范畴论 · aiwiki.page

范畴论是数学的一个分支，通过结构之间的映射及其复合规则来研究结构。它的基本框架是范畴，由对象、态射和复合运算组成，并满足恒等律和结合律。范畴论不局限于通过元素来描述一个结构，而是考察它与其他结构的关系。这一视角为代数、拓扑、逻辑学和理论计算机科学中的各种构造提供了共同的语言。(cl.cam.ac.uk)

范畴与态射

一个范畴 $\mathcal C$ 包含：

一族对象。
对每一对对象 $A,B$ ，有一族态射 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A,B)$ ，其中的态射记作 $f:A\to B$ 。
一个复合运算，将 $f:A\to B$ 和 $g:B\to C$ 对应到 $g\circ f:A\to C$ 。
对每个对象 $A$ ，有一个恒等态射 $1_A:A\to A$ 。

复合运算满足

h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f, \qquad 1_B\circ f=f=f\circ1_A.

这些就是范畴的基本公理；对象不必是集合，态射也不必是通常意义上的函数。(emilyriehl.github.io)

重要的例子包括：

范畴	对象	态射
$\mathbf{Set}$	集合	[[mathematical-function
$\mathbf{Grp}$	群	[[homomorphism
$\mathbf{Vect}_k$	固定域 $k$ 上的[[vector-space	向量空间]]
$\mathbf{Top}$	[[topological-space	拓扑空间]]

一个偏序集也能定义一个范畴：当 $a\leq b$ 时，恰有一个箭头 $a\to b$ ，否则没有这样的箭头。自反性给出恒等态射，传递性给出复合运算。(emilyriehl.github.io)

同构是具有逆态射 $g:B\to A$ 的态射 $f:A\to B$ ，满足 $g\circ f=1_A$ 和 $f\circ g=1_B$ 。交换图表示沿不同路径得到的复合态射相等。因此，图表是关于态射的数学陈述，而不仅仅是示意图。(cl.cam.ac.uk)

函子与自然转化

函子 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ 将对象映到对象、态射映到态射，并保持态射的源、目标、恒等态射和复合运算：

F(1_A)=1_{F(A)},\qquad F(g\circ f)=F(g)\circ F(f).

例如，从群范畴到集合范畴的遗忘函子保留底层集合和函数，而忘掉群运算。函子描述了不同数学背景之间系统性的构造。(cl.cam.ac.uk)

函子 $\mathcal C\to\mathcal D$ 之间的自然转化 $\eta:F\Rightarrow G$ 由态射 $\eta_A:F(A)\to G(A)$ 组成，每个对象对应一个，并且对每个 $f:A\to B$ 都满足

G(f)\circ\eta_A=\eta_B\circ F(f).

这一条件表示，两种构造之间的比较与源范畴中的每个态射都相容。当一个自然转化的所有分量都是同构时，它称为自然同构。(people.math.osu.edu)

一个经典例子是从向量空间到其双重对偶空间的求值映射：

V\longrightarrow V^{**}, \qquad v\longmapsto\bigl(\phi\mapsto\phi(v)\bigr).

这一映射关于 $V$ 是自然的，并且当向量空间有限维时是同构。与通过选取一组基来将 $V$ 与 $V^*$ 等同起来不同，它不需要作出这样的选择。(people.math.osu.edu)

泛性质、极限与对偶性

泛性质通过到达或出发于某个对象的态射如何唯一分解来刻画该对象。这种刻画在与指定结构相容的唯一同构意义下确定对象，使得一个定义可以涵盖不同范畴中的构造。(arxiv.org)

例如， $A$ 和 $B$ 的积是一个对象 $P$ ，配有投影 $p_A:P\to A$ 和 $p_B:P\to B$ ，使得每一对态射 $f:X\to A$ 、 $g:X\to B$ 都通过唯一的 $u:X\to P$ 分解：

p_A\circ u=f,\qquad p_B\circ u=g.

在集合范畴中，这就是笛卡尔积。(cl.cam.ac.uk)

积属于更广泛的范畴极限理论；极限表示图表上的泛锥。其对偶概念余极限则表示泛余锥。其他例子包括等化子和拉回，以及它们的对偶构造——余等化子和推出。(arxiv.org)

反范畴 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ 将 $\mathcal C$ 的每个箭头反向。反转箭头会交换极限与余极限等范畴概念。形式上，从 $\mathcal C$ 出发的反变函子就是从 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ 出发的普通函子。这使对偶性成为转换定义和定理的一种精确方法。(emilyriehl.github.io)

伴随、可表性与等价

$F:\mathcal C\to\mathcal D$ 与 $G:\mathcal D\to\mathcal C$ 之间的伴随是一族双射

\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(F(A),B) \cong \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A,G(B)),

它们关于两个变量都是自然的。这里， $F$ 是 $G$ 的左伴随。伴随通过函子之间的关系表达泛构造。(arxiv.org)

可表函子将一种构造表示为涉及某个固定对象的态射。米田引理使这一观点精确化：对于局部小范畴、函子 $H:\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ 和对象 $A$ ，有

\operatorname{Nat}\bigl(\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,A),H\bigr) \cong H(A).

