三角函数

三角函数是以角为自变量的函数，最常见的是正弦、余弦和正切，以及它们的倒数。它们源于对直角三角形中边长之比的研究，因此成为三角学的核心工具。它们的现代含义来自函数的观点：在单位圆上定义，以任意实数为输入并返回一个值，并以固定周期重复。这种周期性解释了它们在描述振荡、旋转和波动中的作用。

它们之所以重要，是因为它们连接了几何、微积分与分析。当角度以弧度计量时，它们的导数和积分遵循简单的法则；它们的幂级数，以及通过复数与指数函数之间的联系，揭示了更深层的结构。它们也是傅里叶级数的基础，后者将一般的周期信号表示为正弦和余弦之和，是现代信号处理的基石。

本词条首先介绍定义、弧度制、基本恒等式、图像以及反函数，随后转入解析刻画、微积分和傅里叶展开。接着叙述从古代天文学到近代早期记号的历史发展。最后几节讨论三角函数在测量、物理、工程和计算领域的应用，以及双曲函数等推广。

直角三角形与单位圆上的定义

对于直角三角形中的一个锐角 $\theta$，三条边按其相对于 $\theta$ 的位置命名：对边、邻边，以及斜边。斜边是最长的边，位于直角的对面。三个基本比值为 $$\sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}, \qquad \cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}, \qquad \tan\theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}.$$ 学生常用“正对斜、余邻斜、正切对比邻”之类的口诀来记忆。每个比值只依赖于角的大小，而与三角形的大小无关，因为角相同的三角形对应边成比例。倒数函数为 $\csc\theta = 1/\sin\theta$、$\sec\theta = 1/\cos\theta$ 与 $\cot\theta = 1/\tan\theta$，并且 $\tan\theta = \sin\theta/\cos\theta$。

直角三角形的定义只涵盖 0 到 $\pi/2$ 之间的角，因此需要借助单位圆将这些函数加以推广。单位圆是以坐标平面原点为圆心、半径为 1 的圆。将角的顶点置于原点，始边沿正 $x$ 轴，终边与圆相交于点 $P = (x, y)$。于是 $\cos\theta = x$，$\sin\theta = y$，并且在 $x \neq 0$ 处有 $\tan\theta = y/x$。对于锐角，这与三角形的定义一致，因为该三角形的斜边长为 1。正角按逆时针方向度量，负角按顺时针方向度量；绕行一整圈后点会回到出发位置，因此这些定义适用于每一个实数角。其余三个函数为 $\sec\theta = 1/x$、$\csc\theta = 1/y$ 与 $\cot\theta = x/y$，它们在分母为零处无定义。

每个函数的符号取决于终边所在的象限：

• 第一象限（0 到 $\pi/2$）：六个函数均为正。
• 第二象限（$\pi/2$ 到 $\pi$）：正弦为正；余弦与正切为负。
• 第三象限（$\pi$ 到 $3\pi/2$）：正切为正；正弦与余弦为负。
• 第四象限（$3\pi/2$ 到 $2\pi$）：余弦为正；正弦与正切为负。

“All Students Take Calculus”（所有学生都学微积分）这句记忆口诀按上述顺序列出各象限，并给出每个象限中为正的函数。

常见角的标准值可由初等几何推出。对于 $\pi/4$，直角边长为 1 的等腰直角三角形，其斜边为 $\sqrt{2}$。对于 $\pi/6$ 与 $\pi/3$，将边长为 2 的等边三角形一分为二，得到边长分别为 1、2 与 $\sqrt{3}$ 的直角三角形。结果汇总如下。

记号中有一些约定容易被误读。函数名用正体书写，自变量通常不加括号，如 $\sin\theta$。表达式 $\sin^2\theta$ 表示 $(\sin\theta)^2$，而不是 $\theta^2$ 的正弦。上标 $-1$ 表示反函数（$\sin^{-1}x$ 或 $\arcsin x$），而非倒数；倒数应写作 $\csc x$。角度单位的度号需要明确写出：$\sin 30^\circ$ 表示三十度角的正弦，一旦将角表示为弧度，它等于 $\sin(\pi/6)$（换算方法将在下一节讨论）。

同一套符号既可用于角，也可用于实数，原因在于以弧度计量的角与一个实数等同：即它在单位圆上所截出的弧长。在这种等同之下，$\sin x$ 就是定义在实数集上的函数，而不仅限于几何角。正是这一等同使得这些函数可以求导、积分并展开为级数，也是本文其余部分将它们视为实变量函数的原因。

角的度量与弧度

角可以用多种单位度量，单位的选择既影响计算，也影响使用它的公式的形式。度是较古老、较常见的单位。把整圆分成360份并没有几何上的必然性。把圆分成360度可以追溯到巴比伦人，他们使用六十进制计数。360度可能与一年360天有关。这个数便于使用，因为它有很多约数，圆可以均匀地分为二等分、三等分、四等分、六等分等。希腊天文学家如喜帕恰斯和托勒密以巴比伦的天文数据为自己工作的基础，360等分的圆也随之进入希腊以及后来欧洲的传统之中。

弧度由圆自身的几何性质定义。圆心角的弧度值等于它所截取的圆弧长度除以该圆的半径。因此，1弧度就是所对圆弧长度恰好等于半径的角，约为57.3度。由于两个长度之比是无量纲的，同一个角在任何圆上都给出相同的弧度值。绕圆一周的圆周长为2πr，所以整圆为2π弧度，即2π rad = 360°。这一单位名称有一段简短的历史：“radian”一词最早出现在印刷品中是在1873年6月5日，见于贝尔法斯特女王学院的一份考试试题，出题人是詹姆斯·汤姆森（开尔文勋爵的兄长）。1874年，穆尔在与詹姆斯·汤姆森商议后采用了“radian”这一名称。更早的作者称这一单位为角的圆度量。在国际单位制（SI）中，弧度于1960年首次被列为辅助单位，现在则被视为无量纲的导出单位。

两种单位之间的换算源于唯一的关系式 π rad = 180°。把度数化为弧度，乘以π/180；把弧度化为度数，乘以180/π。因此，常见角度的换算结果为：30° = π/6，45° = π/4，60° = π/3，90° = π/2。科学与工程领域在处理与转动速率有关的量时，通常采用弧度。例如，弧度每秒是转速的标准单位，角速度则表示为以弧度计的角对时间的导数。度在导航、测量和天文观测等领域仍被广泛使用，其中一度又进一步划分为60角分，每角分再划分为60角秒。实际中两种单位并存，严谨的计算会明确说明所用的单位。

弧度使许多公式更为简洁。当θ以弧度计时，圆弧长度就是简单的s = rθ，不需要任何换算因子；而用度数时，同一公式必须带上π/180这一因子。微积分中也有同样的简化。只有当x以弧度计时，sin x的导数才是cos x；若以度数计，则得到(π/180) cos x，之后每个公式都会多出一个多余的常数。正弦和余弦的幂级数是通过幂级数与泰勒级数对它们进行分析处理的基础，同样使用弧度制。出于同样的原因，小角近似sin θ ≈ θ只在弧度制下成立。在数学写作中，若角度未标注单位，通常默认以弧度计。

角还带有方向约定。角通常以标准位置画出：顶点位于原点，始边沿正x轴方向。正角沿逆时针方向度量，负角沿顺时针方向度量。大于整圆的角和负角都是合理的，函数值每隔2π弧度重复一次。这些约定与一些实际应用系统不同。例如，航海中的罗盘方位角是从正北顺时针量取的，因此90°的方位指向正东而非正北。常见的错误包括混淆顺时针与逆时针方向，或是错数旋转圈数。因此，明确标注方向和单位，也是正确处理角度问题的一部分。

基本恒等式与对称性

最基本的恒等式直接来自单位圆。角度为 $\theta$ 的点位于 $(\cos\theta, \sin\theta)$。由于圆上每一点到原点的距离都是 1，根据 勾股定理，对每个实数 $\theta$ 都有 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$。两边除以 $\cos^2\theta$，得到 $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$；两边除以 $\sin^2\theta$，得到 $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$。这些变形在所涉函数有定义的地方成立，即分母不为零的地方。大多数三角表达式的化简，都可以归结为反复使用这三种形式。

两组对称性描述了函数在角度变号和平移时的行为。正弦、正切、余切和余割是奇函数，即 $\sin(-\theta) = -\sin\theta$、$\tan(-\theta) = -\tan\theta$ 等等；余弦和正割是偶函数，因此 $\cos(-\theta) = \cos\theta$。从几何上看，关于水平轴作反射，点的横坐标保持不变，纵坐标变号。正弦、余弦、正割和余割的基本周期是 $2\pi$，正切和余切的基本周期是 $\pi$。正切的周期更短，源于 $\sin(\theta+\pi) = -\sin\theta$ 与 $\cos(\theta+\pi) = -\cos\theta$：两者同时变号，因此它们的商不变。所以正弦本身并不是 $\pi$ 周期的，但它是半周期为 $\pi$ 的反周期函数。

