莱昂哈德·欧拉 · aiwiki.page

莱昂哈德·欧拉（1707年4月15日—1783年9月18日）是瑞士数学家与物理学家，他的研究为现代数学确立了基本方法和语言体系。他在巴塞尔接受教育，师从约翰·伯努利，其学术生涯主要在圣彼得堡和柏林的科学院度过。其研究涉猎纯数学、力学、天文学以及应用科学等诸多领域。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

欧拉将函数确立为数学分析的核心概念，并对无穷级数、指数函数和微积分学做出了深远的研究与阐述。他对柯尼斯堡七桥问题的解答成为图论的开创性贡献，而他对运动问题的解析处理则深刻重塑了经典力学。他浩瀚的著作、书信与教材将这些方法传播至18世纪的整个科学界，至今仍是数学史研究的重要文献。(scholarlycommons.pacific.edu)

早年生活与在巴塞尔的求学经历

莱昂哈德·欧拉于1707年4月15日出生于巴塞尔，父亲保罗·欧拉（Paul Euler）是一位新教牧师，母亲玛格丽特·布鲁克（Margarete Brucker）也是牧师之女。1708年，全家迁往附近的里恩，他的童年便在此度过。保罗曾在巴塞尔大学听过雅各布·伯努利的数学讲座，并亲自为儿子进行了最初的数学启蒙。随后，欧拉寄宿在外祖母家，在巴塞尔上学。他的数学教育主要依赖课外学习：他自主研读数学书籍，并接受了约翰·布尔克哈特（Johann Burckhardt）的私人辅导。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

1720年秋，年仅十三岁的欧拉进入巴塞尔大学文学院，在进入专业领域深造前接受通识教育。在那里，他得到了该校数学教授约翰·伯努利的指导。伯努利虽谢绝提供定期的私人授课，但推荐了高深的数学书籍供其自学，并允许欧拉每周前来向他请教疑难问题。这种安排将持续的自主阅读与针对特定难点的答疑结合在一起，而非单独开设课程教学。1723年，欧拉获得哲学硕士学位；其学术论文对勒内·笛卡尔与艾萨克·牛顿的哲学思想进行了比较。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

顺应父亲希望他从事实职的意愿，欧拉于1723年秋开始研读神学，并修读了希腊语和希伯来语。然而，数学逐渐占据了他的主要精力，取代了这些学科。在伯努利的帮助劝说下，保罗·欧拉最终同意儿子以数学为业；1726年，欧拉完成了在巴塞尔的学业。他的阅读范围由初等数学扩展到牛顿、笛卡尔、雅各布·伯努利、布鲁克·泰勒、约翰·沃利斯等学者的著作，为他在纯粹数学与力学领域开展研究做好了准备。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

欧拉的第一篇学术成果于1726年刊登在《学者学报》（Acta eruditorum）上，题为《论任意阻尼介质中的等时曲线构造》（Constructio linearum isochronarum in medio quocunque resistente），探讨了阻力介质中的等时曲线问题。第二篇期刊论文《代数倒易轨迹的求法》（Methodus inveniendi traiectorias reciprocas algebraicas）于1727年发表，讨论了代数倒易轨迹。同年，他还发表了关于声音的学术论文《声音物理学论》（Dissertatio physica de sono），以此申请巴塞尔大学空缺的物理学教授职位。尽管有伯努利的推荐，年仅十九岁的欧拉仍未能进入最终通过抽签决定任命的候选名单。(scholarlycommons.pacific.edu)

欧拉还参加了法国科学院举办的1727年度有奖竞赛，该竞赛要求设计船桅的最佳配置方案，包括桅杆的数量、位置和高度。皮埃尔·布格（Pierre Bouguer）赢得了一等奖，欧拉则获得了二等奖（accessit，即正式的嘉奖荣誉）。他的参赛论文《论航海问题的沉思》（Meditationes super problemate nautico）于1728年出版。这项竞赛让他在巴塞尔尚未谋得教职前便赢得了国际声誉；求职受挫后，欧拉于1727年4月5日离开巴塞尔，前往圣彼得堡应邀任职。(boris-portal.unibe.ch)

在圣彼得堡与柏林的学术生涯

经由伯努利家族引荐，欧拉于1727年加入圣彼得堡科学院。他最初在1726年收到的聘书涉及生理学及其数学应用，但在丹尼尔·伯努利和雅各布·赫尔曼的协助下，他最终进入了科学院的数理学部。欧拉与丹尼尔合住，两人对应用数学与力学的共同兴趣为彼此的研究提供了合作契机。欧拉于1730年出任物理学教授；1733年丹尼尔返回巴塞尔后，他又接替后者担任高级数学教授席位。这些任命奠定了他在此类领受薪资的科学院（而非大学教席）展开学术生涯的格局。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

当时的俄罗斯科学院兼具研究、教学、出版及政府咨政等多项职能。欧拉自1733年起与天文学家约瑟夫-尼古拉·德利尔合作开展制图工作，考察技术仪器，并为科学院下属学校编写算术教材。科学院的学术会刊成为他发表研究的常规平台：到1741年离开前，他已撰写了约八十至九十篇论著，并出版了五十五部，其中包括《力学》。克里斯蒂安·哥德巴赫成为欧拉的另一位重要同僚，两人时常讨论数论与分析学中的前沿问题。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

俄国政局的不稳促使欧拉在1741年接受了腓特烈二世的邀请前往柏林。1744年重组后的柏林科学院正式成立，欧拉担任其数学部主任。除学术研究外，他还承担了诸多行政与实用职责：监督天文台与植物园的运转，参与人事任命与财务管理，并主持编制历书与地图，这些刊物的销售收入成为科学院的主要经费来源。来自王室的委托任务还包括在1749年勘测菲诺运河的水位，以及监督无忧宫的泵水与管道系统。此外，他还就彩票、保险、年金与抚恤金制度向王室建言献策。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

在柏林的二十五年间，欧拉始终与圣彼得堡保持着密切的机构联系。作为领取俄方年金的回报，他为圣彼得堡代购图书与仪器，评审学术成果，指导俄国留学生，并不间断地向其提供论文手稿。俄罗斯科学院出资资助了他多部重要专著的出版，包括他的航海学专著以及《微分学原理》。在柏林期间，他长期代行科学院院长皮埃尔-路易·莫罗·德·莫佩尔蒂的职责；1759年莫佩尔蒂去世后，欧拉在未获正式院长头衔的情况下继续主持院务。1763年腓特烈二世试图延揽让·勒朗·达朗贝尔接任院长，随后在1765至1766年间又爆发了财务管理方面的纷争，这些事件最终促使欧拉决意离职。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

