全有界空间 · aiwiki.page

全有界空间是指对于任意给定的正半径，都能用有限个该半径的球覆盖的度量空间。因此，它在任意精度下都存在有限近似，不过随着半径减小，所需的点数可能增加。全有界性比通常的有界性更强；它与完备性一起刻画了紧度量空间。这一概念也可以推广到一致空间。(math.hws.edu)

定义

若对于每个 $\varepsilon>0$ ，都存在有限集 $F\subseteq X$ ，使得

X=\bigcup_{a\in F}B_d(a,\varepsilon), \qquad B_d(a,\varepsilon)=\{x\in X:d(x,a)<\varepsilon\},

则称度量空间 $(X,d)$ 全有界。

这里， $B_d(a,\varepsilon)$ 是一个开球。集合 $F$ 称为有限 $\varepsilon$ -网： $X$ 中的每个点与 $F$ 中某个点的距离都小于 $\varepsilon$ 。这里的“网”指用于近似的点集，而不是以有向集为指标的广义序列。空空间也满足这一定义，只需取 $F=\varnothing$ 。(math.hws.edu)

如果子集 $A\subseteq X$ 在诱导度量下全有界，就称 $A$ 全有界。等价地，也可以允许覆盖球的球心位于 $X$ 中的任意位置。要得到球心位于 $A$ 中的覆盖，可以先用半径为 $\varepsilon/2$ 的球在环境空间中覆盖 $A$ ，去掉与 $A$ 不相交的球，再从每个剩余的球中选取一个属于 $A$ 的点。由三角不等式，便可得到以 $A$ 中的点为球心、半径为 $\varepsilon$ 的覆盖。(math.ucr.edu)

等价刻画

对于度量空间 $X$ ，全有界性等价于以下序列条件：

$X$ 中的每个序列都有一个柯西子序列。

证明正向蕴含时，先用有限个半径为 $2^{-1}$ 的球覆盖 $X$ 。其中一个球包含该序列的无穷多项。再从这些项中选出落在同一个半径为 $2^{-2}$ 的球内的无穷多项，如此继续。通过对角选取得到的子序列，其尾部的直径可以任意小，因此是柯西序列。(arechnitzer.gitlab.io)

反过来，如果空间不全有界，就存在某个 $\varepsilon>0$ ，使得任何有限个半径为 $\varepsilon$ 的球都无法覆盖 $X$ 。每次都在以先前选取的点为球心的这些球之外选取新点，便得到一个满足

d(x_n,x_m)\geq\varepsilon\qquad(n\neq m)

的序列。

这个序列的任何子序列都不可能是柯西序列。等价地，一个空间全有界，当且仅当它不存在无穷的一致分离子集：对于每个 $\varepsilon>0$ ，任何不同点之间距离均至少为 $\varepsilon$ 的子集都是有限集。(arechnitzer.gitlab.io)

有界性与例子

每个全有界度量空间都是有界的，但有界空间未必全有界。通常的有界性控制整体直径，而全有界性控制每个尺度下有多少个仍可区分的区域。(math.ucr.edu)

重要的例子包括：

有限度量空间。 每个有限空间都全有界：对于任意正数 $\varepsilon$ ，空间的所有点本身就构成一个 $\varepsilon$ -网。(leanprover-community.github.io)
欧几里得空间的子集。 在欧几里得空间 $\mathbb R^n$ 中，有界性与全有界性等价。有界集可以包含在一个立方体内，而该立方体可以划分为有限个足够小的立方体。(math.ucr.edu)
一个不完备的例子。 配备通常度量的区间 $(0,1)$ 全有界但不完备：柯西序列 $1/n$ 在该区间内没有极限。(jirka.org)
一个有界的反例。 配备离散度量的无穷集合，即不同点之间的距离为 $d(x,y)=1$ ，是有界且完备的，但不全有界。每个半径小于 $1$ 的球都只包含其球心。(jirka.org)

这一区别在无穷维函数空间中同样重要。例如，配备上确界度量的 $C([0,1],\mathbb R)$ 的闭单位球是有界的，却不全有界：其中存在无穷多个函数，它们两两之间的距离都不小于某个固定的正数。(math.ucr.edu)

紧性与完备化

基本定理是

\boxed{ X\text{ 是紧的} \iff X\text{ 完备且全有界}. }

这里，紧性指每个开覆盖都有有限子覆盖，而完备度量空间是指每个柯西序列都收敛的度量空间。由紧性，所有半径为 $\varepsilon$ 的球构成的覆盖存在有限子覆盖。反过来，全有界性保证序列有柯西子序列，而完备性保证这些子序列存在极限；由此得到序列紧性，而在度量空间中，序列紧性与紧性等价。(math.hws.edu)

因此，对于完备度量空间的子集 $A$ ，有

A\text{ 是紧的} \iff A\text{ 是闭的且全有界}.

