，修正项 $h_x$ 取决于边界形状。(web.stanford.edu)

奥斯卡·佩隆于 1923 年提出的佩隆方法，无需显式核函数即可构造解。连续的 次调和函数 满足平均值不等式：它在球心处的函数值不超过其球面平均值。佩隆方法取所有满足 $v\in C(\overline\Omega)$ 且在 $\partial\Omega$ 上有 $v\le f$ 的此类比较函数的上确界。对内部球作调和替换可证明，由此得到的包络函数在 $\Omega$ 内部调和；能否在边界取到给定值则是另一个问题。点 $\zeta$ 处的屏障，是在 $\overline\Omega\setminus\{\zeta\}$ 上为正、在 $\zeta$ 处为零的连续超调和函数。屏障刻画正则边界点；在这些点上，佩隆解能取到任意连续给定数据。若一个外切球与 $\overline\Omega$ 仅在 $\zeta$ 处相交，就能提供一个屏障。与此相反，在 $0<|z|<1$ 上，若圆周上的连续边界数据为零而孤立的穿孔点处的数据为一，则不存在连续的调和延拓：有界性使该穿孔点成为可去奇点，而整个圆盘上的唯一性又迫使延拓函数为零。(math.mcgill.ca)

狄利克雷条件规定 $u$；诺伊曼条件规定其向外法向导数 $\partial_\nu u=g$。对于边界光滑的有界连通区域，由散度定理，调和性要求满足相容条件

在足够光滑且满足相容条件的数据下，诺伊曼问题有解，且解相差一个加法常数；采用 $\int_\Omega u\,dx=0$ 之类的归一化条件即可确定该常数。混合边界条件在一部分边界上规定函数值，在另一部分边界上规定法向导数。只要狄利克雷边界部分具有正的表面积，就能消除常数的不确定性；不过，边界条件类型改变的位置附近，解的正则性可能下降。(sites.math.duke.edu)

狄利克雷能量与弱调和性

对于开集 $\Omega\subset\mathbb R^n$ 上的实值函数 $u$，狄利克雷能量定义为

自然的有限能量函数空间是索伯列夫空间 $H^1(\Omega)$，其中的函数及其一阶弱导数均平方可积。对于光滑函数 $u$，考虑变分 $u+t\varphi$，其中 $\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ 是光滑且具有紧支集的测试函数。求导并应用分部积分法，可得

因此，对所有这类变分都保持驻定，等价于 $\Delta u=0$：拉普拉斯方程就是该能量对应的欧拉—拉格朗日方程。由于变分具有紧支集，边界项为零，因此这些变分不会改变预先给定的边界值。(ocw.mit.edu)

调和性不仅意味着驻定，还意味着在适当的边界条件下实现全局最小化。设 $u\in H^1(\Omega)$ 弱调和，且一个竞争函数可写为 $v=u+w$，其中 $w\in H_0^1(\Omega)$，即 $C_c^\infty(\Omega)$ 在 $H^1(\Omega)$ 中的闭包。由稠密性，弱形式恒等式可延拓到 $w$，从而得到精确分解

因此 $E[v]\geq E[u]$。在有界区域上，借助庞加莱不等式，等号成立会迫使 $w=0$，从而得到唯一性。在有界利普希茨区域上，$w\in H_0^1(\Omega)$ 的确切含义是 $u$ 与 $v$ 具有相同的索伯列夫边界迹，而不一定是逐点边界值完全相同。(ocw.mit.edu)

若 $u\in H_{\mathrm{loc}}^1(\Omega)$ 满足

则称 $u$ 弱调和。这种弱形式只要求存在一阶弱导数。还有一种不同且起初更宽泛的形式，只假设 $u\in L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega)$，并要求

后一种形式表示 $\Delta u=0$ 在分布意义下成立，但不要求梯度可积。对于属于 $H_{\mathrm{loc}}^1$ 的函数，根据弱导数的定义，这两种形式彼此等价。(wwwp2.math.uni-hamburg.de)

魏尔引理由赫尔曼·魏尔于1940年提出：任何局部可积且在分布意义下调和的函数，都与某个光滑的经典调和函数几乎处处相等。这里的限定很重要：在零测集上改变函数值不会影响积分恒等式，却可能破坏所选逐点代表的连续性。证明可通过光滑化得到：用光滑逼近恒等核与 $u$ 作卷积，得到 $u_\varepsilon$。只要卷积核的支集仍位于 $\Omega$ 内，就有 $\Delta u_\varepsilon=0$。对于径向核，平均值性质保证卷积不会改变光滑调和函数。对两个这样的卷积交换次序可知，足够小的光滑化函数在局部一致；它们在局部 $L^1$ 中收敛到 $u$，因此确定了光滑调和代表。这个结果是内部结论，不要求边界连续。(math.mcgill.ca)