在叶卡捷琳娜二世在位期间，俄方经交涉为欧拉重返圣彼得堡开出了优渥的条件。据欧拉的合作者兼传记作者尼古拉斯·福斯记载，女皇赐予他8,000卢布以安顿新居。科学院为他学术生涯的最后阶段配备了合作人员，并提供了坚实的出版保障。1769年至1771年间，科学院出版社相继印行了他的三卷本光学专著《屈光学》，以及关于积分学、代数学和月球运动理论的多部论著。即便欧拉视力不断恶化，这种来自机构的鼎力支持仍确保了他一系列鸿篇巨制的顺利编纂与刊行。(etc.usf.edu)

家庭、失明与合作研究生活

1734年1月7日，欧拉在圣彼得堡与瑞士画家格奥尔格·格塞尔（Georg Gsell）的女儿卡塔琳娜·格塞尔（Katharina Gsell）结婚。他们育有十三名子女，其中五人（三子二女）活过了幼年期。家人后来成为他科研工作的重要助手，尤其是他的长子约翰·阿尔布雷希特（Johann Albrecht）。卡塔琳娜于1773年11月逝世；1776年，欧拉迎娶了她的同父异母妹妹萨洛梅·阿比盖尔·格塞尔（Salome Abigail Gsell）。欧拉的宗教信仰始终根植于新教。除了早年的神学研习外，他在1747年发表的一篇驳斥自由思想家、捍卫神圣启示的文章也印证了这一虔诚态度。与他关系密切的尼古劳斯·福斯（Nicolaus Fuss）在悼词中也记述了他定期履行基督教宗教仪轨的习惯。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

他的失明并非源于某次明确的单一意外，而是历经数十年逐渐加重的过程。欧拉曾在1735年患上一场重病发烧，但他在自传中将视力恶化的开端定在1738年，并归因于繁重艰巨的地图绘制工作。到1740年，他自述已经有一只眼睛失明，并担忧另一只眼睛也会丧失视力。这些记载并未给出确切的医学病因，后来将眼疾直接归结于高烧或过度劳累的说法仍属于推测。1766年重返俄罗斯后，由于仅存的一只眼睛患上白内障，他几乎完全失明。1771年的一次手术曾短暂恢复了他的视力，但好转仅维持了短短几天。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

同年，一场大火烧毁了欧拉的住宅和大部分家产，不过他的数学手稿得以幸免于难。这次变故对他打击尤为沉重，因为此前他熟悉家中的陈设布局，即便失明也能自如行动。据福斯记载，叶卡捷琳娜二世随后向他提供了6000卢布的救济资助。双目失明改变了欧拉撰写著作的实际方式：他开始依靠心算、记忆中的研究成果、口述表达，以及能够代他读写的助手的帮助。一个极具代表性的例子是，他曾将《代数学基础》（Elements of Algebra）口授给一名原先学过裁缝、缺乏数学专业知识的仆人记录。(etc.usf.edu)

在开展高深研究时，助手的作用远不止记录口述。约翰·阿尔布雷希特·欧拉、安德斯·约翰·莱克塞尔（Anders Johan Lexell）以及沃尔夫冈·路德维希·克拉夫特（Wolfgang Ludwig Krafft）与他深入探讨研究课题、推进推演计算、编制数表并提供实例。1772年出版的长达775页的月球运动专著《月球运动理论》（Theoria motuum lunae）扉页上，明确致谢了他们的贡献。尼古劳斯·福斯也成了另一位核心合作者：据福斯自己统计，在协助欧拉的七年间，他整理了大约250篇论文以供发表。这种合作模式将欧拉的学术指导与卓越记忆力，与其他学者持续不断的数学计算和编校工作紧密结合在一起；欧拉晚期的著述绝非仅仅是他一人在脑海中孤独心算的产物。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

直到生命的最后一天，欧拉仍在坚持教学和探讨科学问题。1783年9月18日，他给一位孙辈上了一堂数学课，在黑板上计算了热气球的运动，并与莱克塞尔和福斯讨论了新发现的天王星。当天下午，他突发脑溢血，陷入昏迷，当晚在圣彼得堡逝世。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

函数、记号与分析学的体系化

欧拉的《无穷分析引论》（Introductio in analysin infinitorum，1748年）将分析学建立在以函数为核心的体系之上，而非围绕几何曲线或微积分运算的步骤展开。该书第一卷论述了代数函数与超越函数、函数的变换以及函数的无穷级数展开；第二卷则展开了曲线与曲面的解析研究。这种编排方式使函数的性质成为微积分的基础，而不再仅仅是求解微积分问题时所采用的技巧汇编。由此，指数、对数和三角函数得以在统一的解析框架下进行考察。(scholarlycommons.pacific.edu)

在《无穷分析引论》开篇，欧拉将函数界定为由变量与常量构成的解析表达式。他的分类将通过代数运算构成的代数函数，与需要其他运算构成的超越函数区分开来。此处的“解析表达式”不应与现代数学中“解析函数”的技术概念相混淆。他的定义也并非后来的集合论定义——即将指定定义域中的每一个元素精确对应到指定陪域中的唯一样本的映射。欧拉的处理涵盖了隐式关系和多值表达式，他对连续函数与不连续函数的术语界定也与后来基于极限的现代定义不同。他的观念也在不断发展：在《微分学原理》（Institutiones calculi differentialis，1755年）中，他通过一个变量对另一个变量的依赖关系，对函数作出了更为宽泛的描述。(sciencedirect.com)

欧拉引入的数学记号促进了这一体系的实用化，但记号的初创与普及需分别归功。他在1734年撰写、1740年出版的《关于同类无穷多曲线论文的附录》（Additamentum ad dissertationem de infinitis curvis eiusdem generis）中使用了 $f(x)$ ；其带括号的自变量形式允许整个表达式而不仅是单个变量充当输入项。字母 $e$ 作为自然对数的底，最早出现在他1731年11月25日致克里斯蒂安·哥德巴赫的信中，并于《力学》（Mechanica，1736年）中首次见于刊本。欧拉引入的是这个极具影响力的符号，而非该常数本身。相比之下，威廉·琼斯早在1706年就已使用 $\pi$ 表示圆周率；而欧拉的广泛使用（尤其是在《无穷分析引论》中）帮助确立了这一通用惯例。(scholarlycommons.pacific.edu)

《无穷分析引论》将指数函数与对数视为互相关联的运算：若 $y=a^x$ ，则 $x$ 是以 $a$ 为底 $y$ 的对数。欧拉给出了这些函数的级数展开式，并强调了特殊的底数 $e$ ，其自然对数为 $1$ 。用现代记号表示，他的指数函数展开式为

e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots.