余函数恒等式来自直角三角形。直角三角形的两个锐角之和为 $\pi/2$，因此其中一个角的正弦等于另一个角的余弦。由此得到 $\sin(\pi/2 - \theta) = \cos\theta$、$\cos(\pi/2 - \theta) = \sin\theta$、$\tan(\pi/2 - \theta) = \cot\theta$，以及 $\sec(\pi/2 - \theta) = \csc\theta$。前缀"余"指的是互余的角。另一组相关的平移关系，把一个函数表示为另一个函数平移四分之一周期的结果：$\cos\theta = \sin(\theta + \pi/2)$，$\sin\theta = \cos(\theta - \pi/2)$。这些关系是图像一节所讨论的相位平移的代数基础。

和差公式

余弦的和角公式可以由单位圆上两点之间的距离推导。设 $P = (\cos\alpha, \sin\alpha)$，$Q = (\cos\beta, \sin\beta)$。直接计算两点距离的平方，得 $|PQ|^2 = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)$。同一条线段也是一个等腰三角形的第三边，该三角形两腰长为 1，夹角为 $\alpha - \beta$，因此由余弦定理得 $|PQ|^2 = 2 - 2\cos(\alpha - \beta)$。令两式相等，得到

把 $\beta$ 换成 $-\beta$，即得 $\cos(\alpha+\beta)$ 的公式，即 $\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$。正弦公式由余函数恒等式导出：$\sin(\alpha+\beta) = \cos\bigl((\pi/2 - \alpha) - \beta\bigr)$，再用余弦差角公式展开，得到 $\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$。把 $\beta$ 换成 $-\beta$，即得 $\sin(\alpha - \beta)$。正切的和角公式为

当 $\tan\alpha\tan\beta = 1$ 时该式无意义，并且只有在所涉正切都存在时才成立。

倍角与半角公式

在和角公式中令 $\beta = \alpha$，得到 $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$。余弦的二倍角公式有三种等价形式：$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$、$\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$ 和 $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$。后两种形式都是对第一种形式运用勾股恒等式得到的。由 $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$ 与 $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$ 解出平方项，并令 $\alpha = \theta/2$，即得半角公式

开平方时会出现正负号，其符号由 $\theta/2$ 所在的象限决定。半角正切有不含符号的形式：$\tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} = \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}$，每个形式都在其分母不为零时成立。这些恒等式能把平方或加倍后的自变量化为单角表达式，因此常被用于化简被积函数，以及计算三角函数的乘积。

图像、周期性与变换

六个三角函数的图像可以直接由其定义得出。正弦和余弦是光滑的有界波形，值域为 $[-1, 1]$。它们每 $2\pi$ 弧度完成一个周期，零点间隔为 $\pi$：正弦在 $\pi$ 的整数倍处过零，余弦在 $\pi/2$ 的奇数倍处过零。正切 $\tan x = \sin x / \cos x$ 的周期为 $\pi$，在 $x = \pi/2 + k\pi$ 处有竖直渐近线，在 $x = k\pi$ 处取零。其值域为全体实数。余切的周期为 $\pi$，在 $x = k\pi$ 处有渐近线，在 $\pi/2$ 的奇数倍处取零。

倒数函数由这些图像导出。余割 $\csc x = 1/\sin x$ 在正弦为零处有渐近线，且没有零点；其值永远不会严格位于 $-1$ 与 $1$ 之间。正割 $\sec x = 1/\cos x$ 的性质相同，只是渐近线移到了 $x = \pi/2 + k\pi$ 处。正弦或余弦图像经过 $\pm 1$ 的地方，其倒数图像恰好在这些点处相切并折返，形成人们熟悉的 U 形分支。

一般正弦型函数

大多数应用中的波形都写成 $f(x) = A\sin(Bx + C) + D$ 的形式。四个参数各自独立地起作用：

• 振幅 $|A|$ 决定中线到波峰的距离。$A$ 为负时图像沿竖直方向翻转，但振幅不变。
• 周期 $2\pi/|B|$ 决定一个周期的长度。$|B|$ 越大，图像在水平方向上压缩得越厉害。
• 相移：当自变量写成 $B(x + C/B)$ 时，相移为 $-C/B$。教材对符号约定并不统一。有的写成 $A\sin(B(x+C)) + D$，此时 $C$ 为正会使图像左移；有的写成 $\sin(Bx - C)$，此时 $C/B$ 为正会使图像右移。最稳妥的做法是把自变量改写成 $B(x - h)$，并把 $h$ 理解为向右的平移量。
• 竖直平移 $D$ 把中线移到 $y = D$ 处，因此值域变为 $[D - |A|, D + |A|]$。

这些规则并非随意规定。输入乘以 $B$ 相当于对横轴进行伸缩，输入加上常数相当于水平平移，输出加上常数则是竖直平移。逐步推导可以让符号错误更容易被发现。

同频率的正弦与余弦

频率相同的两个正弦型函数总能合并为一个正弦型函数。对任意实数 $a$ 和 $b$，

其中 $\varphi$ 的取值满足 $a = R\cos\varphi$，$b = R\sin\varphi$。这就是相位形式。它解释了为什么余弦波不过是正弦波沿横轴平移了四分之一个周期，也是分析交流电的基础：频率相同的电压与电流只相差一个相位角。

应用示例

通过读取参数，可以由数据拟合出正弦模型。对于最大值为 $M$、最小值为 $m$ 的周期量，振幅为 $A = (M - m)/2$，中线为 $D = (M + m)/2$。周期取自相邻两次重复之间的时间，相移则根据某个峰值出现的时刻来确定。

潮汐是一个清晰的例子。某资料描述了一个港口：水深在 2 米与 10 米之间变化，周期为 12 小时。若以高潮时刻为起点、以小时为单位度量时间 $t$，则 $A = 4$，$D = 6$，$B = \pi/6$。于是水深为 $d(t) = 6 + 4\cos(\pi t/6)$。实际潮汐要复杂得多，因为它叠加了多个月球与太阳分潮，单一正弦只是一阶近似。若需要更高精度，则要采用谐波修正。

昼长在一年之内也遵循同样的规律。对于某城市，第 355 天昼长最短，为 9.5 小时；第 172 天昼长最长，为 14.5 小时。于是振幅为 2.5 小时，中线为 12 小时。取周期为 365 天，并把峰值放在第 172 天，即可得到 $D(t) = 12 + 2.5\cos\bigl(2\pi(t - 172)/365\bigr)$。这一表达式可以直接用两个极值进行检验，在解释任何拟合参数时，这都是一个有用的习惯。

反三角函数

三角函数是周期函数，因此每个函数值都由无穷多个输入角得到。要使其存在反函数，必须把定义域限制在一个区间上，使函数在该区间内是一一对应的，并且仍能取到其值域中的每个值。这种限制后的函数称为主值分支，由它构造的反函数称为主反函数。

主值分支及其定义域

标准的选取如下：

• 反正弦由正弦函数限制在 $[-\pi/2, \pi/2]$ 上得到。其定义域为 $[-1, 1]$，值域为 $[-\pi/2, \pi/2]$。
• 反余弦由余弦函数限制在 $[0, \pi]$ 上得到。定义域相同，值域为 $[0, \pi]$。
• 反正切由正切函数限制在 $(-\pi/2, \pi/2)$ 上得到。它对所有实数都有定义，当 $x$ 无限增大时，其函数值趋近于值域的端点。
• 反余切取区间 $(0, \pi)$，定义域为全体实数 $\mathbb{R}$。
• 反正割与反余割的情形最不统一。其主值域通常分别给出为 $[0, \pi]\setminus\{\pi/2\}$ 和 $[-\pi/2, 0)\cup(0, \pi/2]$，但部分教材选用其他区间，因此应对照所用资料核实其约定。

这些区间是约定，而非逻辑上的必然。选择它们是为了使主值在定义域上连续，并与熟悉的零点附近的取值相吻合。例如 $\arcsin 0 = 0$，$\arccos 0 = \pi/2$。由于主值分支在开区间上是光滑的，反函数的导数形式简洁：在 $(-1,1)$ 上 $\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，并且 $\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}$。

记号

常见的两种记号是 $\arcsin x$ 和 $\sin^{-1} x$。"arc"（弧）前缀源于单位圆的几何：角 $\theta$（弧度）对应长度为该值的圆弧。拉格朗日在18世纪70年代推广了以"arc"命名的写法；上标形式则由约翰·赫歇尔于1813年引入，仿照了微积分中的算子记号。由于 $\sin^{-1} x$ 很容易与倒数 $(\sin x)^{-1} = \csc x$ 混淆，许多作者更偏好 $\arcsin x$，而计算器和编程语言通常使用缩写 $\text{asin}$ 或 $\text{atan}$。

