质量守恒 · aiwiki.page

质量守恒是指在经典力学和普通化学的框架内，如果没有物质进出一个系统，该系统的总质量就保持不变。物质的物态或化学组成可以改变，但在通常的实验精度范围内，所有产物的质量之和等于所有起始物质的质量之和。这一原理是化学计算和物料流量核算的基础。在现代物理学中，这一原理的适用性需要加以限定：质能等价意味着系统能量的变化可以改变其质量，而各个粒子的静止质量之和并非在所有情况下都守恒。(www1.grc.nasa.gov)

系统边界与经典表述

对于一组确定的物质，质量守恒的经典表述为

m_{\mathrm{initial}}=m_{\mathrm{final}}, \qquad \frac{dm}{dt}=0.

应用这一表述，需要明确界定热力学系统及其边界。封闭系统不与周围环境交换物质，但可以交换能量。开放系统允许物质穿过其边界。孤立系统既不交换物质，也不交换能量。在开放系统中，边界内的质量可以增加或减少，这并不违反质量守恒：质量的变化必须能够通过流入和流出的物质加以解释。(ocw.mit.edu)

质量守恒并不意味着体积或密度守恒。气体可以被压缩到更小的体积，同时保持质量不变；此时，其密度会增大。对于均匀样品，

m=\rho V,

其中， $\rho$ 为密度， $V$ 为体积。守恒的是乘积 $\rho V$ ，而不一定是其中的任一因子。(www1.grc.nasa.gov)

化学反应与化学计量学

在普通化学反应中，原子在不同物质之间重新组合，而不会转变为其他化学元素的原子。因此，完整的反应方程式两侧，每种元素的原子数都必须相同。这种原子数的核算是配平化学方程式的基础，也是化学计量学的基础；化学计量学用于定量计算反应物和产物的量。(openstax.org)

例如，甲烷的燃烧可表示为

\mathrm{CH_4+2O_2\rightarrow CO_2+2H_2O}.

方程式两侧都含有一个碳原子、四个氢原子和四个氧原子。系数表示分子数或以摩尔计的物质的量之间的比例，并不表示各物质的质量相等。分子总数不一定保持不变：这个方程式表示三个反应物分子生成三个产物分子，但其他配平后的反应方程式两侧，分子总数可能不同。在普通化学核算中，必须守恒的是每种元素的原子数和总质量。(openstax.org)

常见的关系式

\sum m_{\mathrm{reactants}} = \sum m_{\mathrm{products}}

涵盖气体及所有其他参与反应的物质。因此，如果只比较反应前后可见固体的质量，就可能得出错误结论。在拉瓦锡对金属在空气中受热的研究中，固体质量的增加被解释为金属与空气中的一部分物质发生了化合，而不是有新的物质被创造出来。(acs.org)

历史发展

十八世纪末，拉瓦锡将定量称量置于现代化学发展的核心地位。在研究燃烧和金属受热现象时，他将气体视为参与过程的物质，其质量也必须纳入实验核算。这种方法推动了燃烧理论的转变：以物质与氧化合为基础的解释，逐步取代了燃素说。(acs.org)

在 1789 年出版的《化学基础论》（Traité élémentaire de chimie）中，拉瓦锡明确提出，化学操作前后的物质量相等。这一原理的重要性不仅在于表述本身，还在于它构成了一项定量约束：对反应的解释必须交代所有进入和离开反应过程的物质。这一原理由此成为现代化学分析与计算的基础。(acs.org)

开放系统中的质量衡算

**质量衡算**将质量守恒应用于选定的区域，这一区域通常称为控制体。在经典工程计算中，总质量满足

\frac{dM}{dt} = \sum \dot m_{\mathrm{in}} - \sum \dot m_{\mathrm{out}},

其中， $M$ 是区域内的质量， $\dot m$ 表示质量流率。在稳态下， $dM/dt=0$ ，因此总流入量等于总流出量。稳态意味着没有积累，而不是没有流动。(ocw.mit.edu)

对单一化学物质进行衡算时，还可能需要加入其生成和消耗的项：

\text{积累} = \text{流入} - \text{流出} + \text{生成} - \text{消耗}.

这些内部项描述的是所选物质的量的变化，而不是总质量的创造或消灭。例如，池塘中溶解态磷的模型可以区分两类过程：磷穿过池塘边界的输运，以及植物吸收使磷从溶解态储库中移除的过程。(ocw.mit.edu)

质量衡算也用于描述生物、土壤、水和空气之间的物质转移。在碳循环中，碳在不同化合物和环境储库之间迁移。当输入量大于输出量时，生态系统可以积累碳；当输出量大于输入量时，则会损失碳。这两种情况都不违反质量守恒。(nature.com)

连续性方程

对于连续流体，质量守恒具有一种局部数学表达形式，称为**连续性方程**：

\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{v})=0,

其中， $\rho$ 为质量密度， $\mathbf{v}$ 为速度场， $\nabla\cdot$ 表示散度。该方程表明，局部密度的增加必须与质量的净流入相对应。它既适用于可压缩流动，也适用于不可压缩流动；密度恒定是一项额外假设，而不是质量守恒的必然结果。(en.wikipedia.org)

对于通过流道的稳态流动，如果每个截面上的流动条件均匀，则有

\dot m=\rho Av, \qquad \rho_1A_1v_1=\rho_2A_2v_2.

这里， $A$ 为横截面积， $v$ 为平均速率。如果密度恒定，则 $A_1v_1=A_2v_2$ ，即流体通过较窄截面时会加速。连续性方程与动量和能量方程一起，构成流体流动计算所用控制方程的一部分，其中包括纳维–斯托克斯方程。(www1.grc.nasa.gov)

相对论中的限定

在狭义相对论中，物体的静止能量与其质量之间的关系为

E_0=mc^2,

其中， $c$ 为光速。加热物体会增加其内能，从而增加其质量；即使没有物质粒子离开物体，能量的流失也可以使其质量减小。因此，不与外界交换物质的系统，并不一定隔绝了所有会影响其质量的传递过程。(einstein-online.info)

束缚物体的质量也不简单等于其各组成部分彼此分离时的质量之和。束缚系统的能量低于其组成部分彼此分离且静止时的总能量，相应的质量差为

\Delta m=\frac{E_{\mathrm{binding}}}{c^2}.

对于原子核，这一质量差与核结合能有关。化学键也会产生类似的质量差，但与参与反应的物质质量相比，这些差异极其微小。因此，尽管反应物和产物的静止质量之和并非严格不变，经典质量守恒对于普通化学工作而言仍然是极为准确的近似。(einstein-online.info)

这里需要区分的是，将各组成部分的静止质量相加与确定整个系统的质量。后者包括内部运动和相互作用能量的贡献。相对论中的核算必须同时追踪能量与物质粒子，不能将物质和能量视为各自独立守恒的量。(einstein-online.info)

参考来源

Conservation of Masswww1.grc.nasa.gov
Antoine Laurent Lavoisier The Chemical Revolution - Landmarkacs.org
1 Writing and Balancing Chemical Equations - Chemistryopenstax.org
Lectures 08_1 & 08_2 Outline: Introduction, Mass Balance, Evergladesocw.mit.edu
The Conservation of Massnature.com
Conservation of massen.wikipedia.org
Navier-Stokes Equationwww1.grc.nasa.gov
Is the whole the sum of its parts?einstein-online.info
equivalence between mass and energyeinstein-online.info