这类表示使得函数可以通过代数手段进行处理和比较，而无需为每一种函数单独进行几何作图。他最初的论证使用了无穷小量和无穷大量；因此，其历史形态应当与后来采用严格表述的收敛性和极限概念的证明区分开来。(scholarlycommons.pacific.edu)

第八章将三角函数与复数的指数联系起来。用现代记号表示（其中 $i^2=-1$ ， $x$ 以弧度衡量），这一关系为

e^{ix}=\cos x+i\sin x.

指数、余弦和正弦的幂级数展开直接展示了这种联系： $ix$ 的偶次幂项产生余弦项，而奇次幂项则产生 $i$ 乘以正弦项。由此还可得出

\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}, \qquad \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}.

令 $x=\pi$ （此时 $\cos\pi=-1$ ， $\sin\pi=0$ ），便可得到特例 $e^{i\pi}+1=0$ ，即现今所称的欧拉恒等式。这一普适公式在圆函数与指数函数之间建立了可运算的联系，使得涉及其中一类函数的恒等式能够借由另一类函数得以表达。(arxiv.org)

无穷级数、无穷乘积与特殊函数

欧拉于 1735 年解决了巴塞尔问题，得出

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.

他的论证将无穷级数与正弦函数的零点联系起来。他将正弦函数的展开式类比为因式分解为各根乘积的多项式，从而得到了无穷乘积

\frac{\sin x}{x} =\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right).

将其与幂级数 $1-x^2/6+x^4/120-\cdots$ 对比，即可确定 $x^2$ 的系数既为 $-1/6$ ，也等于 $-\sum_{n\geq1}1/(n^2\pi^2)$ 。这种做法是对有限代数方法的富有成效的推广，而非符合后世严格标准的无穷因式分解证明。他在 1735 年撰写并于 1740 年发表的论文《论倒数级数的和》（De summis serierum reciprocarum）中，还求出了更高阶偶数次幂反比和，包括 $\sum n^{-4}=\pi^4/90$ 和 $\sum n^{-6}=\pi^6/945$ 。1748 年出版的《无穷分析引论》（Introductio in analysin infinitorum）则将计算结果一直列到了二十六次幂。(scholarlycommons.pacific.edu)

无穷乘积与连分数在欧拉的分析学中是紧密交织的工具，而不仅是展示数字的替代形式。乘积使得零点可用于系数比较；级数与连分数之间的转换则提供了逐次有理逼近。在《无穷分析引论》中，他给出了 $e$ 和 $\sqrt e$ 的展开式，包括习惯上写作如下形式的正则连分数：

e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\ldots].

这里分号后面的项构成了嵌套的分母，而重复出现的块 $1,2k,1$ 则在无理数内部展现出简洁的规律。截断该连分数即可得到有理渐近分数，提供了一种不同于指数函数幂级数的计算表达形式。(scholarlycommons.pacific.edu)

欧拉对阶乘数列插值问题的研究引出了伽马函数。在 1729 年撰写并于 1738 年发表的一篇论文中，他用积分表示了这一插值函数。用现代符号表示为：

\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\,dt \qquad(x>0).

它满足 $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$ ，因此对于非负整数 $n$ 有 $\Gamma(n+1)=n!$ 。相关的研究还涉及贝塔函数，对于正数 $a,b$ ，其现代形式为

B(a,b)=\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt =\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.

这些公式将阶乘的计算推广到了非整数自变量，并通过函数恒等式将表面上不同的定积分联系了起来。这里的记号采用的是现代表示法，而非欧拉当年的原始符号。(scholarlycommons.pacific.edu)

欧拉–马歇罗尼常数源于他对调和级数部分和与对数的比较：

\gamma=\lim_{n\to\infty} \left(\sum_{k=1}^{n}\frac1k-\ln n\right) =0.5772156649\ldots.

尽管调和级数的部分和与 $\ln n$ 都会无界增长，但两者的差值却趋于一个有限极限。欧拉在 1734 年撰写、1740 年发表的《关于调和级数的观察》（De progressionibus harmonicis observationes）中，给出了该常数的前五位小数。这一常数 $\gamma$ 不同于自然对数的底 $e$ ：它刻画了离散求和与对数增长之间的极限偏差。(scholarlycommons.pacific.edu)

欧拉还深入探究了发散级数。在 1746 年撰写并于 1760 年发表的《论发散级数》（De seriebus divergentibus）中，他主张通过生成该级数展开式的有限表达式或函数来理解级数，而非仅仅依赖部分和的极限。对于 $1-1+2!-3!+4!-\cdots$ ，他通过插值法、积分以及连分数计算得出了约 $0.5963473621372$ 的值。这一赋值并不属于常规意义上的收敛：阶乘项甚至都不趋近于零。因此，他的方法需要在收敛级数的和与广义赋值之间作出区分；这些计算在数值上的成功，并不意味着所有形式变换在没有附加条件时都是有效的。(arxiv.org)

数论、代数与组合方法

欧拉证明并推广了皮埃尔·德·费马关于整除性的断言。他写于1736年并于1741年发表的费马小定理首个证明确立了：当 $p$ 为素数且 $p$ 不整除 $a$ 时， $a^{p-1}\equiv1\pmod p$ 。随后他将这一结果推广到了合数模数的情形。用现代记号表示，欧拉函数 $\varphi(n)$ 用于计算从 $1$ 到 $n$ 中与 $n$ 互素的整数个数；欧拉的推广表明

a^{\varphi(n)}\equiv1\pmod n \qquad\text{if }\gcd(a,n)=1.

他阐述该推广定理的论文写于1758年，发表于1763年。若用现代模算术来表述，其内在机制是乘以 $a$ 置换了模 $n$ 下与 $n$ 互素的剩余类。将置换前后的这些剩余类分别相乘，并约去它们可逆的乘积，即可得出该同余式。其中的指数并不一定是满足条件的最小值：例如 $\varphi(8)=4$ ，但 $3^2\equiv1\pmod8$ 。(scholarlycommons.pacific.edu)

反例在他的数论研究中占据了同等重要的地位。费马曾猜想所有形如 $2^{2^m}+1$ 的数都是素数。在1732年写成的一项研究中，欧拉指出

2^{32}+1=4,294,967,297=641\cdot6,700,417.