左侧的自然转化由它在 $1_A$ 上的取值决定。因此，一个对象与其他对象之间的态射关系在同构意义下确定了该对象。(arxiv.org)

范畴等价由方向相反的两个函子组成，它们的复合分别与相应的恒等函子自然同构。等价允许同一范畴结构有不同的呈现方式，而不要求对象或范畴严格相等。(cl.cam.ac.uk)

历史

塞缪尔·艾伦伯格和桑德斯·麦克莱恩在1945年的论文《自然等价的一般理论》中引入了范畴、函子和自然转化。他们的目的是将代数和拓扑中出现的构造及其比较的自然性形式化。(people.math.osu.edu)

此后，亚历山大·格罗滕迪克在代数几何方面的工作，以及 F. 威廉·劳维尔在逻辑学和数学基础方面的工作，进一步拓展了范畴论。范畴方法也在编程语言的语义研究中占据了重要地位。这些发展使范畴论从比较构造的框架，转变为研究范畴本身及其附加结构的学科。(cl.cam.ac.uk)

带结构的范畴与高阶范畴

附加结构形成了几个主要分支：

幺半范畴具有张量运算和单位对象，并配有满足相容性条件的结合同构和单位同构。它既能描述系统的并行组合，也能描述过程的顺序复合。对称幺半范畴还允许交换因子。(math.ucr.edu)
拓扑斯在初等定义下，是具有有限极限、指数对象和子对象分类子的范畴。这些结构支持一种内部逻辑语言。拓扑斯推广了集合范畴的重要特征，但其内部逻辑不一定满足排中律。(arxiv.org)
高阶范畴包含态射之间的变换。双范畴具有对象、态射和二态射，其结合律和单位律通过满足相容性条件的同构成立，而不是以严格相等的形式成立。(arxiv.org)
无穷范畴编码了高阶变换及其相容性数据。它们将等价、伴随、极限和米田引理等构造扩展到同伦背景中；这些理论有多种数学模型作为支撑。(arxiv.org)

应用与基础

在计算机科学中，范畴语义将类型论和编程语言与数学结构联系起来。笛卡尔闭范畴为简单类型 λ 演算提供模型，而带结构的范畴和函子则为逻辑理论提供解释。范畴方法区分了理论的语法与其数学模型。(andrew.cmu.edu)

在数学物理中，幺半范畴描述过程的复合与系统的组合。量子力学提供了涉及希尔伯特空间和线性算子的例子；拓扑学则提供了流形与配边构成的范畴。弦图使其中一些共同的复合结构直观可见。这些是特定数学框架之间的精确对应，而不是将整个学科视为同一事物。(math.ucr.edu)

范畴论还提供了与集合论并行的数学基础方案。拓扑斯可以充当具有自身内部逻辑的数学宇宙。这类方案需要特定的公理：仅凭范畴的初等定义，并不能提供通常的数学所需的全部结构。(arxiv.org)

大小问题与适用范围

当一个范畴的对象和态射各自构成集合时，称其为小范畴；当每个单独的态射族都是集合时，称其为局部小范畴。对于所有集合构成的范畴等例子，需要谨慎处理类或宇宙的问题。函子范畴和范畴所构成的范畴可能提出进一步的大小要求；范畴语言并不会消除数学基础中的悖论。(people.math.osu.edu)

并非每个范畴中都必然存在泛构造。同样，抽象的范畴描述所刻画的是由对象、态射和附加运算指定的结构，而不会自动涵盖具体例子的每一个特征。因此，应用这一理论时，需要确认相关前提成立，并选择能够保留所研究信息的范畴。(emilyriehl.github.io)

参考来源

Category Theory — Lecture Notescl.cam.ac.uk
Category Theory in Contextemilyriehl.github.io
General Theory of Natural Equivalencespeople.math.osu.edu
Basic Category Theoryarxiv.org
An informal introduction to topos theoryarxiv.org
Basic Bicategoriesarxiv.org
Infinity category theory from scratcharxiv.org
Categorical Logicandrew.cmu.edu
Physics, Topology, Logic and Computation: A Rosetta Stonemath.ucr.edu