熵是热力学中表征平衡态并约束物理过程方向的量。其统计解释将宏观性质与相容微观状态的数目及概率联系起来。与之相关的概念——信息熵——衡量概率分布中的不确定性。这些定义具有共同的数学结构，但热力学熵具有物理单位，并针对特定的物理系统；信息熵则描述统计信源或模型。(goldbook.iupac.org)
热力学定义
热力学熵通常记作 (S)，是一种状态函数：其变化仅取决于初始和最终的平衡态，而与连接这两个状态的路径无关。对于无穷小的可逆过程，
[ dS=\frac{\delta Q_{\mathrm{rev}}}{T}, ]
其中，(\delta Q_{\mathrm{rev}}) 是传入系统的热量，(T) 是绝对温度。符号 (\delta) 用于区分依赖路径的热量传递与全微分 (dS)。对于有限变化，即使实际过程不可逆，也要沿一条可逆路径对该表达式积分。(goldbook.iupac.org)
熵的国际单位制单位是焦耳每开尔文，记作 (\mathrm{J,K^{-1}})。熵通常是广延量：在强度性质不变的条件下，将均匀物质的量按比例增减，其熵也会按相同比例变化。熵不是能量，但熵与温度的乘积具有能量的单位。热量和功本身都不是储存在系统中的状态属性。(goldbook.iupac.org)
第二定律与不可逆性
热力学第二定律指出，在宏观过程中，孤立热力学系统的熵不会减小：
[ \Delta S_{\mathrm{isolated}}\geq 0. ]
可逆过程满足等号；不可逆过程则会产生熵。例如，摩擦、自由膨胀以及存在有限温差时的热传递都会产生熵。对于受固定约束的孤立系统，稳定的热力学平衡对应于熵最大值。(ocw.mit.edu)
与周围环境交换热量或物质的系统，其自身的熵可以减小。第二定律适用于系统与环境合在一起的熵收支，而不是分别适用于其中的每个部分。例如，冰箱通过消耗功，从低温区域移出热量，并向其他地方释放热量。因此，局部降温并不意味着总熵减小。(ocw.mit.edu)
熵也限制了热机的性能。在绝对温度为 (T_h>T_c>0) 的两个热库之间循环工作的热机，其效率不超过
[ \eta_{\max}=1-\frac{T_c}{T_h}. ]
这一可逆极限对应于卡诺循环；熵的产生会降低实际可达到的效率。(ocw.mit.edu)
统计解释
在统计力学中，宏观态规定整体性质，而微观态规定微观细节。对于具有 (\Omega) 个等概率可达微观态的平衡态描述，玻尔兹曼公式为
[ S=k_{\mathrm B}\ln\Omega, ]
其中，(k_{\mathrm B}) 是玻尔兹曼常数。相容微观排列的数目增加时，熵按对数关系增大。采用对数，使彼此独立、数目相乘的微观状态组合对应于相加的熵。(goldbook.iupac.org)
对于概率为 (p_i) 的离散微观态，吉布斯表达式为
[ S=-k_{\mathrm B}\sum_i p_i\ln p_i. ]
当 (p_i=1/\Omega) 时，该式化为玻尔兹曼公式。所采用的概率分布取决于物理约束和统计描述。将熵称为“无序度”只是一种便于记忆的说法，而不是定量定义：计算熵需要明确状态、概率和约束，而不能凭视觉外观判断。(ocw.mit.edu)
绝对熵与化学过程
热力学第三定律为绝对熵提供了基准：具有唯一基态的完全有序晶体，其熵在温度趋近绝对零度时趋近于零。有了这一基准，就可以通过热学测量确定绝对熵，而不只是确定熵的差值。(goldbook.iupac.org)
在化学中，熵是判断变化能否自发发生的因素之一。在温度恒定时，
[ \Delta G=\Delta H-T\Delta S, ]
其中，(G) 为吉布斯自由能，(H) 为焓。对于温度和压力恒定、且只涉及压力—体积功的封闭系统，自发变化会使 (G) 减小。因此，即使系统的熵减小，只要焓变能够起到补偿作用，过程在热力学上仍可能有利。这些判据决定的是过程在热力学上是否有利，而不是反应速度；后者属于化学动力学的范畴。(ocw.mit.edu)
信息论中的熵
克劳德·香农在其1948年的论文《通信的数学理论》中，将熵引入信息论。对于离散随机变量 (X)，
[ H(X)=-\sum_x p(x)\log_2p(x), ]
其中规定 (0\log_2 0) 为零。采用以二为底的对数时，熵的单位为比特。两个等概率结果构成的二元试验，其熵为一比特；结果确定时，熵为零。在具有 (n) 种可能结果的所有分布中，均匀分布的熵最大，为 (\log_2n)。(people.math.harvard.edu)
香农熵决定了无损数据压缩的基本极限。它衡量的是统计不确定性，而不是消息的含义或实用价值。尽管其公式与吉布斯熵相似，但任意一个符号概率分布并不会自动成为热力学系统；在缺乏适当物理解释的情况下，也不能将比特等同于焦耳每开尔文。(people.math.harvard.edu)
量子熵
在量子力学中，对应的量是冯·诺伊曼熵。对于密度矩阵 (\rho)，采用热力学归一化时，其表达式为
[ S=-k_{\mathrm B}\operatorname{Tr}(\rho\ln\rho). ]
纯态的冯·诺伊曼熵为零。然而，由于量子纠缠，整体处于纯态的系统，其子系统的熵可以大于零。对于两部分组成的纯态，任一部分的约化密度矩阵的熵都可量化其纠缠程度；因此，子系统的熵不一定表示对整体状态的经典不确定性。(lancaster.ac.uk)