解三角方程

主反函数只给出一个答案，因此不能单独用来求解有多个解的方程。方程 $\sin\theta = 1/2$ 的主解为 $\theta = \pi/6$，但利用正弦曲线的对称性，其全部解为 $\theta = \pi/6 + 2k\pi$ 与 $\theta = 5\pi/6 + 2k\pi$（$k$ 为整数）。类似地，$\cos\theta = c$ 的解为 $\theta = \pm\arccos c + 2k\pi$。化简时也需要小心：$\arcsin(\sin x) = x$ 只在 $x$ 属于 $[-\pi/2, \pi/2]$ 时成立。当题目要求在给定区间内求解，例如 $[0, 2\pi)$，通常先取主值作为起点，再利用对称性与周期性求出其余解。例如，在 $[0, 2\pi)$ 上 $\tan\theta = 1$ 的解为 $\theta = \pi/4$ 和 $\theta = 5\pi/4$。

双参数反正切

商 $y/x$ 无法区分 $(1,1)$ 与 $(-1,-1)$ 这样的点，因为二者给出的比值相同。函数 $\operatorname{atan2}(y, x)$ 通过同时使用两个坐标避免了这一问题。它返回从正 $x$ 轴到经过点 $(x, y)$ 的射线之间的角，所在象限由两个输入的符号决定。其通常的主值域为 $(-\pi, \pi]$，并且将 $x = 0$ 作为特殊情形处理，而不是做除以零的运算。该函数广泛用于极坐标转换、计算复数的辐角，以及机器人学和图形学软件中由向量分量恢复方向的场合。

积分中的反函数

反三角函数作为一些常见代数表达式的原函数出现。标准结果包括 $\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C$ 和 $\int \frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C$。在三角代换中，形如 $\sqrt{a^2 - x^2}$ 的表达式通过令 $x = a\sin\theta$ 化简，再利用反函数 $\theta = \arcsin(x/a)$ 将结果换回原变量。这些技巧在微积分中用于计算积分，以及求出决定几何量的角度。

幂级数与欧拉公式

正弦和余弦的泰勒级数

正弦和余弦函数可以写成无穷多项式的形式，而三角函数理论的其余部分正是建立在这种定义之上。出发点是指数函数的幂级数 $e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$。将其各项按次数的奇偶性分类，即可得到两个级数：偶次幂组合成余弦，奇次幂组合成正弦：

欧拉公式的推导涉及微积分、幂级数和复数等概念。这些展开式是函数在某一点处泰勒级数的特例。当求导的点为 0 时，泰勒级数又称麦克劳林级数，此处两个函数都属于这种情形。截断正弦级数可以得到实用的近似值。对于较小的自变量，只需几项即可，误差则可以用下一阶的项来估计上界。

复数自变量的推广

由于级数中不含对实角的依赖，它们可以不加修改地用于复数输入。复正弦和复余弦函数的定义与实正弦、实余弦使用相同的级数展开，只是输入可以取复数。这些级数的收敛半径为无穷大，因此对所有复数 z 都收敛。于是，在整个复平面上，这些函数都是复分析意义下的全纯函数。它们在严格意义上是解析函数，并且是整函数（更精确地说，是整超越函数）。

级数也确定了函数的奇偶性：正弦是奇函数，余弦是偶函数。指数形式同样由这些展开式得出，余弦和正弦可以写成 $e^{iz}$ 与 $e^{-iz}$ 的组合：

欧拉公式及其推论

在指数级数中以 $ix$ 代替 $z$，并分离实部与虚部，就得到了如今称为欧拉公式的结果：

这一论证依赖于指数级数绝对收敛这一事实，因此其各项可以重新排列而不改变和。随后将实部项与虚部项分别归并，即可得到余弦与正弦的分解。该公式以莱昂哈德·欧拉命名，它确立了三角函数与复指数函数之间的基本关系。当 x 为复数时，该公式依然成立，此时同样称为欧拉公式。

若干推论可以直接由此得出。令 $x=\pi$ 得到 $e^{i\pi}=-1$，即欧拉恒等式，它在一个等式中联系了数学中的五个常数。正弦和余弦的加法公式也可由 $e^{a}e^{b}=e^{a+b}$ 推出：将 $(\cos a+i\sin a)$ 与 $(\cos b+i\sin b)$ 相乘，再比较实部与虚部，即可恢复正弦和余弦的加法公式。因此，欧拉公式把许多三角恒等式转化为关于指数的简单规则，这也是它在复数理论和信号处理中被广泛使用的原因。

复平面上的解析性质

由于正弦和余弦是整函数，复分析的工具可以应用于它们。它们在实轴之外的取值与在实数上的表现不同。例如，$\sin(iy)=i\sinh y$ 随 $|y|$ 增大而无界增长，因此复正弦是无界的，而在实直线上，它的值始终介于 −1 与 1 之间。它的零点仍然是孤立的，且只出现在 $\pi$ 的整数倍处。正是因为这些函数是整函数，指数形式和上述恒等式才能在整个复平面上成立，而不仅限于实直线。

由微分方程与函数方程刻画

由微分方程导出正弦与余弦

在分析学中，这两个函数无需借助三角形或圆就能引入。指数函数、幂级数和微分方程各自提供了一条途径，而且这些途径对复数输入同样适用，无需任何几何概念。

微分途径从 $y'' = -y$ 出发。原点处的两个条件就足以确定每个函数：取 $y(0)=0$ 且 $y'(0)=1$ 得到正弦；取 $y(0)=1$ 且 $y'(0)=0$ 得到余弦。这两者都位于由该方程全部解构成的二维函数空间 V 中。它们张成整个二维族，因此每个解都可写成 $c_1\cos x + c_2\sin x$ 的形式，其中系数由初值决定。线性方程的存在唯一性理论保证这些初值问题恰有一个解。当该解在原点处有泰勒展开时，其系数由初始数据唯一确定，由此可仅从方程本身推出正弦与余弦的幂级数。

由于两个函数满足同一方程，它们都是二阶导数算子的特征函数。这正是正弦与余弦在线性系统“回到自身形态”之处频繁出现的数学原因，从经典力学中的弹簧与摆，到一般的线性算子，莫不如此。三角函数既是线性微分方程的解，也是偏微分方程的解，因此同样出现在偏微分方程的研究之中。

函数方程

第二类刻画方法使用函数方程而非导数。其中之一是减法公式 $\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$。满足该公式的一对连续函数，只要再加上一个归一化条件，就必然是正弦与余弦；换言之，正弦与余弦是满足差公式的唯一一对连续函数。

与之相关的方程是 $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$，现称为达朗贝尔函数方程。它大约在1750年提出，源于对拉紧弦运动的建模。余弦是它的一个解，因此该方程也被称为余弦函数方程。它的连续解构成一个简短而明确的列表。根据最近的一项分类，这些解为：零函数、常数1，以及余弦与双曲余弦的伸缩形式：$H(t) = \cos(\alpha t)$（其中 $\alpha>0$）与 $H(t) = \cosh(\alpha t)$（其中 $\alpha>0$），具体取哪一支由零点处二阶导数的符号决定。针对正弦的一个对应方程，较早的研究见于1910年，E. B. Van Vleck 发表了 A functional equation for the sine, Ann. Math. Second Ser. 11(4), 161-165 (1910)。

唯一性与指数函数的联系

唯一性定理使这些刻画得以实际应用。复指数 $e^{it}$ 可定义为初值问题 y' - iy = 0; y(0) = 1 的唯一解。由于 $\cos t + i\sin t$ 也解决同一问题，二者必然相等，由此得到欧拉公式 $e^{it} = \cos t + i\sin t$。

同一论证可以证明加法定理。$\sin(t+c)$ 与 $\sin t\cos c+\cos t\sin c$ 都满足 $y''+y=0$，且在零点的数据相同，因此对所有 $t$ 二者取值一致。由唯一性可知，这些函数对所有 t 都相等，从而证明了该恒等式。通过写出合适的初值问题，可以用同样的方式得到许多其他恒等式。

最后，解析延拓的唯一性解释了为什么人们更偏爱解析定义而非纯几何定义。根据复分析中的一个定理，这一实函数到复数域上存在唯一的解析延拓。因此，几何定义、微分刻画与函数方程刻画选出的是同一个函数，而解析版本则能干净地延伸到实数轴之外。

三角函数的微积分

导数

六个三角函数的导数建立在极限 $\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1$ 与和角公式之上。基本的一对是

其余四个由此借助商法则与勾股恒等式导出：$\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2 x$，$\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2 x$，$\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x$，以及 $\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x$。