该论文发表于1738年；这一发表时间应与研究成文的时间区分开来。尽管这种形式的前五个数都是素数，但仅这一个因子就推翻了这一全称猜想。欧拉发表的叙述指出了该可整除性，但并未解释他是如何发现 $641$ 这个因子的。(scholarlycommons.pacific.edu)

欧拉还通过如今以他命名的乘积，将素数与分析学联系起来。他于1737年撰写并于1744年发表的《关于无穷级数的若干观察》（Variae observationes circa series infinitas）中，推导出了如今表述为如下形式的恒等式：

\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^s} =\prod_{p\ \mathrm{prime}}\frac1{1-p^{-s}}.

对于实数 $s>1$ ，等式两端均绝对收敛；在现代复分析表述中，条件为 $\operatorname{Re}(s)>1$ 。将每个因子展开为 $1+p^{-s}+p^{-2s}+\cdots$ ，根据算术基本定理的唯一分解性，恰好能且仅能产生每个正整数倒数的幂次各一次。这使得ζ级数成为了研究素数的工具，为解析数论确立了基石般的联系。这一收敛恒等式不能直接应用于调和级数发散的 $s=1$ 处。(scholarlycommons.pacific.edu)

在组合数学计数中，欧拉将算术选择编码为生成函数的系数。他在1748年的《无穷分析引论》（Introductio）中，通过下式处理了整数划分——即不计顺序将一个整数表示为若干正整数之和的方法：

\sum_{n=0}^{\infty}p(n)x^n =\prod_{m=1}^{\infty}(1-x^m)^{-1}, \qquad p(0)=1.

从第 $m$ 个几何级数因子中选取 $x^{jm}$ ，代表将大小为 $m$ 的部分恰好使用 $j$ 次。相关的乘积变形表明，划分为互不相同部分的分拆数与划分为奇数部分的分拆数相等：在 $\prod_{m\ge1}(1+x^m)$ 中消去偶数下标因子即可得出 $\prod_{m\ge1}(1-x^{2m-1})^{-1}$ 。(scholarlycommons.pacific.edu)

五角数定理提供了一个尤为稀疏的乘积展开式：

\prod_{m=1}^{\infty}(1-x^m) =1+\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k \left(x^{k(3k-1)/2}+x^{k(3k+1)/2}\right).

欧拉于1760年发表了证明，并在1775年撰写的一篇论文中再次探讨了它在划分中的应用。将其与划分生成函数相乘，可得到递推关系：

p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+p(n-12)+p(n-15)-\cdots,

其中负数自变量的取值规定为零。这些恒等式可视为形式幂级数，而无需为 $x$ 赋予数值。(scholarlycommons.pacific.edu)

欧拉对多项式方程的研究，属于18世纪寻求根式解通用方法这一探索潮流。在1733年写成并于1738年发表的一篇论文中，他考察了辅助的“预解”方程，其根可用于确定原方程的根。他针对二次、三次和四次方程阐述了该方法，随后探讨了将其推广至五次及更高次方程的可能性；这些推广尝试属于探索性质，并非高次方程的通用根式解法。(scholarlycommons.pacific.edu)

几何学、多面体与柯尼斯堡七桥问题

七桥问题探讨的是行人能否恰好走过柯尼斯堡的每一座桥一次。这些桥梁连接了被普雷格尔河分割的四个陆地区域：两座岛屿和两片河岸。欧拉在1735年撰写并于1741年发表的《与位置几何学有关的问题之解》（Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis）中，舍弃了距离、角度以及河岸的形状，仅保留了每座桥所连接的区域。在现代图论中，这些区域成为顶点，桥梁成为边；同一对顶点之间可以有多条边相连。欧拉本人使用标示陆地区域的字母序列来表示行走路径，而非如今通用的抽象图表。(scholarlycommons.pacific.edu)

该问题的症结在于与每个区域相连的桥梁数量——用现代术语即顶点的度。这些度分别为 $5,3,3,3$ 。每当行人进入一个中间区域，离开时都会消耗另一座未走过的桥，因此在该区域使用的桥梁必须成对出现。只有起点和终点区域可以存在不成对的通行。因此，恰好走过每条边一次的路径最多只能有两个奇数度顶点；而闭合路径则要求所有顶点的度均为偶数。柯尼斯堡有四个奇数度顶点，使得所要求的行走根本无法实现，即使不要求返回起点也是如此。该论证通过连接关系和奇偶性确立了不可能性，无需穷举所有可能的行程路线，使该问题成为关注位置而非度量的几何学的奠基性范例。(scholarlycommons.pacific.edu)

欧拉还研究了多面体的顶点数、棱数和面数之间的关系。在1750年撰写并于1758年发表的《立体学基础》（Elementa doctrinae solidorum）中，他提出了如今写作如下形式的关系式：

V-E+F=2.

例如，对于立方体， $8-12+6=2$ 。该公式对所有凸多面体均成立，且与其棱长或面角无关。在现代，其适用范围延伸至将球面有限分解为顶点、棱和圆盘状面的情形，但不能不加区分地推广到所有由平面围成的立体。欧拉最初的研究和证明尝试早于后来表述中所采用的精确拓扑假设。在拓扑学中，这一表达式演变为欧拉示性数；对于亏格为 $g$ 的连通、闭、可定向曲面，适当的剖分会给出 $V-E+F=2-2g$ 。这种曲面分类是后来的推广，并非欧拉关于立体的原始定理。(scholarlycommons.pacific.edu)

相比之下，他的三角形几何研究则探讨特殊点之间的度量关系。在1763年撰写并于1767年发表的《若干极其困难的几何问题的简易解法》（Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum）中，他确立了如今与欧拉线相联系的共线性质。外心 $O$ 、重心 $G$ 和垂心 $H$ 位于同一直线上；当三点互不重合时， $G$ 位于另两点之间，且 $HG=2GO$ 。在此，重心为中线的交点，外心为过顶点的圆的圆心，垂心为高的交点。在等边三角形中，这三点重合，因而无法确定一条唯一直线。(scholarlycommons.pacific.edu)

