布朗运动是悬浮在液体或气体中的微小粒子所做的不规则运动，由粒子与流体中做热运动的分子相互作用引起。它也指一种数学上的随机过程，以连续路径和相互独立的高斯增量来理想化地描述这种运动。这一现象将微观热运动与可观测的扩散联系起来，而其数学模型则为描述随时间连续演化的随机性奠定了基础。物理现象与其理想化模型密切相关，但并非在所有时间尺度上都完全一致。(nobelprize.org)
历史发展
布朗运动以罗伯特·布朗的名字命名。1827年，他用显微镜观察浸在水中的美丽克拉花（Clarkia pulchella）花粉内的微小颗粒，发现这些颗粒持续进行不规则运动，随后又在来自无机材料的颗粒中发现了类似行为。他于1828年发表的报告表明，这种运动并不限于生物材料。他观察到的是微观颗粒，而不是现代化学意义上的单个分子。(jxshix.people.wm.edu)
1905年，阿尔伯特·爱因斯坦建立了定量理论，将悬浮粒子的位移与扩散及分子热运动联系起来。马里安·斯莫卢霍夫斯基也独立提出了动力学解释。他们的工作给出了可通过实验检验的预测，而非试图计算每一次单独的碰撞。让·佩兰随后检验了这些预测，为原子和分子的物理存在提供了证据，并测定了阿伏伽德罗常数。佩兰因研究物质的不连续结构，尤其是沉降平衡，获得了1926年诺贝尔物理学奖。(nobelprize.org)
物理机制
悬浮粒子不断与周围的流体分子交换动量。在处于平衡状态的均匀流体中，分子的撞击作用平均而言相互平衡，但瞬时的不平衡会产生涨落力。黏性阻力则抑制由此产生的运动。因此，即使流体没有整体流动，布朗运动仍会持续：宏观静止并不意味着微观静止。这一区别是统计力学的核心概念之一。(nobelprize.org)
对于半径为 (a) 的孤立球形粒子，斯托克斯–爱因斯坦关系为
[ D=\frac{k_{\mathrm B}T}{6\pi\eta a}, ]
其中，(D) 为平移扩散系数，(k_{\mathrm B}) 为玻尔兹曼常数，(T) 为绝对温度，(\eta) 为流体的动力黏度。这一关系以斯托克斯阻力适用为前提，包括流体可视为连续介质、雷诺数较低以及粒子表面满足无滑移条件等。在黏度固定时，温度升高会使 (D) 增大；在温度和黏度固定时，粒子越大，扩散越慢。附近的壁面会改变阻力，并可能使扩散减慢。(nobelprize.org)
位移与扩散
对于一维空间中自由、无偏的布朗运动，位移的期望值为零，但均方位移随时间线性增长：
[ \mathbb E[X(t)-X(0)]=0,\qquad \mathbb E[(X(t)-X(0))^2]=2Dt. ]
在 (d) 维空间中，各向同性扩散满足
[ \mathbb E[|\mathbf X(t)-\mathbf X(0)|^2]=2dDt. ]
因此，均方根位移按 (\sqrt{t}) 而不是按 (t) 增长。这些关系描述的是系综或位移的统计特征，并不意味着每个粒子都会移动某个规定的距离。(nobelprize.org)
对于初始时刻集中在原点的粒子，其一维概率密度函数为
[ p(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}} \exp!\left(-\frac{x^2}{4Dt}\right). ]
它满足扩散方程：
[ \frac{\partial p}{\partial t} =D\frac{\partial^2p}{\partial x^2}, ]
该方程与热方程具有相同的数学形式。布朗运动描述单个粒子的随机轨迹，扩散则描述这些轨迹的分布如何展宽。上述概率密度对应于方差为 (2Dt) 的正态分布。(echo-old.mpiwg-berlin.mpg.de)
数学模型
数学上的标准布朗运动又称维纳过程，是一个实值过程 (W_t)，其中 (t\geq0)，由以下性质定义：
- (W_0=0)。
- 其样本路径以概率1连续。
- 互不重叠的时间区间上的增量具有统计独立性。
- 对于 (0\leq s<t)，(W_t-W_s) 服从均值为零、方差为 (t-s) 的正态分布。
扩散系数 (D) 为常数的自由物理扩散过程可表示为 (X_t=X_0+\sqrt{2D},W_t)。标准过程是一种数学上的归一化形式，并不意味着所有物理粒子都具有同一个数值的扩散系数。(math.uchicago.edu)
布朗运动是一种高斯过程，其协方差为 (\mathbb E[W_sW_t]=\min(s,t))。它具有马尔可夫性质：给定当前位置后，预测其未来演化不再需要此前的轨迹信息。尽管其路径连续，却几乎必然处处不可微。因此，这种数学路径没有通常意义上的瞬时速度。它的增量是平稳的，但过程本身并不平稳，因为其方差随时间增长。(math.uchicago.edu)
动力学描述与局限
朗之万方程提供了一种互补的物理描述：
[ m\frac{dv}{dt}=-\gamma v+\xi(t), ]
其中，(m) 为粒子质量，(\gamma) 为阻力系数，(\xi(t)) 表示涨落力。与过阻尼的位置模型不同，这一方程保留了惯性。在远短于速度弛豫时间 (m/\gamma) 的时间尺度上，粒子的位移近似呈弹道运动特征；在较长的时间尺度上，则出现通常的扩散行为。因此，维纳模型是一种粗粒化近似，而不是对任意短时间间隔内运动的精确描述。(galileo.phys.virginia.edu)
布朗运动也与随机游走有关：随机游走的路径经过适当的尺度变换后，可以收敛到这一连续过程。由于布朗运动路径的不规则性，需要采用随机积分而非普通微分；维纳过程的理想化时间导数则是白噪声。空间约束、外力、粒子间相互作用以及流体的记忆效应，都要求对最简单的自由扩散模型作出修正；在解释佩兰的测量结果时，边界就已发挥了重要作用。(sia.mit.edu)