这些公式只有在角以弧度度量时才成立。极限 $\sin h/h\to 1$ 仅在弧度制下成立。若 x 以度为单位给出，求导时每个公式都会多出一个因子 $\pi/180$。因此，正是弧度制使导数中不含常数因子。链式法则可将这些公式推广到复合自变量：$\frac{d}{dx}\sin u=\cos u\,\frac{du}{dx}$。反三角函数的导数是代数函数，例如 $\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 与 $\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}$，它们由反函数求导法则得出。

基本不定积分

将导数表反过来使用，即得到标准积分 $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$、$\int\cos x\,dx=\sin x+C$、$\int\sec^2x\,dx=\tan x+C$ 以及 $\int\sec x\tan x\,dx=\sec x+C$。另外两个结果不太显然：$\int\tan x\,dx=-\ln|\cos x|+C$ 与 $\int\sec x\,dx=\ln|\sec x+\tan x|+C$。第二个通常通过将被积函数乘以 $\frac{\sec x+\tan x}{\sec x+\tan x}$ 得到，这样分子恰好是分母的导数。随后借助微积分基本定理，这些原函数可用于计算定积分。

幂与乘积

对于 $\int\sin^m x\cos^n x\,dx$，方法取决于指数的奇偶性。若 m 或 n 为奇数，则分出一个因子，剩余的偶次幂利用 $\sin^2x+\cos^2x=1$ 化为另一种函数；余下部分再用代换 u = cos x 或 u = sin x 积分。若两个指数均为偶数，则利用半角恒等式 $\sin^2x=\tfrac12(1-\cos 2x)$ 与 $\cos^2x=\tfrac12(1+\cos 2x)$ 降低幂次。形如 $\int\sin mx\cos nx\,dx$ 的积分用积化和差公式处理，例如 $\sin A\cos B=\tfrac12[\sin(A+B)+\sin(A-B)]$。同样的技巧在傅里叶级数系数的计算中也居于核心地位。

对幂次反复使用分部积分，可得到幂的递推公式：

将其用于 $[0,\pi/2]$ 上的定积分，即得到沃利斯型的结果；例如 $\int_0^{\pi/2}\sin^4x\,dx=\tfrac{3\pi}{16}$。

代换与改写

三角代换可以去掉二次式的平方根。对于 $\sqrt{a^2-x^2}$，令 $x=a\sin\theta$；对于 $\sqrt{a^2+x^2}$，令 $x=a\tan\theta$；对于 $\sqrt{x^2-a^2}$，令 $x=a\sec\theta$。例如，取 $x=\sin\theta$，则 $\int\sqrt{1-x^2}\,dx$ 化为 $\int\cos^2\theta\,d\theta=\tfrac12\theta+\tfrac14\sin2\theta+C$，最后回到 $\tfrac12\arcsin x+\tfrac12x\sqrt{1-x^2}+C$。分部积分可处理多项式与三角函数的乘积，例如 $\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\sin x+C$。魏尔斯特拉斯代换 $t=\tan(x/2)$，其中 $\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$，$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$，$dx=\frac{2\,dt}{1+t^2}$，可将任何关于正弦与余弦的有理式化为有理函数的积分。许多被积函数先应用恒等式后会更简单，例如 $\int\frac{dx}{1+\cos x}=\tan\frac{x}{2}+C$。

弧长、面积与体积

对于区间 $[a,b]$ 上的曲线 $y=f(x)$，弧长为 $L=\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$。对于摆线 $x=r(t-\sin t)$，$y=r(1-\cos t)$，其速率化简为 $\frac{ds}{dt}=2r\left|\sin\frac t2\right|$，因此从 $t=0$ 到 $t=2\pi$ 的一拱长度为 $8r$。在 $[0,\pi/4]$ 上，$y=\cos x$ 与 $y=\sin x$ 之间的面积为 $\int_0^{\pi/4}(\cos x-\sin x)\,dx=\sqrt2-1$。对于旋转体的体积，对 $[0,\pi]$ 上的 $y=\sin x$ 绕 x 轴应用圆盘法，得 $V=\pi\int_0^\pi\sin^2x\,dx=\frac{\pi^2}{2}$。

傅里叶级数与周期函数

周期为 $2\pi$ 的函数 $f$ 通常可以写成一个常数项加上无穷多个谐波之和，每个谐波都是正弦或余弦，其频率是基频的整数倍。标准形式为

系数则通过在一个周期上积分求得：

这一思想源于热传导问题。约瑟夫·傅里叶在1807年至1811年间研究这一问题，其著作《热的解析理论》于1822年出版。他在书中提出，任意函数都可以展开为三角级数，并用分离变量法求解热方程，这一方法如今已是本科课程的标准内容。并非每个函数都允许这样的展开，以及级数的和在什么意义下能还原原函数，这些问题花了十九世纪的大部分时间才得以解决。

系数公式之所以成立，源于正交性。在一个完整周期上，当 $m \ne n$ 时 $\sin mx \sin nx$ 或 $\cos mx \cos nx$ 的积分为零，当 $m = n \ge 1$ 时积分等于 $\pi$；而对所有整数 $m, n$，$\sin mx \cos nx$ 的积分都为零。因此，将级数乘以某一基函数再积分，会消去其他所有项，从而分离出单个系数。这与向量空间中的内积是同一模式：正弦与余弦构成一个正交族，而傅里叶系数就是函数在其各成员上的投影。同样的逻辑也是对采样数据的离散傅里叶变换的基础，其中连续积分变为有限和。

两个标准例子展示了系数如何迅速揭示信号的结构。在 $(0,\pi)$ 上取值为 $1$、在 $(-\pi,0)$ 上取值为 $-1$ 的方波，只含正弦项，且只含奇次谐波。其系数对奇数 $n$ 为 $b_n = 4/(n\pi)$，对偶数 $n$ 为零，因此

在 $(-\pi,\pi)$ 上 $f(x) = x$ 的锯齿波是奇函数，因此所有余弦系数都为零。其正弦系数为 $b_n = 2(-1)^{n+1}/n$，于是

两种情形下，振幅都按 $1/n$ 的速度衰减，这反映了其中的跳跃：用光滑的正弦波表示间断，代价就是衰减缓慢。光滑函数的系数衰减得快得多，因此其级数收敛也更快。

收敛性是其中较微妙的部分。对于分段光滑的周期函数，级数在每个连续点处收敛，在跳跃点处则收敛于两侧极限的平均值。然而在跳跃附近，部分和并不会一致地稳定下来：它们会在较高的一侧越过目标值，在较低的一侧低于目标值。增加项数只会使这些振荡更靠近间断点，而不会降低其高度。过冲的峰值约为跳跃全幅的9%。这一现象由H. 威尔布拉厄姆于1848年注意到，J. 威拉德·吉布斯于1898年和1899年在致《自然》杂志的信中对其作了描述，因此它以他的名字命名为吉布斯现象。它在信号处理与成像中十分重要，截断的级数会在尖锐边缘处产生振铃。补救方法包括用费耶权重或兰索斯权重平滑部分和，这会消除过冲，但代价是损失一些锐度。相比之下，在均方意义下，级数对任何平方可积的周期函数都收敛，因此过冲是一致收敛行为的特征，而非平均行为的特征。

这一展开式中的正弦与余弦函数，正是本文其余部分所依赖的同一组函数。关于将函数分解为频率分量的更广泛理论，参见调和分析；关于促使傅里叶开展最初工作的偏微分方程，参见热方程。

古代与中世纪的起源

三角学主要是作为天文学的工具发展起来的。希腊人并没有使用今天意义上的正弦。他们唯一的三角量是弦，它与正弦密切相关。古希腊人使用的唯一三角函数就是弦，它与正弦函数密切相关。第一张弦表通常归于公元前二世纪的喜帕恰斯。该表本身已经失传，但后世的复原研究表明，他把每个三角形都看作内接于一个圆中，因此每条边都成为一条弦。他把每个三角形都视为内接于圆，使每条边都成为弦。复原研究还表明，圆被分为360度，中间值通过线性插值求得。该表以圆周分为360度为基础，每度再分为60分。

现存最完整的希腊论述见于公元二世纪的托勒密《天文学大成》。托勒密的弦表给出了从1/2度到180度、以1/2度为间隔的弦长。他的方法依赖于一个关于圆内接四边形的几何定理，他推导出的一些关系式等价于现代正弦的和差公式。取a、b的不同解释，便得到和角公式：这些当然对应于正弦的和角与差角公式。托勒密的弦值以两位六十进制小数给出，这项工作以精确著称。希腊三角学大多以几何语言表述，而不是一组有名字的比值，现代符号直到十七世纪才被引入。

