帕累托效率

帕累托效率是经济学中描述资源配置的一种状态：不存在其他可行配置，能在不使任何人境况变差的前提下，使至少一人的境况变好。它也称为帕累托最优，是福利经济学的核心概念。这一概念以意大利经济学家、社会学家维尔弗雷多·帕累托的名字命名，用于判断是否仍有可能作出互利的改变，而非判断某种配置是否公平或平等。(books.core-econ.org)

定义与形式化表述

帕累托改进是指对配置作出改变，使至少一人严格偏好新结果，而其他每个人也都偏好新结果，或认为新旧结果无差别。此时，新配置帕累托支配原配置。当且仅当不存在任何可行配置能够支配某一配置时，该配置才是有效率的。“境况变好”取决于个人的偏好，并不一定意味着获得更多物品或货币。(books.core-econ.org)

形式上，设 $X$ 为配置的可行集，$u_i(x)$ 为表示个人 $i$ 对配置 $x$ 的偏好的效用函数。如果不存在 $y\in X$ 满足

并且至少对一人严格不等式成立，那么配置 $x^*\in X$ 就具有帕累托效率。这是向量优化中非支配条件在最大化问题中的对应形式。它比较的是每个人所面对的不同方案，无须对不同人的效用进行数值上的比较。(web.stanford.edu)

这一标准无法对任意两个配置排出优劣。如果一人偏好 $x$，另一人偏好 $y$，那么两种配置未必存在支配关系。因此，一个经济体可以有许多有效率的配置，而这些配置中的资源分配可能截然不同。(books.core-econ.org)

示例与效率前沿

假设将十个单位的某种物品分配给两个人，每个单位都相同且可以分割，两人也都始终偏好多于少。只要将这十个单位全部分配出去，任何配置都具有帕累托效率：增加一人的份额，必然减少另一人的份额。这既包括平均分配，也包括将全部物品分给一人。如果有一个单位未被分配，而且可以将其给予某人而不让任何其他人承担成本，那么该配置就是无效率的。这个例子说明，仅凭效率并不能判定公平与否。(books.core-econ.org)

当存在多种物品时，即使所有物品都已分配完毕，仍可能存在互利的贸易机会。在标准的两人交换模型中，埃奇沃思盒状图表示两种数量固定的物品在两人之间的所有分配方式。其中的契约曲线由有效率的配置组成。在偏好光滑且凸的条件下，内部的有效率配置通常出现在两人的无差异曲线相切之处，这表明互利交换的机会已被充分利用。(ocw.mit.edu)

在效用空间中，有效率的结果构成帕累托前沿：从一个有效率的点出发，若要进一步改善一人的福利，就必须降低另一人的福利。该前沿是一组不被支配的可行结果，不一定是唯一的最优结果。(web.stanford.edu)

竞争市场与福利定理

福利经济学基本定理将效率与竞争性配置联系起来。第一定理指出，在其假设成立时，竞争均衡具有帕累托效率。在这一基准模型中，作为价格接受者的消费者和生产者根据同一组价格作出决策，市场均衡使所有可获得的交换收益得以实现。这是一项有条件的理论结论，并不意味着每一个现实中的市场都能产生有效率的结果。(ocw.mit.edu)

第二定理讨论如何通过分散决策实现有效率的配置。在适当的凸性假设和其他正则性假设下，经过恰当的初始财富再分配后，有效率的配置可以通过竞争性价格得到支持。该定理将选择分配格局与利用价格协调配置区分开来。其中，采用一次总付式再分配这一点十分重要：改变边际激励的税收未必能保持同样的效率性质。(ocw.mit.edu)

偏离竞争基准的情形可能损害效率。市场势力违背了价格接受者的假设，而外部性则意味着某项交换会影响交易双方之外的人。福利核算必须将这些受影响者纳入考虑；否则，买卖双方看似获得的收益可能掩盖其他人的损失。这些局限是市场失灵分析的核心内容。(books.core-econ.org)

效率、分配与补偿

帕累托效率本身并未提供独立的标准，用于判断何种程度的收入不平等可以接受。有效率的配置可能将几乎所有收益都分给一方。反过来，一项再分配即使符合其他分配原则，只要它在改善较贫困者福利的同时降低了较富裕者的福利，就不是帕累托改进。因此，效率问题与收入应当如何分配的判断仍是两个不同的问题。(books.core-econ.org)

卡尔多—希克斯标准放宽了“实际上无人受损”的要求。如果一项改变的受益者原则上能够补偿受损者，并在补偿后仍保有净收益，那么该改变就通过了补偿检验。补偿不一定实际发生。因此，潜在的帕累托改进不同于实际的帕累托改进：如果受损者未获得补偿，就不能将其归为后者。(en.wikipedia.org)

策略互动与优化

在博弈论中，帕累托效率用于评价结果，而纳什均衡关注的是是否有任何参与者能够通过单方面改变策略而获益。这是两种不同的性质。在囚徒困境中，各自最优的应对策略可能产生一个被双方合作结果帕累托支配的均衡。(sites.santafe.edu)

这一概念也适用于多目标优化。当需要最小化多个目标函数时，如果不存在任何可行替代方案，能够在不提高任何其他目标值的情况下，降低至少一个目标值，那么该解就是帕累托最优解。如果全局最小值存在，以严格为正的权重构造加权和并将其最小化，就能得到帕累托最优解。改变权重可以探索不同的权衡方式，但在非凸问题中，加权和方法未必能找出所有有效率的解。(see.stanford.edu)