欧拉同样于1763年撰写并于1767年发表的《关于曲面曲率的研究》（Recherches sur la courbure des surfaces）探讨了微分几何的一个核心问题：曲面在某一点处的弯曲程度如何随方向而变化。用包含曲面法线的平面截取光滑曲面，可得到法截线。用现代记号表示，欧拉公式将其有向曲率表示为

k_n(\theta)=k_1\cos^2\theta+k_2\sin^2\theta,

其中 $k_1$ 与 $k_2$ 为主曲率， $\theta$ 是从第一主方向开始测量的角度。因此，两个相互垂直的主方向决定了各个方向上的法曲率。与七桥问题不同，这项研究本质上依赖于角度、切关系以及局部度量。(scholarlycommons.pacific.edu)

微分方程、变分法与计算

欧拉开创了求解微分方程的方法，将精确求解程序与级数展开及数值近似相结合。1743年，他研究了常系数线性微分方程，明确区分了含有任意常数的通解与特解。他还引入了积分因子，并通过幂级数解法探讨了变系数微分方程。这些方法应对了不同的难题：积分因子可以将微分表达式化为全微分，而级数则能表示出初等函数无法表达的解。他的著作《积分学原理》（Institutionum calculi integralis，1768—1770年）汇集了这方面的许多成果。

对于初值问题 $y'=f(x,y)$ ， $y(x_0)=y_0$ ，欧拉在他1768年的积分学著作中提出了一种数值计算方法，现称为欧拉法，其迭代公式为：

x_{n+1}=x_n+h,\qquad y_{n+1}=y_n+h f(x_n,y_n).

每一步都用一段具有起点处指定斜率的微小线段来替代解曲线；逐步重复便能生成折线近似。该过程仅需要进行函数求值，而无需方程的显式解析解。其近似特性是本质性的：在每个步长内斜率通常会发生改变。在现代数值分析中，若满足充分的光滑性以及对 $y$ 的利普希茨条件，单步误差的阶为 $h^2$ ，而在固定区间上的累积误差阶为 $h$ 。这些现代误差分析将该方法与精确积分法则明确区分开来。

1744年出版的《寻求具有最大或最小性质的曲线的方法》（Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes）将变分法从一堆孤立的特殊问题转化为对极值曲线的普遍系统研究，书中列举了100个具体问题进行阐释。欧拉不再局限于寻找使函数取极大或极小的具体数值，而是寻求使依赖于位置及其导数的积分泛函取极值的曲线。其中的范例包括最速降线问题（最快下降路径，他也考虑了有介质阻力的情况）、连接曲面上两点的测地线，以及等周问题——即由给定长度等积分约束来限制允许曲线范围的问题。他的方法通过改变纵坐标来比较相邻曲线，从而将极值问题归结为微分方程。

用现代符号表示，对于泛函

J[y]=\int_a^b F(x,y,y')\,dx,

一条具有固定端点值的充分光滑的驻定曲线必满足欧拉—拉格朗日方程

\frac{\partial F}{\partial y} -\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)=0.

将 $y$ 替换为 $y+\varepsilon\eta$ （其中 $\eta(a)=\eta(b)=0$ ）并通过分部积分，可将一阶变分表示为一个与任意微扰 $\eta$ 相乘的积分。令其为零即可推导出该方程。这是极值的必要条件，而非获得极小值的充分保证：驻定曲线也可能对应极大值，或者既非极大亦非极小。1755年8月12日，约瑟夫-路易·拉格朗日将他的分析变分算法寄给欧拉；欧拉于9月6日回复赞赏。欧拉随后采纳并发展了该方法，写成了《变分法基础》（Elementa calculi variationum，写于1756年，1766年出版）。

欧拉还借助有限差分和求和法将离散计算与微积分紧密联系起来。他于1732年撰写、1738年出版的《级数求和的一般方法》（Methodus generalis summandi progressiones），属于欧拉—麦克劳林公式发展历程中的重要成果，该公式由科林·麦克劳林独立发现。对于充分光滑的函数 $f$ 和整数端点，现代形式的前几项为

\sum_{k=a}^{b}f(k) =\int_a^b f(x)\,dx+\frac{f(a)+f(b)}2 +\frac{f'(b)-f'(a)}{12} -\frac{f'''(b)-f'''(a)}{720}+\cdots .

其有限项展开式包含余项。积分提供了主要的近似值，而端点处的各阶导数则修正了连续面积与离散求和之间的偏差。该公式可以加速缓慢收敛级数的计算或估计其尾项；由于其导数展开式不一定无限收敛，因此截断与余项控制在其数值应用中至关重要。

力学、流体与工程

欧拉两卷本的《力学》（Mechanica，1736年）以分析方法而非传统的几何构图为核心组织力学知识。第一卷讨论了质点在真空或阻尼介质中的自由运动；第二卷探讨了沿指定曲线和曲面的约束运动。力、速度和加速度被表述为由微分方程联系起来的物理量，对这些方程积分即可确定运动。欧拉将加速度分解为沿轨迹切向和法向的分量，从而能够区分速率的改变与方向的改变。几何学虽然依旧必不可少，但它在系统的分析框架中主要用于提供坐标和几何关系，而不再要求为每个具体问题单独作几何作图。(scholarlycommons.pacific.edu)

其后出版的《刚体运动理论》（Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum，1765年）将这一体系拓展到刚体的运动，把平动与转动结合起来。主轴的概念简化了转动问题：相对于这些互相垂直的连体坐标轴，角动量的各个分量分别等于对应的转动惯量乘以角速度分量。用现代符号表示，欧拉的三个转动方程之一为：

I_1\dot{\omega}_1+(I_3-I_2)\omega_2\omega_3=M_1,

另外两个方程可通过指标轮换获得。其中 $I_i$ 为主转动惯量， $\omega_i$ 为角速度分量， $M_i$ 为关于质心或定点所受的外加转矩分量。乘积项反映了坐标系本身的转动效应；因此，外加转矩为零通常并不意味着连体系中的角速度分量保持恒定。(scholarlycommons.pacific.edu)

在撰写于1755年并于1757年发表的《流体运动的一般原理》（Principes généraux du mouvement des fluides）中，欧拉建立了联系流体加速度、压强与外加力的局部方程。用现代矢量符号表示，动量方程与质量守恒方程为

\rho\left(\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t} +(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\right) =-\nabla p+\rho\mathbf{b}, \qquad \frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf{u})=0.