在印度，传统从弦转向半弦，也就是现代意义上的正弦。阿耶波多于公元499年完成的《阿耶波多历数书》是已知第一部命名正弦并给出正弦表的文献。关于正弦函数的最早记载就见于他这部（唯一的）重要著作《阿耶波多历数书》（公元499年）。他把正弦称为jya，即半弦，并引入了余弦、正矢等相关术语。他编制了已知最早的正弦表，引入了jya（正弦）、kojya（余弦）和utkrama-jya（正矢）等术语，并提出了一个出色的差分方程，用于逐步计算正弦值。该表以3°45′为步长编制，阿耶波多通过差分求得中间值。这需要先取两个相邻角正弦之差，再取其二阶差分。后来的印度学者改进了这一方法。婆罗摩笈多设计了一个二阶插值公式，它等价于二阶泰勒近似，从而能够更精确地估算任意角的正弦。

在巴格达及附近中心工作的伊斯兰数学家围绕正弦重建了三角学，并增添了新的函数。活跃于公元850年至929年左右的阿尔-巴塔尼摒弃了希腊的弦系统。他放弃了旧有的角弦体系，转而采用更为便利的、被称为正弦的三角比例；他还使用了它的倒数比，即余弦。他也将三角学用于天文学中的球面投影，人们常认为他是最早使用“sine”和“cosine”这些名称的人。阿布·瓦法（940–998）在巴格达工作，进一步拓展了这一学科。他被认为引入了正割和余割函数，并研究了与一段弧相关的六条三角线之间的相互关系。他还以每15角分为间隔编制了正弦表和正切表，并证明了人们熟知的正弦加法定理，与《天文学大成》中以弦长表述的原始形式相比，这一证明要简洁高效得多。他系统地运用球面三角学解决天文学问题，比鲁尼之后又将正弦用于天文学和地理学。关于正切的归属，各方说法不一：印度数学家此前已经对其作过描述，而阿布·瓦法被认为展示了它在计算中的用法。

这些成果通过阿拉伯文和希腊文文献的拉丁文译本传入欧洲，主要自十二世纪起，托莱多等中心发挥了重要作用。托勒密的《天文学大成》以及在其基础上发展的阿拉伯天文学表，成为中世纪欧洲大学的标准参考书。这一传播过程是渐进的，接受这些文献的拉丁学者往往是在翻译的译本基础上工作的。他们对三角学内容的吸收，为十五世纪欧洲逐步发展起来的独立三角学科奠定了基础。

近代早期的发展与记号

在欧洲，三角学在其大部分历史中都是天文学的工具。三角学向独立学科的转变，通常归功于雷乔蒙塔努斯（约翰·缪勒，1436–1476）。他认识到天文学家需要一套系统的解三角形方法，并在其天文学著作的序言中承诺撰写这样一部论著。他的《论各种三角形》（De triangulis omnimodis）编成于1464年，比《天体运行论》早了数十年，但直到1533年才出版。它的重要性不在于提出了多少新结果，而在于其组织方式。该书使三角学从与天文学的主要联系中脱离出来，转而置身于数学之中，具体来说，是关于三角形与圆的欧几里得几何。该书的结构也仿照几何原本，其第一卷给出了包括正弦在内的定义。雷乔蒙塔努斯还把这门学科重新界定为解三角形的研究。《论各种三角形》和现代教科书都借助直角三角形引入正弦。正弦定理以接近现代形式的方式出现在书中。雷乔蒙塔努斯在此书中省略了正切，而在另一部占星学著作《方向表》（Tabulae Directionum）中给出。该论著由约翰内斯·舍讷编辑，最终于1533年由约翰内斯·佩特赖乌斯在纽伦堡出版，并附有佩尔巴赫的正弦表。此后大约一个世纪内，它一直是标准的参考著作。

16世纪末，弗朗索瓦·韦达以塑造其符号代数的那种代数观念研究三角学。他给出了用 $\sin x$ 和 $\cos x$ 表示 sin nx 的公式，并推导出用于计算其正弦表的恒等式。其中一个恒等式后来得到了直观的几何证明。韦达的术语也带有试验性质：他把余弦称为 sinus residuae（余正弦），并用 amsinus 和 prosinus 指代相关的量。其他函数的名称也是在这一时期确定的。正切（tangent）一名最早由托马斯·芬克于1583年使用。余切（cotangens）一词最早由埃德蒙·甘特于1620年使用。缩写形式出现得较晚，cot 一词最早由乔纳斯·穆尔于1674年使用。

倒数函数的使用较晚，且出于实用的原因。正割和余割并未被早期的天文学家或测量员使用，直到大约15世纪，航海者开始编制表格时，它们才得以发挥作用。哥白尼已经使用过正割，他称之为 hypotenusa（斜边）。用现代记号表示，倒数关系为 $\sec A = \frac{1}{\cos A}$ 和 $\csc A = \frac{1}{\sin A}$，以及 $\cot A = \frac{1}{\tan A}$。包含六个函数、名称与缩写都已规范化的完整体系，在18和19世纪的教科书中变得普遍。

莱昂哈德·欧拉的《无穷分析引论》（Introductio in analysin infinitorum，1748）标志着这些函数从几何走向分析的转折点。欧拉的这部《引论》被视为现代三角学的开端。该书还使函数成为分析学的核心概念，欧拉也在书中引入了函数记号 f(x)。欧拉通过无穷级数来处理正弦和余弦，不依赖基于三角形的定义。他取极小弧长与极大步数的极限，由此得到正弦和余弦的泰勒级数。同样的分析也导出了他关于复指数与圆函数之间关系的结论。1748年，欧拉给出了公式 exp(ix) = cos x + i sin x。角的符号与实数符号之间的这种联系，在后来的复数研究中变得至关重要。欧拉的记号与定义确立了至今大多数现代教科书仍在沿用的惯例。

测量、导航与天文

测量学是三角学最早的实际应用之一。若已知三角形的各角和其中一边的长度，其余各边便可由三角比求得。因此，测量员会在地面上仔细量取一条基线，再计算出整个三角网的其余部分，这远比逐段丈量要容易得多。1533年，热马·弗里修斯（Gemma Frisius）描述了这一方法，即从已知基线出发将一个地区划分为若干三角形。随后，威理博德·斯涅尔（Willebrord Snell）把一连串三角形延伸到约130公里长的范围内，从阿尔克马尔一直到卑尔根奥普佐姆，其方法于1617年发表。让·皮卡尔（Jean Picard）later于1669至1670年间用同一技术测量了巴黎以北一度的子午弧长。此后的几个世纪里，各国都依照同一原理建立了大地测量网。英国的主三角测量由英国陆军测量局于1783年开始，直到1853年才完成；而1802至1871年间进行的印度大测量，则成为当时规模最大的测绘工程之一。

由于地球是弯曲的，这些计算的平面版本存在局限。对于覆盖几平方英里的小型测量网，可以把地球视为平面，使用欧几里得几何和平面三角学即可满足需要。而大范围的大地测量网则必须采用球面三角学，它研究画在球面上的三角形。导航同样建立在这一框架之上。海上的位置由天体的角度确定，而地球上两点间的最短路径位于大圆之上。其长度和方位需借助球面余弦定理及相关公式计算，从而使船只和飞机能够规划出比在平面海图上沿恒向线航行短得多的航线。

航海六分仪为航海者提供了测量这些角度的实用手段。1731年，英国人约翰·哈德利（John Hadley）与费城的托马斯·戈弗雷（Thomas Godfrey）各自独立研制出利用双重反射测量角度的仪器。哈德利的设计是八分仪，即圆周的八分之一；随后，将八分仪加以放大，便得到了圆周六分之一的六分仪，它可以测量至多120度的角。该仪器用于测定天体在地平线上的高度，或两个天体之间的角距离。观测所得的角度可换算为纬度，再结合计时，便可求得经度。六分仪还可用来测量月亮与另一天体之间的月距，从而确定格林尼治平时，进而推算经度。艾萨克·牛顿约在1699年曾勾勒过一种类似的反射式仪器，但直到其手稿后来被人检视时，这一设计才为人所知，并未公开发表。六分仪在陆地上也用于测量，而1922年，卡洛斯·维埃加斯·戈戈·库蒂尼奥（Carlos Viegas Gago Coutinho）将该仪器改造用于航空导航。

在天文学中，三角学用于测量无法直接抵达的距离。恒星视差的原理是：当地球绕太阳公转时，近处的恒星相对于遥远的背景星会发生视位移，位移的大小即可用来推算距离。弗里德里希·威廉·贝塞尔（Friedrich Wilhelm Bessel）以地球轨道的直径作为基线。1838年，贝塞尔宣布天鹅座61的视差为0.314角秒，据此其距离为三秒差距，即十光年。现代测量表明，该恒星的距离约为11.4光年。托马斯·亨德森（Thomas Henderson）于1839年发表了半人马座α星的视差，其数据源自早先在好望角所做的观测。视差距离的表示方法十分简单：视差为$p$角秒的恒星，距离为$1/p$秒差距。同样的球面几何还用于把测得的天球位置换算为坐标，并用于预测行星和卫星的轨道，包括它们相对于太阳与月球的位置。