这是海涅—博雷尔定理在一般度量空间中的对应形式。在欧几里得空间中，全有界性可以替换为有界性，但在一般度量空间中，这种替换并不成立。(jirka.org)

一个度量空间全有界，也当且仅当它的度量完备化是紧的。更一般地，一个子集全有界，当且仅当它在环境空间的完备化中的闭包是紧的。这也解释了另一个术语——预紧。使用术语时需要注意：“相对紧”通常指在现有环境空间中的闭包是紧的，而不完备空间中的全有界子集未必满足这一条件。(math.ucr.edu)

保持性质与可分性

取子集、取闭包、取有限并以及施加一致连续映射，都保持全有界性。特别地，若 $f:X\to Y$ 具有一致连续性，且 $X$ 全有界，则 $f(X)$ 也全有界： $X$ 中足够精细的有限网，经映射后会成为 $Y$ 中具有所需精度的有限网。(leanprover-community.github.io)

每个全有界度量空间都是可分空间。事实上，对每个正整数 $n$ ，选取一个有限 $1/n$ -网 $F_n$ ，则

D=\bigcup_{n=1}^{\infty}F_n

是一个可数稠密集。仅有可分性并不能推出全有界性，配备通常度量的实数直线就是一个例子。(users.math.msu.edu)

对一致结构的依赖

全有界性并非仅由拓扑学意义上的结构决定的性质。配备通常度量的实数直线与区间 $(0,1)$ 是同胚的，但只有后者全有界。不过，一致等价保持全有界性；所谓一致等价，是指映射本身及其逆映射都一致连续的双射。(math.ucr.edu)

在一致空间中，周围集 $U\subseteq X\times X$ 给出了一个一致的接近概念。若对于每个周围集 $U$ ，都存在有限集 $F\subseteq X$ ，使得

X=\bigcup_{a\in F}U[a], \qquad U[a]=\{x\in X:(a,x)\in U\},

则称该空间全有界。

对于度量空间，由 $d(a,x)<\varepsilon$ 定义的周围集给出的正是度量情形下的定义。紧性的刻画也可以推广到一致空间：紧性等价于完备性与全有界性同时成立，其中完备性需要用柯西滤子而非仅用序列来表述。(leanprover-community.github.io)

定量形式与应用

覆盖数 $N(X,d,\varepsilon)$ 是覆盖 $X$ 所需的半径为 $\varepsilon$ 的球的最少个数；若不存在有限覆盖，则其值为无穷。因此，

X\text{ 全有界} \iff N(X,d,\varepsilon)<\infty \quad\text{对每个 }\varepsilon>0.

覆盖数以及相关的度量熵概念，用于量化有限近似。全有界性只断言每个尺度下的覆盖数有限，并不对 $\varepsilon$ 趋于零时的增长速率作出具体要求。这类增长速率在几何学、概率论和泛函分析中都很重要。(arxiv.org)

在函数空间中，全有界性是阿尔泽拉—阿斯科利定理的核心要素。对于紧度量空间 $K$ ，一个等度连续且逐点有界的实值连续函数族，在上确界度量下全有界。因此，它的闭包是紧的，该函数族中的每个序列都有一个一致收敛的子序列。等度连续性提供了函数空间中单纯的有界性所无法提供的小尺度控制。(math.stonybrook.edu)

参考来源

Metric Spaces: Completenessmath.hws.edu
RA Completeness and compactnessjirka.org
Supplementary material for Chapter 2math.ucr.edu
Towards compactnessarechnitzer.gitlab.io
Mathlib.Topology.UniformSpace.Defsleanprover-community.github.io
Mathlib.Topology.UniformSpace.Cauchyleanprover-community.github.io
Metric Entropy of Homogeneous Spacesarxiv.org
MAT 533, FALL 2021, Stony Brook Universitymath.stonybrook.edu
The Arzela-Ascoli Theoremusers.math.msu.edu