变分法中的存在性要求可行类非空，并且极小化序列受到控制；仅有 $E\geq0$ 并不足够。对于任意有界开集 $\Omega$ 及给定的延拓 $g\in H^1(\Omega)$，在 $g+H_0^1(\Omega)$ 上求极小值。庞加莱不等式可用梯度控制 $u-g$ 的 $L^2$ 范数，从而得到 $H^1$ 有界性；弱紧性与能量的弱下半连续性则保证存在唯一极小化函数。其一阶变分为零，魏尔引理进而给出一个经典调和代表。采用这种仿射空间构造不需要边界光滑。利普希茨边界是通过边界迹解释条件的一种标准充分假设。任意连续边界数据未必存在 $H^1$ 延拓：甘图穆尔的讲义记载了弗里德里希·普里姆于1871年给出的圆盘上的例子，其中连续边界数据不存在有限能量延拓。(math.mcgill.ca)

调和多项式与球面展开

若 $\mathbb R^n$（$n\geq2$）上的多项式 $P$ 满足对任意 $t>0$ 都有 $P(tx)=t^\ell P(x)$，则称其为 $\ell$ 次齐次多项式；等价地说，其中每个非零单项式的总次数都是 $\ell$。若还满足 $\Delta P=0$，则称其为齐次调和多项式。将其限制在单位球面上，得到 $Y=P|_{S^{n-1}}$，称为 $\ell$ 次球谐函数；由齐次性可知 $P(r\omega)=r^\ell Y(\omega)$。常数是零次函数，坐标函数是一次函数，而 $x_1^2-x_2^2$ 和 $x_1x_2$ 是二次函数的例子。“球谐函数”通常并不意味着满足球面上的内蕴拉普拉斯方程：整个球面上的光滑内蕴调和函数都是常数，而正次数球谐函数的拉普拉斯特征值非零。(axler.net)

采用约定 $\Delta=\operatorname{div}\nabla$ 时，欧几里得拉普拉斯算子在极坐标 $x=r\omega$ 下表示为

其中 $\Delta_{S^{n-1}}$ 是球面的拉普拉斯–贝尔特拉米算子。代入 $r^\ell Y(\omega)$ 可得

因此，$\ell$ 次球谐函数满足

这些是角向特征函数；负号来自上述算子约定。(cis.upenn.edu)

不同次数的球谐函数在内积 $\langle f,g\rangle=\int_{S^{n-1}}f\overline g\,dS$ 下彼此正交：分部积分表明球面拉普拉斯算子是自伴的，而不同次数对应的特征值互不相同。对每个次数选取一组标准正交基 $Y_{\ell,j}$，其中 $1\leq j\leq d_\ell$，则任意 $f\in L^2(S^{n-1})$ 都有展开式

这里的收敛是指在 $L^2$ 范数下收敛，不一定逐点收敛。其完备性来自齐次多项式可分解为 $|x|^{2k}H_{\ell-2k}(x)$ 之和，其中每个 $H_{\ell-2k}$ 都是调和多项式；此外，多项式在球面上的限制是稠密的。(axler.net)

对于以原点为中心的球内调和函数，相应的内部展开式为

并且在球内任意紧子集上一致收敛。因此，每个次数都带有径向因子 $r^\ell$。若 $u$ 连续延拓到半径为 $R$ 的球的边界，且边界值 $f(R\omega)$ 的系数为 $c_{\ell,j}$，则 $a_{\ell,j}=R^{-\ell}c_{\ell,j}$。离开边界时，因子 $(r/R)^\ell$ 会抑制较高次数的角向项。(axler.net)

在二维情形中，角向基由 $1$、$\cos(\ell\theta)$ 和 $\sin(\ell\theta)$ 构成，因此展开式成为带径向权重的傅里叶级数：

在三维情形中，每个次数有 $2\ell+1$ 个基函数，通常记为 $Y_{\ell m}$，其中 $-\ell\leq m\leq\ell$。分离变量法给出径向解 $r^\ell$ 和 $r^{-\ell-1}$；在中心处的正则性会排除后者。在包围局域电荷分布的球体之外，若势在无穷远处趋于零，则其形式为 $r^{-\ell-1}Y_{\ell m}$ 的多极展开。零次、一次和二次项分别是单极项、偶极项和四极项，按 $r^{-1}$、$r^{-2}$ 和 $r^{-3}$ 的速度衰减。(cis.upenn.edu)