更早的仪器，如星盘，则以便携的形式体现了同样的几何原理。盘上的刻度可用来读出恒星或太阳的高度，借助三角推理，由观测值便可估算时间或纬度。尽管现代卫星定位在陆地和海洋上基本取代了这些方法，但三角测量、球面导航和视差背后的三角关系，依然是大地测量学和卫星定位的基础。

物理学：振动、波动与转动

正弦和余弦在物理学中随处可见，因为许多系统在受到与位移成正比的回复力时会回到平衡位置，由此得到一个线性二阶微分方程。对于理想弹簧上的质量块，有 $m\,x'' = -kx$，其解为 $x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$，其中 $\omega=\sqrt{k/m}$。振幅 $A$ 和相位 $\varphi$ 由初始位置和初始速度决定。在小摆动条件下，单摆遵循同样的规律。方程 $\theta'' = -(g/L)\sin\theta$ 在 $\sin\theta\approx\theta$ 时变为线性方程，从而得到 $\omega=\sqrt{g/L}$。当振幅较大时，周期会偏离这一结果，其精确形式需要用到椭圆积分，相关内容见推广部分。

波动也可以用同样的方式描述。正弦型扰动 $u(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi)$ 在 $c=\omega/k$ 时满足一维波动方程 $\partial^2 u/\partial t^2 = c^2\,\partial^2 u/\partial x^2$，其中 $c$ 为传播速度，$k=2\pi/\lambda$ 为波数，$\omega$ 为角频率。1747 年，达朗贝尔证明了一般解可以分解为向左传播和向右传播的两部分，而正弦函数是构成这两部分的便捷基本单元。纯音的声音就是这种形式的压强变化；1865 年麦克斯韦的电磁理论指出，光是一种横波，其电场在空间和时间上都按正弦规律振荡。由于任意周期信号都可以分解为这类分量，正弦函数便成为傅里叶分析和信号处理部分所发展方法的基本单元。

光学提供了波动物理中最为人熟知的三角定律。斯涅尔定律 $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$ 将入射角和折射角与两种介质的折射率联系起来。1621 年，威利布罗德·斯涅尔提出了这一定律，它也可以由费马的最短时间原理推导得出。其正弦形式源于波前的几何关系：两种介质中正弦之比等于相速度之比。衍射同样受正弦关系支配。宽度为 $a$ 的狭缝对平面波的第一极小出现在 $a\sin\theta=\lambda$ 处；间距为 $d$ 的衍射光栅在 $d\sin\theta = m\lambda$ 处产生亮纹。1913 年，威廉·亨利·布拉格和威廉·劳伦斯·布拉格证明，从相邻晶面反射的 X 射线在满足 $n\lambda = 2d\sin\theta$ 时发生相长干涉。这一关系由额外的光程 $2d\sin\theta$ 导出，成为 X 射线晶体学的基础。

转动为这些波动提供了几何上的起源。一个点以恒定角速度 $\omega$ 沿半径为 $r$ 的圆周运动，其坐标为 $(r\cos\omega t,\ r\sin\omega t)$。它在任一坐标轴上的投影都是正弦函数，因此匀速圆周运动和简谐运动是同一过程的两种视角。这也是为什么振动的相位可以被看作一个角度。弧度制使得相关关系变得简洁：弧长为 $s=r\theta$，角速度 $\omega=d\theta/dt$ 以弧度每秒为单位。绕角度 $\theta$ 转动的刚体可以用由 $\cos\theta$ 和 $\sin\theta$ 构成的旋转矩阵来描述，这把物理上的旋转与后文所用的矩阵方法联系了起来。

受迫系统也遵循同样的数学规律。当阻尼振子受到正弦驱动时，其稳态响应以驱动频率振荡，并且振幅在固有频率附近达到峰值，这种现象称为共振。两个频率相同的波叠加后合成为一个正弦波，其相位等于两者相位之和，这正是正弦与余弦之间调和关系的物理基础，本文其他部分对此有所说明。

电气工程与电信

交流电是正弦和余弦发挥实际作用的主要领域之一。旋转发电机产生的电压随时间呈正弦变化，因此可以写成 $v(t)=V_m\cos(\omega t+\alpha)$，其中 $V_m$ 为峰值振幅，$\omega$ 为角频率，$\alpha$ 为相位。工程师很少直接对这类表达式进行运算。相量方法用一个复数 $V_m e^{j\alpha}$ 代替每个正弦量，该复数只保留振幅和相位，并去掉公共因子 $e^{j\omega t}$（相量电压定义为交流电路中电压的复数表示）。从几何上看，相量是一个长度固定、以恒定角速度旋转的矢量，其竖直投影即为波形的瞬时值（相量是以恒定角速度旋转的矢量；在任意角度 θ 处，OA sinθ 等于正弦波的瞬时值）。一旦问题转化为复数运算，对时间的求导就变为乘以 $j\omega$，电阻、电容和电感则获得阻抗，阻抗与电阻一样可以按相同方式组合。对于串联的电阻和电容，相量电流为 $I = V_{in}/(R + 1/j\omega C)$（利用欧姆定律即可求解电路中的相量电流 I）。同样的方法还可以表示电压与电流之间的相位差，而这是功率计算中的基本量。

电信技术以正弦载波为基础。一个高频正弦波会根据低频的信息信号（称为调制信号或基带信号）进行改变。其中有三个特性可以变化：幅度、频率和相位（调制是指对正弦信号的某一工作特性（幅度、频率或相位）施加变化的技术）。在调幅（AM）中，载波的包络随信息信号变化，而其频率保持不变（当施加调制信息信号（正弦波）时，载波幅度随之起伏，调幅过程中载波频率保持恒定）。在最简单的形式下，发射信号为载波乘以（1 加上基带信号），即 x_AM = x_C(1+x_BB)。由于时域中的乘法对应频域中的卷积，信息信号的频谱会以和频与差频的形式在载波两侧重新出现，形成边带（调制过程产生三种频率：载波与基带信号之间的差频、载波与基带信号之间的和频，以及载波本身）。信息信号幅度与载波幅度之比称为调制指数，用来描述调制深度（调制指数 m = MAX(V_m(t))/V_co）。其缺点是大部分功率集中在载波中，而载波并不携带信息（简单调幅的功率利用效率较低，因为信息仅通过边带传输，而大部分功率却集中在载波中）。

在调频（FM）中，幅度保持恒定，瞬时频率则按信息信号成比例地偏移（载波的瞬时频率相对于载频按调制信号的大小成比例地增加或减少）。直到20世纪70年代末，调幅一直是民用广播的主要形式，此后调频成为主流（调幅是最早被用于民用的调制方式，在民用无线电广播中一直占据主导地位，直到20世纪70年代末。此后调频逐渐取代其主导地位，调幅广播则开始缓慢衰落）。现代数字系统延续了同样的思路：正交幅度调制同时改变幅度和相位（在正交幅度调制（QAM）中，幅度和相位都会发生变化），高速数字数据则通过高频载波传输（调频和调幅至今仍在使用，只是如今这些调制方式被用于借助高频载波高速发送数字数据）。

滤波器设计依赖于线性电路对正弦信号的响应。线性系统在正弦波激励下，输出同样是频率相同的正弦波，只是幅度和相位发生变化，而这两种变化由传递函数在该频率处的值决定（LTI系统对正弦波的响应是同频率的正弦波，其幅度和相位由传递函数在该频率处的增益和相位决定）。最简单的例子是 RC 低通滤波器。将复频率替换为 $j\omega$，得到 $H(j\omega)=1/(1+j\omega RC)$，其幅值为 $1/\sqrt{1+(\omega RC)^2}$（H(jω)=1/(1+jωRC)；传递函数的幅值为 1/√(1+(ωRC)²)）。截止频率是输出降至输入约70.7%时对应的频率，即 $f_c = 1/(2\pi RC)$（截止频率定义为输出降至输入的 1/√2 倍时的频率（约为 -3 dB））。这种电路的相位滞后随频率增加而增大，在高频时趋近于 90°（接近转折频率时相位开始滞后，在高频时达到 90°）。由于任意一般信号都可以看作若干正弦信号之和，其频谱就像一份“配方”，说明如何由正弦分量合成该信号（既然任何信号都可视为由正弦信号组成，频谱便代表了由正弦分量构造该信号的“配方卡”），而滤波器的频率响应则决定了每个分量被如何放大或移相。这类频率响应通常用伯德图表示（以 R=10kΩ、C=47nF 的 RC 电路为例，其传递函数的伯德图见图 2）。

