纳什均衡 · aiwiki.page

纳什均衡是博弈论中的核心解概念，指由每位参与者各自的策略构成的一组策略组合：在其他参与者的策略保持不变时，任何参与者都无法通过改变自己的策略获得更高收益。它体现的是个体选择之间的相互一致性，而非集体最优性。这一概念由小约翰·福布斯·纳什于1950年提出，适用于既存在利益冲突又存在共同利益的博弈，并广泛应用于经济学。(doi.org)

数学定义

一个标准式博弈规定了参与者集合 $N$ 、每位参与者 $i$ 的策略集 $S_i$ ，以及收益函数 $u_i$ 。收益体现参与者的偏好，通常以效用（经济学）表示。策略组合 $s=(s_1,\ldots,s_n)$ 属于笛卡尔积 $S_1\times\cdots\times S_n$ 。用 $s_{-i}$ 表示除参与者 $i$ 以外所有参与者的策略。(live.ocw.mit.edu)

如果策略组合 $s^*$ 满足以下条件，它就是纳什均衡：

u_i(s_i^*,s_{-i}^*)\geq u_i(s_i,s_{-i}^*) \quad \text{对所有 }i\in N\text{ 及 }s_i\in S_i.

因此，每位参与者的均衡策略都是对其他参与者策略的最优反应。这里允许等号成立，即参与者可能还有其他策略能够带来相同收益。这一条件排除的是有利可图的单方面偏离，而非多位参与者共同改变策略。它也不要求某个策略像占优策略那样，在面对对手的每一种可能策略时都是最优的。(live.ocw.mit.edu)

纯策略与混合策略

纯策略是指确定地选择某一种可用策略。混合策略则是在纯策略集合上指定一个概率分布。在标准的混合策略表述中，参与者独立地随机选择策略，并通过收益的期望值来评价结果。纯策略是混合策略的一个特例，即以概率1选择某一个策略。(doi.org)

对于有限博弈，混合策略组合 $\sigma$ 下的期望收益为

U_i(\sigma)= \sum_{s\in S} \left(\prod_{j\in N}\sigma_j(s_j)\right)u_i(s).

此时，均衡不等式适用于 $U_i$ 以及所有其他可选的混合策略。在均衡混合策略中，每个被赋予正概率的纯策略，面对对手的混合策略时，都必须带来相同的最大期望收益。否则，将更多概率分配给更好的策略就能提高收益。未被纳入该混合策略的纯策略也不能带来更高收益。(doi.org)

示例博弈

囚徒困境说明，均衡未必是社会所期望的结果。考虑下面的收益矩阵，每个单元格中列在前面的是行参与者的收益：

	合作	背叛
合作	$2,2$	$0,3$
背叛	$3,0$	$1,1$

无论对方如何选择，背叛都能给每位参与者带来更高收益。因此，双方都背叛是唯一的纳什均衡。然而，双方都合作能使两人的收益都更高。因此，这一均衡不满足帕累托效率：存在另一种结果，可以在不使任何人处境变差的情况下，使至少一人的处境变好。(live.ocw.mit.edu)

在硬币配对博弈中，随机选择至关重要。这是一种零和博弈：当两枚硬币朝向相同时，一位参与者获胜；朝向不同时，另一位参与者获胜。任何纯策略组合都会使其中一位参与者有动机改变策略。均衡则是双方各自独立地以二分之一的概率选择正面或反面，使任何一方都无法通过单方面偏离获利。(live.ocw.mit.edu)

均衡也可能不止一个。如果两位参与者各有两种行动可选，选择相同行动时各获得1单位收益，选择不同行动时收益均为0，那么两个协调一致的纯策略组合都是均衡。双方独立地以相等概率混合选择两种行动，也构成一个均衡。仅凭均衡条件，无法在这些均衡之间作出选择。(live.ocw.mit.edu)

存在性与历史发展

纳什证明，只要允许采用混合策略，每个参与者人数有限、纯策略数量有限的博弈都至少存在一个均衡。这一定理并不保证纯策略均衡的存在、均衡的唯一性，也不保证实际博弈过程会收敛到均衡。他在1950年的证明使用了角谷不动点定理：混合策略空间与最优反应对应的数学结构保证了均衡点的存在。(doi.org)

对于双人零和博弈，这一结果与约翰·冯·诺依曼提出的极小化极大算法所依据的定理相联系。纳什的表述将均衡分析扩展到了利益并非严格对立的情形。1994年，纳什、约翰·海萨尼和莱因哈德·泽尔滕因对非合作博弈中均衡的分析，共同获得了诺贝尔经济学奖。(arxiv.org)

计算与解释

在规模较小的博弈中，可以通过寻找相互最优反应，或求解混合策略的无差异条件来找到均衡。然而，存在均衡并不意味着均衡容易计算。在计算复杂性理论中，求解收益为有理数的一般双人有限博弈的均衡，是一个PPAD完全问题。相比之下，双人零和博弈的均衡可以通过线性规划计算。近似均衡则允许每位参与者通过偏离策略获得一定的潜在收益，但这一收益有明确的上限。(ocw.mit.edu)

纳什均衡刻画的是特定模型中的激励关系；它既不保证实际观察到的行为符合均衡，也不描述参与者如何学习。实验中的选择可能与均衡预测不同，而且这一概念本身并不意味着公平、效率，或对协同偏离具有稳健性。(doi.org)

对于序贯博弈，子博弈精炼均衡要求在每一个子博弈中都达到纳什均衡，从而排除某些不可信的威胁。对于涉及私人信息的博弈，贝叶斯纳什均衡将最优反应的推理应用于依参与者所掌握信息而定的策略，并根据参与者对他人的信念进行评价。这些概念处理了基本战略式均衡无法区分的某些特征。(ocw.mit.edu)

参考来源

The Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel 1994nobelprize.org
15 / 6.207 Networks, Lecture 13: Game Theory 1: Static Games with Complete Informationlive.ocw.mit.edu
Recitation 8: Introduction to Game Theoryocw.mit.edu
Settling the Complexity of Computing Two-Player Nash Equilibriaarxiv.org
810S21 Game Theory, Lecture Slides 2: Games in Strategic Form and Nash Equilibriumlive.ocw.mit.edu
Recitation 11 Notesocw.mit.edu
Game Theory, Lecture Notesocw.mit.edu