Kelvin 变换、反射与孤立奇点

对于 $n\ge2$，单位球面反演是映射 $I(x)=x/|x|^2$，其定义域为 $x\ne0$。它满足 $I(I(x))=x$ 和 $|I(x)|=|x|^{-1}$，将去心单位球与闭单位球的外部互换。若 $u$ 定义在开集 $\Omega\subset\mathbb R^n\setminus\{0\}$ 上，则其 Kelvin 变换为

当 $u\in C^2(\Omega)$ 时，经求导可得变换公式

因此，$K$ 保持调和性，且它是自身的逆变换。在二维情形，前面的因子为 $1$；在更高维中，这个因子不可或缺。例如，当 $n=3$ 时，$K[1](x)=1/|x|$，所以反演会把常数调和函数变成具有孤立奇点的函数。(matthewhr.wordpress.com)

施瓦茨反射原理通过奇反射将调和函数延拓到平直边界的另一侧。记 $x=(x',t)$，假设 $u$ 在上半球 $B_R^+=\{x:|x|<R,\ t>0\}$ 内调和，在其平直边界面上连续且取值为零。那么

在整个 $B_R$ 内调和。这些条件既不要求预先给定法向导数，也不要求函数在边界两侧事先可微：该定理保证延拓函数具有内部光滑性。零边界条件使奇延拓连续；对任意非零边界值进行奇反射则不具备这一性质。(axler.net)

若函数在 $B_R(a)\setminus\{a\}$ 上调和，并能延拓为在 $B_R(a)$ 上调和的函数，则称其在 $a$ 处的孤立奇点可去。在 $a$ 附近局部有界，即在某个去心邻域内满足 $|u(x)|\le M$，足以保证奇点可去。更一般地，在较弱的增长条件下也成立：

延拓后的函数值由 $u$ 的极限行为决定，而不是在缺失点处任意指定。(math.uni-hamburg.de)

这些特殊的增长率直接来自拉普拉斯方程的径向解。令 $u(x)=f(r)$，其中 $r=|x-a|>0$，则有

因此

当 $B\ne0$ 时，这些函数在 $a$ 之外调和，却在该点具有不可去奇点。特别是，三维中的 $1/r$ 和二维中的 $\log(1/r)$ 表明，仅在去心区域上调和，并不能保证函数可以延拓。(math.uni-hamburg.de)

以 Maxime Bôcher 命名的 博歇尔定理表明，非负性可以排除更复杂的孤立奇点。若 $u\ge0$ 在 $B_R(a)\setminus\{a\}$ 上调和，则存在常数 $c\ge0$ 和一个在整个球内调和的函数 $h$，使得

改变对数中的参考半径，只会使 $h$ 增加一个常数。当且仅当 $c=0$ 时，奇点可去；否则，尽管 $h$ 可能依赖角度，奇异部分的主导项仍是径向的。(axler.net)

边界极限与调和函数空间

设 $B=\{x\in\mathbb R^n:|x|<1\}$，其中 $n\ge2$，并令 $S=\partial B$。点 $\zeta\in S$ 处的径向极限是 $\lim_{r\uparrow1}u(r\zeta)$，它考察的是沿单一路径趋近时的极限。非切向极限则要求当 $x\to\zeta$ 且 $x$ 位于每个区域

内时，极限值都相同。这些区域排除了与球面任意接近切向的趋近方式。因此，非切向收敛蕴含径向收敛，但单有径向收敛则较弱。仅凭内部光滑性，两者都不能保证成立：边界行为还需要额外的大小或可积性假设。这一区别也适用于有界调和函数；它们几乎处处的边界值未必构成连续的边界函数。(axler.net)

设 $d\sigma$ 为归一化的曲面测度，使得 $\sigma(S)=1$。对于 $1\le p<\infty$，调和 Hardy 空间 $h^p(B)$ 由满足下式的调和函数组成：

当 $p=\infty$ 时，条件是在 $B$ 上有界，范数为 $\sup_B|u|$。与圆盘上的全纯 Hardy 空间不同，这些空间不要求函数全纯。其定义中的界控制的是一族完整的球面截面，而非单条边界趋近路径。(axler.net)

泊松积分对这些空间给出了精确刻画。对于 $1<p\le\infty$，每个 $u\in h^p(B)$ 都有唯一表示

且 $\|u\|_{h^p}=\|f\|_{L^p}$。当 $p=1$ 时，恰当的边界对象则是有限的有符号或复 Borel 测度 $\mu$：

因此，$h^1$ 函数不一定是某个可积边界函数的泊松积分。(axler.net)

具有代表性的法图型结果表明，有限测度的泊松积分几乎处处（相对于曲面测度）存在有限的非切向极限。若 $d\mu=f\,d\sigma+d\mu_s$，其中 $\mu_s$ 为奇异测度，则极限为 $f$；奇异部分不会反映在这些几乎处处的边界值中。例如，在圆盘上，点 $1$ 处的点质量产生