此处 $\mathbf{u}$ 表示速度， $\rho$ 为密度， $p$ 为压强， $\mathbf{b}$ 为单位质量所受的外加力。非线性项表达了流体在流经不同速度区域时所经历的对流加速度。这些方程忽略了黏度产生的应力；对于恒密度的不可压缩流体，连续性方程简化为 $\nabla\cdot\mathbf{u}=0$ 。欧拉明确指出，确定某一具体运动还需要初始状态以及边界条件。他还证明了引入速度势（ $\mathbf{u}=\nabla\phi$ ）会使理论受到局限：他所举的实例包括无法用此类速度势表示的涡旋运动。(scholarlycommons.pacific.edu)

弹性理论是分析学与工程学相结合的又一纽带。在1744年的《寻找极大和极小曲线的方法》（Methodus inveniendi）附录中，欧拉研究了弯曲弹性杆件以及受压细长柱的失稳现象。对于两端铰接、最初为直杆的细长均质柱，现代常用的特化形式为：

P_{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^2EI}{L^2},

其中 $E$ 为杨氏模量， $I$ 为横截面面积二次矩， $L$ 为柱长。这是一个弹性失稳的临界阈值，而非通用的抗压强度极限：它描述了在理想化荷载和支承条件下横向弯曲开始成为可能的临界点。不同的两端约束条件会改变临界荷载值。(scholarlycommons.pacific.edu)

欧拉在《船舶科学》（Scientia navalis，1749年）中，通过偏离平衡位置微小位移所产生的回复转矩研究了船舶稳定性，并明确区分了重心与稳心。浮船在微小横倾后复原的能力，由此转变为一项可计算的力学性质，而不再仅仅是单纯的浮力问题。他在水力机械方面的研究同样将流体运动与有用的机械功联系起来。在《论由水反作用驱动之机械的更完备理论》（Théorie plus complette des machines qui sont mises en mouvement par la réaction de l’eau，1756年）中，他发展了反动式水轮机理论，并为其设计方案计算给出了有利的结构比例。(scholarlycommons.pacific.edu)

天文学、光学、声学与音乐

欧拉在天文学方面的研究主要探讨了对理想化二体轨道的偏离，特别是月球在地球和太阳共同引力作用下的运动，以及木星和土星之间的相互微扰。他的《月球运动论》（Theoria motus lunae，1753年）提出了月球三体问题的近似解。这些研究与航海有着密切的实际联系：托比亚斯·迈尔于1755年利用欧拉的公式编制了月球行度表，使预测的月球位置得以用于海上经度的测定。1765年，欧拉因其理论贡献获得了英国经度奖金中的300英镑，而迈尔的遗孀因月球表获得了3,000英镑。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

1772年出版的《月球运动论新编》（Theoria motuum lunae）内容大为不同，它围绕三个坐标的微分方程、其数值展开以及天文表的编制重构了月球理论。其第二卷将所得公式与亚历克西·克洛德·克莱罗的表格进行了对比，随后阐明了它们在天文计算中的应用。该书原版篇幅长达775页。欧拉明确致谢了约翰·阿尔布雷希特·欧拉、沃尔夫冈·路德维希·克拉夫特和安德斯·约翰·莱克塞尔的大力协助；他们的参与包括展开推导计算与编制数表，而非仅仅誊录成稿的理论。因此，这部著作既代表了对月球运动的一种全新解析处理，也是一项协作性计算工程的结晶。(scholarlycommons.pacific.edu)

在光学领域，欧拉研究了折射以及不同颜色光线偏折程度的差异对成像的影响。色差会导致彩色光晕，因为简单的单透镜物镜无法将所有颜色的光聚焦在同一点上。1747年，他提出了一种在玻璃透镜之间注水的复合透镜结构，试图在保留有效聚焦能力的同时消除这种色散。他的观点推动了关于消色差校正是否可行的持续争论，但这并不等同于成功制造出了消色差望远镜。约翰·多朗德于1758年向英国皇家学会报告的实验，确立了将具有不同色散能力的冕牌玻璃与火石玻璃结合使用的实用方案。此后，欧拉在三卷本的《屈光学》（Dioptrica，1769–1771年）中，系统地阐述了光学系统的计算方法，涵盖基本原理、望远镜与显微镜。(etc.usf.edu)

欧拉在声学方面的研究将声音与机械振动以及空气运动联系起来。他早期的论文《论声音的物理学论文》（Dissertatio physica de sono）发表于1727年；后期的工作则研究了管中空气的流动以及长笛的发声机制。在写于1748年、发表于1750年的《论琴弦振动》（Sur la vibration des cordes）中，他运用偏微分方程研究了振动弦的问题。在回应达朗贝尔的分析时，欧拉主张，在物理上允许的琴弦初始形态并不一定必须在各处都由同一个解析表达式表示。这使得琴弦问题不仅关乎乐器，更引发了关于什么样的函数可以作为微分方程解的探讨。他对声与光的类比，也启发了他著名的历史性假说，即光是由弹性以太中的振动构成的。(etc.usf.edu)

在《新音乐理论的尝试》（Tentamen novae theoriae musicae，1739年）中，欧拉试图通过频率比和协和程度的数值排序，将音乐纳入数学体系。对于由互质整数 $a:b$ 表示的音程，其“悦耳度等级”（gradus suavitatis）可由质因数分解 $ab=\prod_i p_i^{k_i}$ 计算得出： $G=1+\sum_i k_i(p_i-1)$ 。因此，八度音程（ $2:1$ ）的 $G=2$ ，而纯五度（ $3:2$ ）的 $G=4$ ；在这一方案中，数值越小代表越简朴（越协和）。这一方法将数值分类从单个音程扩展到了音符的组合。这种阐释建立在欧拉的一个假设之上，即对简单数字秩序的感知决定了音乐所带来的愉悦感：这是对协和性的一种理论解释，而非通过实验确立的关于审美偏好的普遍规律。(loc.gov)

教科书、书信往来与科学著述

欧拉的主要分析学教科书建立起一套从函数研究到微积分学的循序渐进体系。共两卷的《无穷分析引论》（Introductio in analysin infinitorum，1748年）为学习微积分做好了铺垫，该书并没有直接从微分讲起，而是将代数表达式、函数和无穷展开式组织成一个有机整体。其第一卷围绕函数和级数展开分析方法，第二卷则通过方程讨论曲线。这一教学顺序把分析的研究对象置于对其施加的操作之前。随后出版的《微分学原理》（Institutiones calculi differentialis，1755年）分为内外两篇、共九章与十八章，详细阐述了微分学及其在有限分析与级数中的应用。该书从有限差分过渡到微分的推导方式，将读者所熟悉的改变量与无穷小量运算紧密联系起来。(faculty.washington.edu)