通信标准建立在这些原理之上。标准规定载波频率、信道带宽和调制方式，使众多发射机能够共用同一频段而互不干扰。载波的选择远高于信息频带，一般经验法则要求载波频率至少比基带信号高十倍（它通常是射频（RF）波，其频率必须远高于调制基带信号（至少高出10倍））。例如，广播电台被分配不同的载波频率，从而能够在同一介质上共存（如同广播电台那样被分配不同的载频，仍可共享同一信道）。分析这些系统，从接收机调谐电路的设计到发射信号的频谱，都依赖于上文所述的正弦稳态方法。同样的数学也支配着电网中50或60赫兹的交流电，这也是为什么正弦分析被作为电气工程的基础课程来教授。

数字信号处理与成像

一旦物理信号被记录为有限的数列，正弦和余弦就成为实用的计算工具。离散傅里叶变换（DFT）把这样的采样序列改写为若干等间隔频率的正弦波之和。若逐项计算，处理 n 个采样点需要约 n² 次乘法，对大规模数据而言并不可行，直到快速傅里叶变换（FFT）改变了这一计算代价。詹姆斯·库利（James Cooley）和约翰·图基（John Tukey）1965年发表的论文将运算次数降至约 n log n，这一改进使频谱分析在数字计算机上成为常规操作。他们的发表时机与算法同样重要：该方法问世之时，数字计算机正日益普及。虽然此前已有人发现过类似方法，但正是库利与图基的时机——恰逢数字计算机开始广泛使用和普及——促成了它的成功。同一思想的早期版本此前已经出现。FFT 的递归分治结构早在1805年前后就已被卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）预见到，他借此从观测数据中对小行星智神星（Pallas）和婚神星（Juno）的轨道进行插值。高斯的这一成果在他生前未曾发表，只出现在他的全集中。快速频谱分析的需求来自地震学、晶体学和声呐等实际领域。

压缩是第二个主要应用。离散余弦变换（DCT）将有限数据序列表示为不同频率余弦波之和。其关键特性是能量集中：对于典型的图像块，大部分信号能量集中在少数低频系数上，因此大量较小的高频系数可以被粗略量化或舍弃。纳西尔·艾哈迈德（Nasir Ahmed）在堪萨斯州立大学工作时构想了 DCT，并于1972年向美国国家科学基金会提出，最初的目标是图像压缩。1973年，艾哈迈德与他的博士生 T. 纳塔拉扬（T. Natarajan）及友人 K. R. 拉奥（K. R. Rao）开发出可用的 DCT 算法，并于1974年1月的一篇论文中发表了结果。DCT 成为 JPEG 静态图像标准的核心，该标准于1992年首次发布。同一族变换也出现在音频编码中：其变体——修正离散余弦变换——是 MP3、AAC 和 Vorbis 的基础。激进的压缩会暴露其中的取舍：当系数量化过于剧烈时，可能出现方块状伪影。

医学成像以另一种方式依赖同样的数学原理。CT 扫描仪记录 X 射线沿多个角度穿过某一切片上许多直线时的衰减情况。傅里叶切片定理将每个投影的一维变换与物体二维变换中一条过原点的直线联系起来。这一关系是滤波反投影的基础，它是最早也最常用的 CT 算法。在该方法中，每个投影先经过滤波（通常使用斜坡型滤波器，并通过快速傅里叶方法实现），然后沿测量方向反投影回图像网格。商用 X 射线 CT 系统通常采用基于 FFT 的该流程实现。磁共振成像遵循相关的逻辑：扫描仪在傅里叶域空间（常称为 k 空间）中采样数据，再通过逆 FFT 将这些采样转换为图像。这两个领域都依赖于定义该变换的三角函数基。

雷达、声呐和地球物理勘探使用同样的工具完成另一项任务：从接收到的回波或地震道中估计频率成分和时间信息。频谱峰值揭示回波信号中存在的频率，传感器之间的相位差指示方向，而微小的频率偏移可以编码目标通过多普勒效应产生的运动信息。由于 FFT 使这些计算快到足以实时运行，正弦分析已嵌入大多数现代传感系统的信号处理链中。

数值计算与计算机图形学

在数字硬件上计算函数

早期的数字计算机乘法器速度很慢，因此设计者寻求只用简单运算就能算出正弦和余弦的方法。最著名的答案是 CORDIC，即"坐标旋转数字计算机"（COordinate Rotation DIgital Computer）的缩写。该方法由康维尔公司（Convair）的航空电子部门开发，用于取代 B-58 轰炸机导航计算机中的模拟旋转变压器。杰克·沃尔德（Jack Volder）于 1959 年在《西部联合计算机会议论文集》上发表了这一方法。随后，惠普公司的约翰·斯蒂芬·沃尔瑟（John Stephen Walther）进一步推广了该算法，使其能够计算双曲函数、指数函数、对数、乘法、除法和平方根。

CORDIC 将角度视为作用于二维向量的旋转。这一旋转被分解为许多小步，其做法是把所需函数分解为一系列微小的旋转和移位。每一步只需要移位、加法和一张小型常数表，因此该方法无需乘法和除法。完成所有步骤后，向量的坐标分别给出余弦和正弦，但还需乘以一个已知的增益因子。迭代次数越多，CORDIC 的结果精度越高。该方法曾在袖珍计算器中广泛使用。当没有硬件乘法器时（例如基于微控制器的系统），或者需要尽量减少实现所支持函数所需的门电路数量时（例如在 FPGA 中），CORDIC 通常比其他方法更快。

如今，通用处理器已包含用于这些函数的浮点指令，因此在台式机和服务器上，软件实现的 CORDIC 已很少见。大多数数学库转而在缩减后的区间上计算多项式或有理函数逼近。这类逼近只在有限范围内有效，因此必须先把自变量映射到该范围内。例如，它只对 0 到 π/2 之间的角度有效；但利用三角恒等式，无论角度取何值，其正切的计算总能归约为 0 到 π/2 之间某个角度的计算。

参数约简与浮点精度

由于这些函数具有周期性，数学库通常先从自变量 x 中减去 π/2 的整数倍，记录所在象限，再在剩余部分上计算核心逼近。对于中等大小的 x，Cody–Waite 约简将常数拆分成若干部分，使减法保持精确。对于很大的 x，困难在于减法会消去大量前导位。经典方法计算 x − kπ，而在减法 x − (kπ) 中大约有 e 位会被抵消，因此为了使 x' 至少具有 n 位精度，需要以至少 e + n 位的精度计算 kπ。

玛丽·佩恩（Mary Payne）与罗伯特·哈内克（Robert Hanek）的弧度约简方法避免了存储巨大的常数。他们的论文指出，对于 CRAY-1、VAX 或拟议中的双扩展 IEEE 格式，可能需要约简的最大自变量量级达到 2^16000 弧度。若要对这样的自变量进行精确约简，需要将 1/π（或其倒数）存储到 16000 多位。他们的方法只计算在约简后仍然有效的那部分常数位。现代实现沿用了同样的思路。Payne–Hanek 方法将 1/P 以极高精度表示（通常为多字定点常数），将 x 与该常数相乘以得到高精度商，取出最接近的整数 k，然后重构余数。实际中遇到的大多数自变量都不太大，因此代价高昂的路径只留给少数大输入。三角函数最常见的输入自变量较小（例如小于 8），偶尔为中等大小（例如在 8 到约 260 之间）。

不当的约简可能造成严重误差。在一个开源的 256 位实现中，sin(1e100) 的结果是 0.9318...，而正确值应为 -0.3723...。该自变量先经过 Mod(2Pi) 约简，而 2Pi 的近似误差被自变量放大了。在函数零点附近，约简后的值非常小，相对误差很大，因此精度也需要格外注意。弧度约简可以高效地计算额外的位数，从而在所需函数的零点附近保持完整精度。正切函数在其极点附近以另一种形式出现同样的问题，因为除以一个很小的余弦值会放大任何误差。

计算机图形学与机器人学中的旋转

平面旋转用一个矩阵表示，其元素是角度的余弦和正弦；空间中的旋转则通过这类矩阵相乘构造。旋转矩阵是正交矩阵，其逆等于其转置，机器人手臂中的关节链正是以这种方式复合的。以矩阵形式存储的三维旋转需要九个数，对某些应用而言，实际计算开销较大。

一种常见的替代方案是用三个欧拉角描述姿态，它们依次绕固定轴作用，如 R = R_z(ψ)R_y(θ)R_x(φ)。这种参数化紧凑，但存在奇异性。该方法虽然几何上直观，却会出现万向节锁（Gimbal Lock）现象，这是一种坐标奇异性：当三个旋转轴中的两个对齐时，系统的自由度实际上从三个降为两个。对于 Z–Y–X 约定，这发生在俯仰角达到 ±90° 时。