除了点 $1$ 外，其边界极限处处为零，尽管 $u(0)=1$，且 $u(r)=(1+r)/(1-r)$ 在该点发散。这直接说明了函数可能无法连续延拓，也说明一般的 $h^1$ 函数不能仅凭其几乎处处的边界值还原。(fac.iitg.ac.in)

调和 Bergman 空间 $b^p(B)$ 则采用体积范数 $\|u\|_{b^p}=(\int_B|u|^p\,dx)^{1/p}$。当 $p=2$ 时，它是 $L^2(B)$ 的闭子空间，因而是希尔伯特空间。由平均值性质和柯西–施瓦茨不等式可得

因此点求值算子有界。于是，$b^2(B)$ 是一个再生核希尔伯特空间：存在唯一的核截面 $R_B(x,\cdot)$，使每个函数值都可由下式再生：

该核通过内部体积积分表示求值，这不同于泊松核所用的边界积分。(library.slmath.org)

布朗运动与调和测度

从 $x$ 出发的 $\mathbb R^n$ 中标准布朗运动 $B_t$，其各坐标增量相互独立，均值为零、方差为 $t$。它的无穷小生成元为 $\tfrac12\Delta$：对于光滑且紧支撑的测试函数 $v$，

系数 $\tfrac12$ 来自方差的归一化。因此，拉普拉斯方程刻画了沿布朗运动轨迹的无穷小期望变化为零的函数。更明确地说，伊藤公式给出，只要路径仍处于区域内，

对于调和函数 $u$，漂移项为零，只剩下随机积分项。(cims.nyu.edu)

设 $D\subset\mathbb R^n$ 为一个区域，令 $\tau_D=\inf\{t\geq0:B_t\notin D\}$ 为其出界停时。若 $u$ 在 $D$ 内调和，则在 $\tau_D$ 之前，$u(B_t)$ 是局部鞅；这一结论不要求 $u$ 能延拓到边界。若要得到普通鞅，可先在某个开集 $U$ 的出界时刻 $\tau_U$ 处停下，其中 $U$ 的闭包紧含于 $D$。此时过程 $u(B_{t\wedge\tau_U})$ 有界，由可选停时定理可得

对于有界区域 $D$，若 $u\in C(\overline D)$ 且在 $D$ 内调和，则由有界性和几乎必然有限的出界时刻，可以取极限得到 $u(x)=\mathbb E_x[u(B_{\tau_D})]$。若没有有界性或适当的一致可积性，仅凭局部鞅的结论并不足以推出这一等式。(math.uchicago.edu)

对于有界的 $D$，由路径连续性可知 $B_{\tau_D}\in\partial D$ 几乎必然成立。以 $x\in D$ 为极点的调和测度是边界上的概率分布

对于有界的边界 Borel 数据 $f$，定义

即使边界不规则，这个函数在 $D$ 内仍是调和函数。事实上，将强马尔可夫性质应用于以 $x$ 为中心且包含在 $D$ 内的任意球的出界时刻，可将 $u(x)$ 表示为 $u$ 在该球出界点处的平均值。旋转不变性使得这一出界分布在球面上均匀分布，从而得到调和性的平均值刻画。(math.uchicago.edu)

调和测度按照出界概率对边界进行加权，通常并非按照表面积加权。在单位圆盘 $\mathbb D$ 中，它的密度就是泊松核：

当 $z=0$ 时，出界角度均匀分布，因此角长度为 $\alpha$ 的圆弧，其概率为 $\alpha/(2\pi)$。离开圆心后，靠近 $z$ 的边界点处密度更大。因此，通常所说的泊松积分，恰好就是按照布朗运动的出界分布对边界值取平均。(math.uchicago.edu)

边界的正则性决定了这种随机延拓能否取得给定的连续边界数据。在正则边界点 $\xi$，当起点从区域内部趋近该点时，出界分布会集中在 $\xi$ 附近：

因此，对于连续的 $f$，有 $u(x)\to f(\xi)$。以 $\xi$ 为顶点的外锥是保证正则性的一个充分几何条件。若有界区域的每个边界点都正则，则期望公式给出了狄利克雷边值问题在 $C(\overline D)$ 中的唯一解。在不正则点，函数在区域内部仍然调和，但它可能无法收敛到指定的边界值。(math.uchicago.edu)

曲空间、离散网络与计算

在 黎曼流形 $(M,g)$ 上，二次连续可微函数满足 $\Delta_g u=0$ 时称为调和函数，其中 拉普拉斯–贝尔特拉米算子内蕴地定义为 $\operatorname{div}_g\nabla_g$。在局部坐标中，