分别于1768年、1769年和1770年出版的三卷《积分学原理》（Institutionum calculi integralis）补全了这一整套教学体系。积分在书中不仅限于求面积或求初等导数的逆运算，更被视为通过微分量之间的指定关系反求函数的过程。因此，全书的结构也能顺理成章地容纳日益复杂的微分方程。第三卷探讨了二元和三元函数，并依据所涉及微分关系的阶数编排了主要内容；书末包含七章附录，专门论述变分法。这些著作以系统化、详尽的专著形式呈现前沿方法，免去了读者必须通过零散研究论文自行拼凑推导的困难。(scholarlycommons.pacific.edu)

德文著作《代数学指南》（Vollständige Anleitung zur Algebra，英文常作 Elements of Algebra）则面向基础更为浅显的读者。其德语文本于1770年分两部分出版。全书从量的初等运算讲起，循序深入到分数、比与比例以及代数方程；第二部分则用十五章探讨不定分析。这一进阶路径使得算术可以作为通往代数的切入点，同时带领读者超越机械的符号演算，进入需要整数解或有理数解的问题领域。欧拉在这部著作中使用通俗语写作，与他主要分析学专著采用的拉丁语形成了鲜明对比。(scholarlycommons.pacific.edu)

用法文撰写的《给一位德国公主的信》（Letters to a German Princess）则展现了另一种形式的教学：欧拉在1760年至1762年间撰写了234封信，于1768年至1772年分为三卷出版，在不借助高深数学的情况下深入浅出地讲解物理学与哲学。讨论的主题涵盖声、光、万有引力、电、磁以及逻辑学。欧拉通过人们熟悉的对比来阐释不易体会的尺度：1760年4月22日关于速度的一封信，便从柏林与马格德堡之间的骑手和行人讲起，进而对比地面运动与天体运行。科学解释中也融入了宗教论证，例如1760年4月19日的开篇信从微观尺寸讲到恒星距离，将宇宙的宏大尺度解读为神圣力量的明证。此类段落使这部作品不仅是一门自然科学课程，也成了欧拉自然哲学思想的集中展现。(link.springer.com)

在研究成果的交流传播中，私人通信、科学院通讯和悬赏竞赛发挥了互补的作用。欧拉与克里斯蒂安·哥德巴赫的通信长达35年，累积近200封信件，为数学探索提供了持久的研讨平台；现存的通信混合使用了拉丁语、法语和德语。书信能在正式发表前迅速传递新发现，而科学院院刊则提供了持久且公开发行的记录。在柏林时期，欧拉的学术论文主要以拉丁语在圣彼得堡发表，或以法语在柏林发表。悬赏竞赛则为地处各方的学者提供了共同攻关的课题：法国科学院1727年的船桅竞赛使年轻的欧拉崭露头角并获得提名，随后在1738年至1772年间，他先后斩获巴黎科学院设立的12项大奖。这些渠道将私人学术交流、科研机构课题规划以及多语言印本书刊出版紧密联结在一起。(edoc.unibas.ch)

接受史、全集与历史评价

欧拉于1783年逝世后，他的手稿在很长一段时间里仍持续成为新出版物的来源。圣彼得堡科学院在近半个世纪的时间里不断刊发他的遗作；1862年，又有一部规模可观的文集面世：由保罗·海因里希·富斯（Paul Heinrich Fuss）汇编的两卷本《数学与物理遗作》（Opera Postuma mathematica et physica），其中收录了59篇此前未曾发表的著作。因此，出版日期并不能直接等同于发现日期。例如，编号为E850的洋流未成之作撰写于1748年，但直至1862年才首次印刷出版；该文提出将天文观测测定的船位与航位推算法估算的位置进行比对，以此识别洋流的影响。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

后世对欧拉方法的接受，既包含了对其成果的扩展，也伴随着对其理论基础的重新审视。他为微分方程提出的折线逼近法起初只是一种计算手段，后来在奥古斯丁-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）关于存在性证明的研究中演变为一种理论工具。在数学物理领域，18世纪围绕振动弦问题展开的争论——涉及欧拉、让·勒朗·达朗贝尔（Jean le Rond d’Alembert）、丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli），以及后来的约瑟夫-路易·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）和皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）——引发了关于任意函数与三角级数表示的深刻探讨，而约瑟夫·傅里叶（Joseph Fourier）在1807年和1822年的研究对这些问题做出了根本性的重塑。这些进展并非单纯套用欧拉既有的完备理论，而是改变了分析程序得以确立合理性的条件。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

古斯塔夫·埃内斯特伦（Gustaf Eneström）于1913年完成了欧拉的文献目录编纂，为866部著作分配了编号E1至E866。这些“埃内斯特伦编号”为跨不同版本、翻译以及各类文献编排提供了稳定的索引对照。这一总数并非单纯的研究论文篇数：它涵盖了专著、期刊文章以及精选书信，且同一部专著的不同卷次也可能分配有独立的编号。例如，《无穷分析引论》（Introductio in analysin infinitorum）的两卷便分别编为E101和E102。该编号顺序不应被视为写作时间的先后序列；欧拉档案库（Euler Archive）另行提供了埃内斯特伦推断的写作年份，并在具体条目中列明了宣读日期与出版日期。(scholarlycommons.pacific.edu)

著作全集《欧拉全集》（Leonhardi Euleri Opera Omnia）于1911年开始出版。其前三辑主要将著作划分为数学、力学与天文学，以及物理与杂项文献。该全集不仅重印了原始文献，还提供了经过校勘审订的文本和严谨的学术导读。全集第1卷由海因里希·韦伯（Heinrich Weber）主编，收录了《代数学元》（Elements of Algebra）以及拉格朗日撰写的补充内容。书信构成了第四辑A（Series IVA）：已出版的通信包括欧拉与伯努利家族成员、克里斯蒂安·哥德巴赫（Christian Goldbach）、亚历克西-克洛德·克莱罗（Alexis-Claude Clairaut）、达朗贝尔以及拉格朗日的往来函件。这些书信记录了中间阶段的推演论证以及对各类数学问题的切磋探讨，是仅凭已发表的学术论文所无法还原的。(faculty.washington.edu)

欧拉档案库对纸本全集起到了重要的补充作用，它提供了具体著作条目、原始出版物扫描件、内容摘要、翻译索引，以及查阅大量往来书信的途径。档案库支持按原载期刊、写作年份、年代区间和学科主题分别浏览，有助于研究者将某项研究的孕育演进与其最终刊印问世区分开来。在某篇论文数十年来未曾发表，或其后被并入某一合集出版的情况下，这种区分尤为关键。(scholarlycommons.pacific.edu)