四元数可以避免这一问题。单位四元数将绕轴 u 旋转 θ 角的旋转编码为 $q = \cos(\theta/2) + \sin(\theta/2)\,\mathbf{u}$，因此三角函数值只在构造四元数时出现。由于不涉及三角函数，它们不会受到函数接近间断点时出现的数值不稳定性影响，这也是复合旋转计算代价较低的原因。四元数还支持姿态之间的平滑插值：肖米克（Shoemake）率先在关键帧动画中使用四元数，并证明球面线性插值（SLERP）能够有效防止复杂运动中的万向节锁。Unity 等引擎通常在内部将欧拉角输入转换为四元数，这对于那些否则可能导致万向节锁的更复杂运动十分有用。

高维几何与复分析

球面三角学

当三角形画在球面而非平面上时，其边是大圆的弧，每条边都可以用它在球心所对的圆心角来度量。对于边长为 a、b、c，且 c 所对角为 C 的三角形，球面余弦定律的形式为 $\cos c = \cos a\cos b + \sin a\sin b\cos C$。取 C 为直角，得到球面勾股关系 $\cos c = \cos a\cos b$。当边长相对于半径缩小时，平面余弦定律即可恢复，因此球面公式是精确形式，而平面公式则是它对小图形的近似。第二定律把三个角与一条边联系起来，可由极对偶三角形推出。

数值计算的实践解释了为什么这一公式常被改写。通过反解余弦来求小边长会放大舍入误差，因此导航软件采用半正矢公式，它对邻近点的计算是稳定的。这是根据经纬度计算大圆距离的标准方法，也是计算地球表面上航空和航海路线所依据的测地线的基础。

高维中的旋转

欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$ 中的旋转是一种线性映射，可以用行列式为 1 的正交矩阵表示。这些矩阵构成特殊正交群 $SO(n)$，其中旋转的复合对应于矩阵的乘法。作为李群，$SO(n)$ 的维数为 $n(n-1)/2$：平面中有一个角，空间中有三个参数（欧拉角给出其中一种坐标系），四维中则有六个。

几何描述随维数而变化。在平面上，旋转只固定原点，并将其他每个点旋转一个角度。在三维空间中，非平凡的旋转固定一条直线（即其轴），并使与之垂直的平面发生转动。在四维中，这种以轴来描述的方式不再适用，因为每个平面都有一整族与之垂直的平面，因此旋转更适合用其旋转平面以及每个平面上的角度来描述。在维数为 n 时，独立旋转平面的个数为 $\lfloor n/2 \rfloor$。欧拉旋转定理也以同样的方式推广：在维数为 $2n$ 或 $2n+1$ 的空间中，固定一点的刚体运动是至多 n 个两两正交平面内的旋转的复合。

在应用线性代数中，最简单的基本单元是吉文斯旋转，它只作用于单个坐标平面，并保持其他坐标不变。适当排列的一系列这样的旋转可以使向量的指定坐标变为零，这也是它们用于矩阵分解以及高维数据分析的原因。同样的旋转矩阵也出现在线性映射的矩阵形式体系中，以及保持长度和角度不变的正交矩阵中。

复三角函数

正弦和余弦的幂级数对每个复数自变量都收敛，因此它们在整个复平面上定义了全纯函数。它们是整函数；又因为它们不是多项式，无穷远点是本性奇点。正弦仍为奇函数，余弦仍为偶函数，而指数形式 $\sin z = (e^{iz}-e^{-iz})/(2i)$ 和 $\cos z = (e^{iz}+e^{-iz})/2$ 与实数情形完全相同地成立。

周期性在实轴之外的表现有所不同。记 $z = x + iy$，这些函数在实方向上是 $2\pi$ 周期的，但涉及 $e^{y}$ 与 $e^{-y}$ 的项随 y 变化永不重复，因此虚方向上不存在周期。由此，当 $|y|$ 变大时，$|\sin z|$ 与 $|\cos z|$ 以 $e^{|y|}/2$ 的速度增长。由刘维尔定理，有界整函数必为常数，而余弦不是常数，所以余弦在复平面上无界。它的零点只有实数点 $(2n+1)\pi/2$，因此实轴之外不存在复零点。

由于这些函数是周期的，它们的反函数是多值的。复反正弦和复反余弦可以通过复对数和平方根表示，其中平方根在 $z=\pm 1$ 处产生支点。于是，反函数的每一个分支都是某个带割线的平面上的全纯函数，这正是反函数一节中所讨论的主值分支的理论框架。

复平面中的共形几何

利用 $\sin(x+iy) = \sin x\cosh y + i\cos x\sinh y$，可以看出竖直线 $x=\text{常数}$ 被映为椭圆，水平线 $y=\text{常数}$ 被映为双曲线，二者的焦点都在 $\pm 1$。映射 $z\mapsto \sin z$ 在其导数 $\cos z$ 非零的地方局部保持角度，即具有共形性。只有在实轴上的临界点 $(2n+1)\pi/2$ 处，它才不再共形，此处映射局部为二对一。这使正弦与余弦成为复分析中映射带形区域和半平面的有用工具，也是势论和流体力学中所用共形变换的重要工具。

推广与相关函数

圆函数属于一个更大的函数族。其他函数族在替换圆、角或多项式结构时，仍保留了其中大部分的代数与分析性质。

双曲函数

双曲函数由指数函数构造。将 $e^x$ 分解为偶部与奇部，即得到双曲余弦与双曲正弦 $\cosh x = \tfrac{1}{2}(e^x+e^{-x})$ 和 $\sinh x = \tfrac{1}{2}(e^x-e^{-x})$（函数 e^x 的偶部与奇部分别被命名为双曲余弦和双曲正弦）。其几何类比对象是双曲线 $x^2-y^2=1$ 而非圆。点 $(\cosh t, \sinh t)$ 描出该双曲线的右支，正如 $(\cos t, \sin t)$ 描出单位圆（(cosh(t),sinh(t)) 位于双曲线 x^2 - y^2 = 1 上，事实上这就是该双曲线的一个参数化）。

参数的含义则有所不同。双曲线不环绕原点，因此无法用旋转角来沿其行进，自然的参数是面积。由于单位双曲线不环绕原点，双曲三角函数更适合用面积来参数化。其代数结构与圆函数的情形高度相似。$\cosh$ 与 $\sinh$ 的加法公式与三角函数的加法公式相似，但正弦项的符号发生了改变；导数满足 $\cosh' = \sinh$ 与 $\sinh' = \cosh$（cosh(x+y)=cosh(x)cosh(y)+sinh(x)sinh(y) 与 sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)-cosh(x)sinh(y) 为"加法公式"，(cosh)'=sinh 与 (sinh)'=cosh）。

椭圆函数与大幅摆动单摆

椭圆函数源于一个物理问题：单摆的摆动。对于小幅摆动，周期为 $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$，与振幅无关（T 0=2π√l/g，其中 l 为摆长，g 为重力加速度）。对于大幅摆动，运动方程是非线性的，小角近似不再成立。精确周期可以写成涉及第一类完全椭圆积分的比值 $T/T_0 = 2K(k)/\pi$，其中 $k$ 依赖于振幅（T/T 0=2K(k)/π，(2)，其中 K(k) 为第一类完全椭圆积分）。该积分没有已知的初等闭式，因此周期通常通过数值方法计算（由于尚无 K(x) 的已知闭式，该解必须数值求得）。这些积分的反函数即为椭圆函数，它们是双重周期函数，其用途远不止于单摆（椭圆积分的反函数被称为椭圆函数，除单摆外还有众多应用）。在这类非线性问题中，椭圆函数是正弦函数自然的继承者，它们也是复平面上具有两个独立周期的经典函数范例。

切比雪夫多项式

第一类切比雪夫多项式与余弦直接相关。次数为 $n$ 的多项式定义为：对于 $-1 \le x \le 1$，$T_n(x) = \cos(n \arccos x)$，这等价于恒等式 $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$（第一类切比雪夫多项式记为 T_n(x)，表示为 T_n(x) = cos(n arccos (x))，其中 x ∈ [-1, 1]）。将 $\cos n\theta$ 按 $\cos\theta$ 的幂展开即可得到该多项式，而递推关系可依次生成所有多项式，即 $T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x)$（第一类切比雪夫多项式 (T_n(x)){n≥0} 与第二类切比雪夫多项式 (U_n(x)){n≥0} 均由递推式定义）。它们的零点位于 $\cos\bigl((2k-1)\pi/2n\bigr)$ 处，这一等振荡性质使其在逼近论中十分有用，能够降低多项式逼近的最大误差（这些多项式在逼近论中被广泛使用，尤其用于最小化多项式逼近的误差）。通过代换 $x=\cos\rho$，切比雪夫级数即化为普通的余弦级数。

其他特殊函数

同样的模式也出现在其他场合。贝塞尔函数将正弦与余弦推广到具有柱对称性的问题中，例如振动的鼓面和管道中的波；勒让德多项式在球面几何中发挥类似的作用。这些函数通常通过微分方程或级数定义，并保留了正交性与振荡性，正是这些性质使三角函数在傅里叶分析中十分有用。

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