扩散是粒子通过随机运动而散布并重新分布的过程。在通常条件下的均匀介质中，扩散会产生从高浓度区域向低浓度区域的净输运，尽管单个粒子会向两个方向运动。扩散发生于气体、液体和固体中，将微观运动与宏观组成变化联系起来。扩散在物理学、化学和生物学中都很重要，尤其涉及混合、材料加工以及跨生物膜输运等过程。(ocw.mit.edu)
微观基础
原子、分子及其他粒子通过碰撞或热激活过程发生不规则运动。它们的轨迹通常可以用随机游走来描述：连续的位移不断累积，但没有优先方向。悬浮粒子可见的不规则运动称为布朗运动，是一个与扩散密切相关的例子。浓度差并不会使每个粒子都向低浓度方向运动；实际情况是，从粒子较多的区域离开的粒子数，多于从粒子较少的区域返回的粒子数。(ocw.mit.edu)
在平衡状态下，粒子仍在运动，但相反方向的输运彼此抵消，净扩散通量为零。因此，没有净输运并不意味着微观粒子静止不动。这一区别也说明了为何自扩散——粒子在化学组成均匀的物质内部的运动——可以在整体浓度分布不发生变化的情况下进行。(openstax.org)
通常所说的从高浓度向低浓度扩散，最直接适用于简单的均匀体系。更一般的描述必须考虑电、化学、热和机械驱动力。在热力学中，化学势有助于表征某一组分重新分布的趋势；在非理想体系或受到外部驱动的体系中，输运不一定仅由浓度决定。(publications.iupac.org)
菲克定律
标准的宏观描述采用菲克扩散定律。第一定律将扩散通量与浓度梯度联系起来：
[ \mathbf{J}=-D\nabla c. ]
其中，(\mathbf{J}) 是单位时间内通过单位面积的物质量，(c) 是浓度，(D) 是扩散系数，也称扩散率。负号表示输运方向与浓度增大的方向相反。扩散系数的量纲为长度的平方除以时间，通常以平方米每秒表示。(ocw.mit.edu)
将第一定律与粒子守恒相结合，可得到扩散方程，通常称为菲克第二定律：
[ \frac{\partial c}{\partial t}=D\nabla^2c. ]
这一形式假设扩散系数恒定且各向同性，不存在整体流动，也不存在源或汇。如果扩散系数随空间位置变化，相应的表达式为 (\partial c/\partial t=\nabla\cdot(D\nabla c))。初始浓度分布和边界条件决定方程的解。只要浓度差得以维持，即使各位置的浓度不再随时间变化，也可以存在稳定的扩散通量。(ocw.mit.edu)
作为一个微分方程，这一模型描述了浓度差逐渐趋于平缓的过程。其数学结构与描述热传导的方程相似，但输运的物理量和相应的物理系数不同。(ocw.mit.edu)
距离与时间尺度
对于不存在漂移的普通各向同性扩散，均方位移满足
[ \left\langle|\mathbf r(t)-\mathbf r(0)|^2\right\rangle=2dDt, ]
其中，(d) 为空间维数，尖括号表示系综平均，即期望值。在一维情况下，位移的方差为 (2Dt)。因此，特征扩散距离随经过时间的平方根增长，而不是与时间成正比。(ocw.mit.edu)
因此，扩散经过距离 (L) 所需的特征时间量级为 (L^2/D)。距离增至十倍，这一时间尺度便大约增至一百倍。这样的标度关系使扩散在微观距离上十分有效，而在较大距离上则相对缓慢。在无界的均匀介质中，起初集中于局部的脉冲会演化为正态分布，其宽度随时间增大，而总量保持守恒。(ocw.mit.edu)
扩散系数与材料结构
扩散系数取决于粒子、介质、温度以及它们之间的相互作用。对于连续介质液体中稀悬浮体系内的孤立球形粒子，斯托克斯–爱因斯坦关系给出
[ D=\frac{k_{\mathrm B}T}{6\pi\eta a}, ]
其中，(k_{\mathrm B}) 是玻尔兹曼常数，(T) 是绝对温度，(\eta) 是动力黏度，(a) 是流体动力学半径。在这些假设成立时，粒子越大、液体黏度越高，扩散系数就越小。这一关系并不是适用于所有分子和环境的通用公式。(baldwinlab.chem.ox.ac.uk)
在晶体固体中，扩散可以通过原子跃迁至空位，或在间隙位置之间跃迁来进行。这些运动需要跨越能垒，因此扩散通常会随温度升高而加快。表面和晶界可以提供不同于晶体内部的扩散路径。在解读材料加工实验时，区分这些机制十分重要。(ocw.mit.edu)
生物输运
在跨细胞膜输运中，简单扩散使适宜的小分子，包括氧气和二氧化碳，能够穿过脂质双层。易化扩散则借助通道和载体等膜蛋白质，使难以穿过脂质双层的物质得以输运。两者都是被动过程：沿相应梯度进行输运时，不需要直接消耗细胞的代谢能量。(openstax.org)
渗透作用涉及水通过选择透过性膜的运动。扩散也会使细胞内的物质重新分布。膜的通透性、可供交换的表面积以及扩散距离都会影响交换速度，因此空间几何结构对生物输运十分重要。(openstax.org)
相关输运过程与计算应用
扩散不同于流体运动造成的整体输运：流动的介质会携带粒子共同运动，而分子扩散源于粒子之间不规则的相对运动。模型可以同时包含这两种机制，以及反应或其他源和汇。在解释观测到的扩展现象时，必须辨明这些因素各自的贡献。(ocw.mit.edu)
在机器学习中，扩散模型使用概率性的扰动过程，通常是逐步向数据添加噪声，并学习反向去噪过程以生成样本。这一名称反映了它与随机扩散及非平衡热力学的联系；生成的数据并不一定经历物理意义上的分子扩散。(arxiv.org)