同样，在历史归属的界定上也必须区分原创发现、独立重新发现、提炼完善以及后世命名。欧拉-麦克劳林求和公式反映的是欧拉与科林·麦克劳林（Colin Maclaurin）各自独立的研究成果，而非合撰的论文。相反，冠以较晚出现的数学家姓名的术语有时会掩盖欧拉的开创之功：欧拉早在傅里叶之前就得出了三角级数系数的计算公式，尽管两人各自独立展开研究，且傅里叶建立了一套不同的理论体系。欧拉本人对发散级数的处理同样需要审慎看待：他提出的求和方法打破了常规收敛概念的局限，拓展了“和”的含义，但这些方法在后世所获得的严谨证明，并不能倒推并套用到18世纪的每一次符号演算中。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

参考来源

Leonard Euler | Encyclopedia.com — Complete Dictionary of Scientific Biographymathshistory.st-andrews.ac.uk
Leonhard Euler (1707–1783) — Biography — MacTutor History of Mathematicsmathshistory.st-andrews.ac.uk
Euler Works, 1720–1729scholarlycommons.pacific.edu
Leonhard Euler’s early lunar theories 1725–1752boris-portal.unibe.ch
Leonhard Euler (1707–1783) – Biography – MacTutor History of Mathematicsmathshistory.st-andrews.ac.uk
Eulogy of Leonhard Euler – Nikolaus von Fussetc.usf.edu
Introductio in analysin infinitorum, volume 1scholarlycommons.pacific.edu
Introduction to Analysis of the Infinite: Book Ilink.springer.com
The function conceptmathshistory.st-andrews.ac.uk
Additamentum ad dissertationem de infinitis curvis eiusdem generisscholarlycommons.pacific.edu
Whence function notation?archive.blogs.harvard.edu
Earliest Uses of Symbols for Constantsmathshistory.st-andrews.ac.uk
Euler's Series for Sine and Cosine. An Interpretation in Nonstandard Analysisarxiv.org
Celebrating the Day of π: Joyful Variations on Euler’s Identityarxiv.org
De summis serierum reciprocarumscholarlycommons.pacific.edu
On the sums of series of reciprocalsarxiv.org
DLMF: §3.10 Continued Fractionsdlmf.nist.gov
De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeuntscholarlycommons.pacific.edu
DLMF: §5.2 Definitionsdlmf.nist.gov
DLMF: §5.5 Functional Relationsdlmf.nist.gov
DLMF: §5.12 Beta Functiondlmf.nist.gov
De progressionibus harmonicis observationesscholarlycommons.pacific.edu
De seriebus divergentibusarxiv.org
De seriebus divergentibusscholarlycommons.pacific.edu
Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratioscholarlycommons.pacific.edu
Theoremata arithmetica nova methodo demonstratascholarlycommons.pacific.edu
Observationes de theoremate quodam Fermatiano aliisque ad numeros primos spectantibusscholarlycommons.pacific.edu
Variae observationes circa series infinitasscholarlycommons.pacific.edu
A Generalization of the Euler-Glaisher Partition Bijectionscholars.georgiasouthern.edu
Demonstratio theorematis circa ordinem in summis divisorum observatumscholarlycommons.pacific.edu
Evolutio producti infiniti (1–x)(1–xx)(1–x³)(1–x⁴)(1–x⁵)(1–x⁶) etc. in seriem simplicemscholarlycommons.pacific.edu
De formis radicum aequationum cuiusque ordinis coniectatioscholarlycommons.pacific.edu
Solutio problematis ad geometriam situs pertinentisscholarlycommons.pacific.edu
Elementa doctrinae solidorumscholarlycommons.pacific.edu
Eneström Indexfaculty.washington.edu
Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorumscholarlycommons.pacific.edu
Eulers Originaltext: Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorumresearch-collection.ethz.ch
Recherches sur la courbure des surfacesscholarlycommons.pacific.edu
Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici lattissimo sensu acceptischolarlycommons.pacific.edu
Elementa calculi variationum — translated by Ian Bruce17centurymaths.com
Joseph Louis Lagrange — Complete Dictionary of Scientific Biographymathshistory.st-andrews.ac.uk
Elementa calculi variationumscholarlycommons.pacific.edu
Methodus generalis summandi progressionesscholarlycommons.pacific.edu
DLMF: §2.10 Sums and Sequencesdlmf.nist.gov
Mechanica, volume 1scholarlycommons.pacific.edu
Theoria motus corporum solidorum seu rigidorumscholarlycommons.pacific.edu
Principes généraux du mouvement des fluidesscholarlycommons.pacific.edu
Scientia Navalis, volume 1scholarlycommons.pacific.edu
Théorie plus complette des machines qui sont mises en mouvement par la réaction de l'eauscholarlycommons.pacific.edu
Theoria motuum lunaescholarlycommons.pacific.edu
Philosophical Transactions of the Royal Society, Vol. L, Part 2, 1758gutenberg.org
Sur la vibration des cordesscholarlycommons.pacific.edu
On the Vibration of Strings: An English Translation of Leonhard Euler’s Sur la Vibration des Cordes (E140)scholarlycommons.pacific.edu
An Asymmetric Formula for Interval Consonance and its Relation to Harmonic Coincidencearxiv.org
L’età dei lumi: matematica. La teoria della musicatreccani.it
Read the Masters: Euler's Introductiofaculty.washington.edu
Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum, volume 1scholarlycommons.pacific.edu
Institutionum calculi integralis volumen primumscholarlycommons.pacific.edu
Institutionum calculi integralis volumen secundumscholarlycommons.pacific.edu
Institutionum calculi integralis volumen tertiumscholarlycommons.pacific.edu
Euler's Integral Calculus17centurymaths.com
Vollständige Anleitung zur Algebra, Erster Theilscholarlycommons.pacific.edu
Vollständige Anleitung zur Algebra, Zweyter Theilscholarlycommons.pacific.edu
Elements of Algebracambridge.org
Opera Postuma mathematica et physicascholarlycommons.pacific.edu
Recherches sur la découverte des courants de la merscholarlycommons.pacific.edu
Euler Archive — Works by Eulerscholarlycommons.pacific.edu
All Works by Date Writtenscholarlycommons.pacific.edu
Historical and Biographical Resourcesfaculty.washington.edu
Euler Opera Omnia Indexbez.unibas.ch
Briefwechsel Eulereterna.unibas.ch
Euler Archivescholarlycommons.pacific.edu